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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Mathématiques-informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat général  Antilles-Guyane \decofourright}}

{\large \textbf{Mathématiques-informatique - série L - juin 2004}}

La calculatrice  est autorisée.

\textbf{Le candidat doit traiter les  DEUX exercices}

\textbf{Les annexes 1 et 2  sont à rendre avec la copie}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

Un magasin vend deux types de téléphones mobiles : des modèles standards 
notés S et des modèles miniatures notés M.

Ce magasin propose deux types de forfait mensuel : un forfait d'une heure 
noté A et un forfait de deux heures noté B.

Le service commercial effectue une enquête sur un échantillon de \np{2000} 
clients ayant acheté dans ce magasin un téléphone et un seul et ayant opté 
pour un seul des forfaits proposés.

Sur les \np{2000} clients interrogés, \np{1200} ont acheté le modèle S et 960 ont choisi le forfait A.

Parmi les les clients ayant acheté le modèle S, $32\,\%$ ont pris le 
forfait A.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A - étude de l'enquête}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Le tableau de l'annexe 1, à rendre  avec la copie, fait
apparaître le nombre de clients interrogés selon le modèle de téléphone et le type de forfait choisis. Compléter le tableau.

\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Quel est le pourcentage de clients interrogés qui ont choisi le 
forfait A ?
		\item  Quel est le pourcentage de clients interrogés qui ont choisi le modèle M ?
		\item  Quel est le pourcentage de clients interrogés qui ont choisi le modèle M et le forfait A ?
		\item  Parmi les clients interrogés ayant choisi le modèle M, quel est le pourcentage de clients interrogés qui ont opté pour le forfait A ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B - Comparaison des deux forfaits}

\medskip

Le forfait mensuel A coûte 27~\euro{} et le forfait mensuel  B coûte 45~\euro. L'opérateur facture 0,50~\euro{} chaque minute au delà du forfait.

On s'intéresse à la consommation d'un client ayant souscrit un  forfait A au cours du mois suivant l'achat du téléphone et on appelle $t$ le nombre de minutes consommées au-delà du forfait.

\begin{enumerate} 
\item Quel serait le montant de la facture payée par ce client s'il avait
 téléphoné 15 minutes au-delà du forfait A pendant ce mois ?
\item Exprimer en fonction de $t$ le prix à payer par ce client ayant dépassé son forfait de $t$ minutes.
\item Soit $p$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 50] par 

\[p(t) = 27+ 0,5t.\]
 
Représenter la fonction $p$ dans le repère fourni en annexe.

\item Déterminer graphiquement à partir de combien de minutes de
 consommation au-delà du forfait A ce client aurait intérêt à souscrire
 un forfait B.
 \end{enumerate} 

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

Trois amis Bertrand, Claire et Dominique débutent dans trois 
entreprises différentes.

Au premier janvier de l'année 2000, Bertrand et Claire débutaient avec 
un salaire mensuel de \np{1500}~\euro, tandis que Dominique commençait avec 
un salaire menseul de \np{1400}~\euro.

Ils se proposent de comparer l'évolution de leurs salaires mensuels.

On a donné en annexe 2, à rendre avec la copie, un tableau obtenu à 
l'aide d'un tableur.

\textbf{Une fois que tous les calculs auront été effectués, les 
résultats seront arrondis à} \boldmath $10^{-2}$. \unboldmath

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A - évolution du salaire mensuel de Bertrand}

\medskip

À partir de l'année 2001, au premier janvier de chaque année, le salaire mensuel de Bertrand augmente de $2,5\,\%$. On note $b_{n}$, le salaire mensuel 
de Bertrand au 1\up{er} janvier de l'année  (2000 $+ n),~ n$ étant
un entier naturel. On a donc $b_{0} =  \np{1500}$.

\begin{enumerate} 
\item Quelle formule doit-on saisir dans la cellule A3 du tableau de 
l'annexe 2, pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les différentes années ?
\item Calculer le salaire mensuel de Bertrand en 2001 puis en 2002.
\item Quel est le coefficient multiplicatif correspondant à cette 
augmentation de $2,5\,\%$ par an ?
\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3 du tableau de 
l'annexe 2, pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les 
salaires mensuels de Bertrand jusqu'en 2008 ?
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~b_{n} = 
\np{1500} \times (1,025)^n$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Compléter la colonne C du tableau de l'annexe 2,  jusqu'en 2008.

