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%tapuscrit : Denis Vergès
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\psboxfill{\smallrm  #1} 
\begin{center}
\begin{pspicture*}(\columnwidth,4) 
\centerline{\pscharpath[fillstyle=gradient,gradangle=-45,gradmidpoint=0.5,addfillstyle=boxfill, fillangle=45,fillsep=0.7mm]%
{\rput[b](0,0){\bigsf#1}}}
\end{pspicture*} 
\end{center}
}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Mathématiques-informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{décembre 2002}}
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\thispagestyle{empty}
    
\begin{center}    {\Large \textbf{\decofourleft~ Baccalauréat Mathématiques--informatique \decofourright\\
   Amérique du Sud décembre 2002}}\end{center}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}

\medskip

Le graphique donné en annexe 1 représente les coûts de production et les recettes, en milliers d'euros, d'une entreprise, en fonction de la quantité de produit vendu, exprimée en tonnes. Les coûts de production sont représentés par la courbe et les recettes par la droite.
 
En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Les recettes
 et les coûts seront exprimés en milliers d'euros.

\begin{enumerate} 
\item L'entreprise vend 2 tonnes de marchandises. Quels sont ses
 recettes et ses coûts de production ? L'entreprise réalise-t-elle un bénéfice
 ou une perte ? De combien ?
\item L'entreprise fait une recette de 200 milliers d'euros.
 Quelle quantité de marchandise a-t-elle vendue ? Quels sont ses coûts de 
production ? Est-ce rentable ?
\item L'entreprise a des coûts de production de 160 milliers
 d'euros. Quelle quantité de marchandise a-t-elle vendue ? Quelles sont ses
 recettes ? Est-ce rentable ?
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item L'entreprise vend 10 tonnes de marchandises. Quel est 
son bénéfice ?
 		\item Quelles sont les quantités vendues qui permettent à l'entreprise de réaliser un bénéfice ? 
		\item Quelle quantité, approchée à 0,5 près, doit être vendue pour que
 l'entreprise réalise un bénéfice maximum ? Quel est alors ce bénéfice ?
 	\end{enumerate}
\item En utilisant les résultats précédents, dresser le tableau
 de variation sur l'intervalle [3 ; 12], de la fonction exprimant le bénéfice
 en fonction de la quantité de produit vendu.
\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  11 points}

\medskip

L'entreprise \og Bon Fondu \fg{} fabrique des boîtes de fromage fondu, sur un même site. Elle utilise trois machines différentes A, B, C. La fabrication du fromage fondu et le conditionnement sont automatisés. Le service qualité est chargé du suivi statistique de la production afin de garantir au mieux le respect des règles prévues par la législation en vigueur. 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

La fabrication d'une journée est de \np{10000} tonnes avec
 la répartition précisée dans le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{| c *{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{5}{|l|}{Tableau \No 1 : les masses sont exprimées en tonnes}\\ 
\hline
Machine & A & B & C & Totaux\\ \hline
Boîtes sans défaut & \np{1800} & \np{4500} & \np{2500} & $M$\\ \hline
Boîtes avec défauts de fabrication & 180 & 400 & 200 & 780 \\ \hline
Boîtes avec défauts de conditionnement& 20 & 100 & 300 & 420 \\ \hline
Totaux & $X$ & \np{5000} & \np{3000} & \np{10000}\\ \hline
\end{tabularx} 
 
\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer, en justifiant vos calculs, les valeurs de $X$ et
de $M$ figurant dans les marges du tableau \No 1 précédent.

Dans les questions suivantes, les résultats demandés seront arrondis à 
$10^{-1}$ près.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Compléter le tableau \No 2, figurant sur la feuille annexe 2, donnant les pourcentages de chaque production par rapport à la production totale.
\item Compléter le tableau \No 3, figurant sur la feuille annexe 2, donnant,
 par colonnes, les pourcentages par rapport à la production de la colonne pour
 chacune des machines A, B et C.
\item Compléter le tableau \No 4 donnant, sur chaque ligne, les pourcentages
 produits par chaque machine par rapport à la production de la ligne (production sans défaut, avec défauts de fabrication ou, enfin, avec défauts de
 conditionnement).
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Pour la machine A, quel est le pourcentage des boîtes
 présentant un défaut de fabrication ?
 		\item Pour la machine B, quel est le pourcentage des boîtes sans défaut ?
		\item Parmi les boîtes sans défaut, quel est le pourcentage des boîtes
 fabriquées par la machine B ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

