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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Mathématiques-informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2003}} 
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat général  Antilles--Guyane \decofourright}}
    
{\large \textbf{Épreuve anticipée Mathématiques}}

{\large \textbf{Mathématiques-informatique - série L - juin  2003 }}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  8 points}

\medskip

Afin de tester l'efficacité d'un médicament contre le stress, 60 patients, ayant environ 16,5 de pression artérielle systolique, ont accepté de participer à un essai clinique. Après tirage au sort, la moitié des patients (constituant le groupe M) ont pris le médicament pendant un mois, l'autre moitié (constituant le groupe P), un placebo, c'est-à-dire un comprimé d'aspect identique au médicament mais ne contenant aucune substance active.

Voici les mesures de pression artérielle systolique concernant les patients des deux groupes après le mois d'essai clinique.


\bigskip

Groupe M (patients ayant absorbé le médicament)

\medskip

{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{15}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
12& 13,5& 14,5& 15& 13& 13& 18& 15& 14& 17& 13& 14,5& 15& 14& 14,5\\ \hline
14,5& 13,5& 13& 16& 15& 14& 14& 15& 12& 14& 18& 14& 14,5& 14,5&14\\ \hline
\end{tabularx}}

\bigskip

 Groupe P (patients ayant absorbé le placebo)

\medskip

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{15}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
16& 16,5& 14& 17,5& 17& 17&15& 17,5& 16& 16& 16,5& 15,5& 17& 16& 16,5\\ \hline
15,5& 16& 16,5& 16,5& 15,5& 17& 16& 16,5& 17& 14 &17& 16,5& 16& 16,5&17,5\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On donne pour la série du groupe M les résultats suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Minimum	& Premier quartile& Médiane	& Troisième quartile& Maximum\\ \hline
12		&	13,5		&14			&15					&18\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Calculer pour la série P la médiane, le premier et le troisième quartiles.
\item Construire sur un même graphique les diagrammes en boîtes pour ces deux séries.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Peut-on, sans calculs, affirmer qu'au moins 75\,\%
 des patients du groupe M ont, après l'essai clinique, une pression artérielle systolique inférieure ou égale à 15 ?
		\item Calculer le pourcentage des patients qui, après essai clinique, ont une pression artérielle systolique inférieure ou égaie à 15 respectivement :

\setlength\parindent{5mm}		
\begin{itemize}
\item dans le groupe M  ;
\item dans le groupe P.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  12 points}

\medskip

Une société qui organise des vacances décide de faire une étude sur sa clientèle.

\medskip

\textbf{Partie A : Étude de l'usage du tabac}

\medskip

Les effectifs des diverses catégories de clients sont les suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}&De 18 à 30 ans& 	De 31 à 50 ans&	Plus de 50 ans&	Total\\ \hline
Hommes&	150&	600&	230&	980\\ \hline
Femmes&	500&	50&	100&	650\\ \hline
Total&	650&	650&	330 	&\np{1630}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Les  pourcentages de fumeurs de la clientèle de la société sont les suivants : 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&De 18 à 30 ans& 	De 31 à 50 ans&	Plus de 50 ans\\ \hline
Hommes	&60\,\%	&25\,\% &	30\,\%\\ \hline
 Femmes&	50\,\%	&20\,\% & 	25\,\%\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Lecture : parmi les hommes de 18 à 30 ans, il y a 60\,\% de fumeurs.

Observation : au vu de ces données, les femmes de ce club, tranche d'âge par tranche d'âge, fument moins que les hommes.

\begin{enumerate}
\item  Remplir le tableau 1 de l'annexe, à rendre avec la copie, donnant l'effectif des fumeurs suivant leur appartenance aux diffrentes catégories.
\item Quel est le pourcentage de fumeurs dans la population totale des
clients ? 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, parmi les hommes puis parmi les femmes, le pourcentage de fumeurs à 0,1 près.
		\item Expliquer pourquoi ces résultats ne sont pas incohérents avec l'observation issue du deuxième tableau.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude prévisionnelle des effectifs}

\medskip

On a constaté que chaque année 80\,\%  des clients de l'année précédente reviennent et qu'il s'y ajoute 800 nouveaux clients. En 2002 l'effectif des clients s'élève à \np{3200}.