		\item En supposant que le salaire mensuel de Bertrand évolue de la 
même façon après 2008, déterminer à partir de quelle année son salaire 
mensuel  dépassera \np{2000}~\euro. Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B - évolution  du salaire mensuel de Claire}

\medskip

À partir de l'année 2001, au premier janvier de chaque année le 
salaire mensuel de Claire augmente de 40~\euro.

On note $c_{n}$, le salaire mensuel de Claire au 1\up{er} 
janvier de l'année (2000 $+ n)$, $n$ étant un entier naturel. On a
donc $c_{0} = \np{1500}$.

\begin{enumerate} 
\item  Calculer le salaire mensuel de Claire en 2001 puis en 2002.
\item Exprimer $c_{n+1}$ en fonction de $c_{n}$. Que peut-on en déduire
pour la suite $\left(c_{n}\right)$ ? Justifier.
 \item Quelle formule doit-on saisir dans la cellule D3 du tableau de 
l'annexe 2,  pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les salaires mensuels de Claire jusqu'en 2008 ?
\item En complétant la colonne D du tableau de l'annexe 2. déterminer à partir de quelle année le salaire mensuel de Bertrand dépasse celui de Claire.
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie C- évolution du salaire mensuel de Dominique}

\medskip

On appelle $d_{n}$ le salaire mensuel de Dominique au 1\up{er} 
janvier de l'année (2000 $+ n),~ n$ étant un entier naturel.

On a donc $d_{0} =  \np{1400}$.

On note $u_{n} = d_{n} + \np{1000}$.

On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison
1,02.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item  Montrer que $u_{n} = \np{2400} \times (1,02)^n$.
		\item Exprimer $d_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Quelle formule doit-on saisir dans la cellule E3 du tableau
 de l'annexe 2 pour  obtenir, par recopie automatique vers le  bas, le 
 salaire  de Dominique jusqu'en 2008 ?
 		\item  Compléter la colonne E du tableau de l'annexe 2 jusqu'en 2008.
	\end{enumerate}
\item On suppose que jusqu'en 2015, chacun des salaires des trois 
amis continuera d'évoluer comme avant 2008. À partir de quelle année le 
salaire de Dominique sera-t-il le plus élevé des trois ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe 1 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{Tableau}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Modèle S & Modèle M & Total\\
\hline
Forfait A & & & 960\\ \hline
Forfait B & & & \\ \hline
Total & \np{1200} & & \np{2000}\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=2.5mm,yunit=1mm}\begin{pspicture}(50,60)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\multido{\n=0+10}{6}{\psline[linecolor=orange](\n,0)(\n,60)}
\multido{\n=0+10}{7}{\psline[linecolor=orange](0,\n)(50,\n)}

\rput(24,-10){dépassement en minutes}
\rput{90}(-4,30){prix en euros}
\rput(25,70){Représentation graphique de la fonction $p$}
\multido{\n=0+10}{6}{\uput[d](\n,0){\n}}
\multido{\n=0+10}{7}{\uput[l](0,\n){\n}}
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{Annexe 2 à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
    & A & B & C  & D & E \\ \hline
    &  &  & Salaire de & Salaire de & Salaire de \\ 
1	& Année &  $n$ & Bertrand & Claire & Dominique \\
   	&	&	&$b_{n}$& $c_{n}$& $d_{n}$ \\ \hline
2	& 2000 & 0 & \np{1500} &\np{1500}& \np{1400} \\ \hline
3 	& 2001 & 1 & 	&	& \\ \hline
4 	& 2002 & 2 & 	&	& \\ \hline
5 	& 2003 & 3& 	&	& \\ \hline
6 	& 2004 & 4 & 	&	& \\ \hline
7 	& 2005 & 5 & 	&	& \\ \hline
8 	& 2006 & 6 & 	&	& \\ \hline
9 	& 2007 & 7 & 	&	& \\ \hline
10	& 2008 & 8 & \np{1827,60}&&\np{1811,98} \\ \hline
11 &	&	&	&	& \\ \hline
12 &	&	&	&	& \\ \hline
13 &	&	&	&	& \\ \hline
14 &	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}