La masse nette de fromage inscrite sur les boîtes est de 320 grammes. Afin de
 vérifier que la production est conforme à la déclaration figurant sur les boîtes, le service qualité prélève un échantillon de 20 boîtes produites par la machine B. Les valeurs en grammes, ordonnées, sont les suivantes :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{10}{>{\centering \arraybackslash}X |}} \hline
315,5 & 315,5 & 316 & 321 & 322 & 323 & 323,5 & 323,5 & 324 & 324\\ \hline
324 & 325 & 325,5 & 326 & 326 & 327 & 328,5 & 329 & 329 & 329\\ \hline
 \end{tabularx}
 
\medskip

La moyenne $m$ de cette série statistique est 323,85 et son écart type 
$\sigma$ est 4,22

\begin{enumerate} 
\item La production issue d'une machine est considérée comme conforme si
 au moins 95\:\% des boîtes de l'échantillon ont une masse appartenant à
 l'intervalle $[m - 2\sigma ,~ m + 2\sigma]$, où $m$ est la moyenne de 
l'échantillon et $\sigma$ son écart type. La production de la machine B est-elle conforme ? Justifier.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Pour cet échantillon, préciser la médiane, le premier
 quartile et le troisième quartile. 
		\item Représenter le diagramme en boîte associé à cet échantillon, sur lequel figureront au moins la médiane et les premier et troisième quartiles.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

Unité graphique : 1 centimètre par gramme.

\newpage
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.025cm}
\begin{center}
\textbf{Annexe 1}
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(13,700)
%\psgrid[subgriddiv=1]
    \multido{\n=10+10}{69}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt](0,\n)(13,\n)}
    \multido{\n=0.5+0.5}{26}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt](\n,0)(\n,700)}
\pstextpath[c](1mm,1mm){\psline(13,520)}{Recettes}
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(13,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,700)
%\pstextpath[c](1mm,1mm){\pscurve(0,0)(1,65)(2,100)(3,120)(4,128)(5,130)(6,131)(7,140)
%%(8,156)(9,200)
%(10,260)(11,350)(12,480)(13,650)}{Coûts de production}
\pstextpath[c](1mm,1mm){\psbezier[linecolor=blue](0,0)(1,63)(2,100)(3,120)
\psbezier[linecolor=blue](3,120)(4,128.5)(5,130)(6,132)
\psbezier[linecolor=blue](6,132)(7,140)(8,156)(9,200)
\psbezier[linecolor=blue](9,200)(10,260)(11,350)(12,480)
\psbezier[linecolor=blue](12,480)(12.25,520)(12.75,600)(13,650)}{Coûts de production}
\uput[d](10,-10){quantités vendues en tonnes}
\uput[r](0,690){coûts de production}
\uput[r](0,675){et recettes en}
\uput[r](0,660){milliers d'euros}
\uput[d](1,0){1} \uput[d](5,0){5} \uput[d](10,0){10} \uput[d](13,0){13}
\uput[l](0,100){100} \uput[l](0,200){200} \uput[l](0,300){300} 
\uput[l](0,400){400} \uput[l](0,500){500} \uput[l](0,600){600} 
\uput[l](0,700){700} 
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage
\begin{center} Feuille annexe 2 À rendre avec la copie
    
\vspace*{2cm}

\begin{tabular}{|l| c | c | c | c |} \hline
\multicolumn{5}{|l|}{Tableau \No 2 des pourcentages par rapport à l'effectif 
total}\\ \hline
Machine & ~A~ & ~B~ & ~C~ & Totaux \\ \hline
Boîtes sans défaut &  &  & & \\ \hline
Boîtes avec défauts de fabrication & & & & \\ \hline
Boîtes avec défauts de conditionnement & & & & \\ \hline
Totaux & & & & 100\:\%\\ \hline
\end{tabular}

\vspace{1cm}
\begin{tabular}{|l| c | c | c | } \hline
\multicolumn{4}{|l|}{Tableau \No 3 des pourcentages par colonnes}\\ \hline
Machine & A & B & C \\ \hline
Boîtes sans défaut &  &  & 83,3 \\ \hline
Boîtes avec défauts de fabrication & & & 6,7 \\ \hline
Boîtes avec défauts de conditionnement & & & 10 \\ \hline
Total & 100\:\% &100\:\% &100\:\% \\ \hline
\end{tabular}

\vspace{1cm}

\begin{tabular}{|l| c | c | c | c | } \hline
\multicolumn{5}{|l|}{Tableau \No 4 des pourcentages par lignes}\\ \hline
Machine & A & B & C & Totaux \\ \hline
Boîtes sans défaut &20,5  &51,1  &28,4 &100\:\% \\ \hline
Boîtes avec défauts de fabrication &23,1 & & &100\:\% \\ \hline
Boîtes avec défauts de conditionnement &4,8 & & &100\:\% \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}