À l'aide d'un tableur on se propose de calculer les effectifs prévisionnels des clients pour les années à venir. Sur le tableau 2 de l'annexe, à rendre avec la copie, figure une copie de l'écran du tableur.

Pour tout entier naturel $n$, on appelle $u_{n}$ l'effectif de l'ensemble des clients en l'année $2002 + n$.
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B3 pour calculer l'effectif prévisionnel de l'année 2003 et pouvoir ensuite remplir la colonne B des effectifs par recopie automatique vers le bas ?
		\item Compléter par les valeurs numériques manquantes les cellules B4, B5 et B6 (on arrondira à l'unité).
	\end{enumerate}
\item On a représenté sur le graphique en annexe, à rendre avec la copie, les termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ pour $n$ compris entre 5 et 20.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter sur ce graphique les cinq premiers termes de la suite.
		\item Par lecture graphique, donner une valeur approchée de $u_{n}$ pour $n = 10$ et pour $n = 20$.
		\item Au vu de ce graphique, la croissance des effectifs est-elle linéaire? Justifier.
		\item Vers quel nombre semble évoluer l'effectif de l'ensemble des clients pour les grandes valeurs de $n$ ? 
	\end{enumerate}
\item On introduit alors une nouvelle suite $\left(v_{n}\right)$ définie par
\[v_{n} = u_{n} - 4 000.\]
Les termes de cette suite seront calculés en colonne C du tableau 2 de
l'annexe.
\begin{enumerate}
\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C2 du tableau 2 de l'annexe pour pouvoir ensuite remplir la colonne C par recopie automatique vers le has ?
\item Compléter alors la colonne C par les valeurs numériques manquantes.
\item Quels sont les coefficients multiplicatifs qui permettent de passer de C2 à C3, puis de C3 à C4, puis de C4 à C5 et enfin de C5 à C6 ?\\
Que peut-on conjecturer sur la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
		Annexe\\
	(À compléter et à rendre avec la copie)

\bigskip

Tableau 1 : Effectif des fumeurs de la clientèle

\medskip

\begin{tabular}{|l|*{4}{c|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}&De 18 à 30 ans& De 31 à 50 ans & 		Plus de50 ans& Total\\ \hline
Hommes 	&90	&	&	&\\ \hline
Femmes	&	&	&	&25\\ \hline
Total 	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabular}

\vspace{1cm}
Tableau 2 : Étude prévisionnelle de la clientèle

\medskip

\begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline
& A & B & C\\ \hline
1&$n$& Effectif $u_{n}$& Suite $v_{n}$\\\hline
2&	0&	3 200& $-800$\\ \hline
3&	1&	3 360& $-640$ \\ \hline
4&	2&	&\\ \hline
5&	3&	&\\ \hline
6&	4&	&\\ \hline
\end{tabular}

\vspace{1cm}

Graphique (question B2)

\bigskip

\psset{xunit=0.4cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(25,9)
\multido{\n=0+5}{6}{\uput[d](\n,0){\n}}
\uput[l](0,0){\np{3200}} \uput[l](0,1){\np{3300}} \uput[l](0,2){\np{3400}} \uput[l](0,3){\np{3500}} 
\uput[l](0,4){\np{3600}} \uput[l](0,5){\np{3700}} \uput[l](0,6){\np{3800}} \uput[l](0,7){\np{3900}} 
\uput[l](0,8){\np{4000}} \uput[l](0,9){\np{4100}} 
\multido{\n=0+1}{26}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](\n,0)(\n,9)}
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](0,\n)(25,\n)}
\psdots(5,5.3786)(6,5.9028)(7,6.3223)(8,6.6578)(9,6.9263)(10,7.141)(11,7.3128)(12,7.4502)(13,7.5602)(14,7.6482)(15,7.7185)(16,7.7748)(17,7.8199)(18,7.8559)(19,7.8847)(20,7.9078)
\psdots(20.5,5.5) \psline(20,5.5)(21,5.5)
\psline(25,0)(0,0)(0,9)
\uput[r](21.5,5.5){effectif}
\uput[u](12,9){Effectif des clients en fonction de $n$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 