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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat L}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat L  Mathématiques--informatique~\decofourright\\Antilles-Guyane   juin 2001}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 12 points}
 
\medskip
 
Au mois de décembre 2000, un opérateur téléphonique a modifié les tarifs de ses communications. Avant modification, la communication était facturée 0,74~F pour l'ensemble des trois premières minutes et 0,28~F par minute supplémentaire. Dans la nouvelle tarification, la première minute revient à 0,60~F et chaque minute supplémentaire est facturée 0,22~F.

On se propose de comparer les deux tarifications.
 
À l'aide d'un tableur, on commence le tableau suivant :
  
\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
	&A		&B			&C			&D\\ \hline
1	&Durée en&Ancien prix&Nouveau prix	&évolution en\\ 
	&minute(s)&en francs&	en francs	&	pourcentage\\ \hline
2	&	1	&	0,74	&	0,60	&\\ \hline
3	&	2	&	0,74	&	0,82	&\\ \hline
4	&	3	&	0,74	&	1,04	&\\ \hline
5	&	4	& 			& 			& \\ \hline
6	&	5	&	 		& 			& \\ \hline
7	&	6	& 			&  			&\\ \hline
8	&	7	& 			& 			& \\ \hline
  \end{tabularx}
  \end{center}
Les colonnes sont repérées par des lettres : A, B, C, \ldots, les lignes sont repérées par des numéros : 1, 2, 3, 4, \ldots Ainsi la référence B3 repère la cellule se trouvant à l'intersection de la colonne B et de la ligne 3.
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau précédent. On donnera les pourcentages à 0,1 près.
\item Quelle est la tarification la plus avantageuse pour des communications de 1, 2 et 3 minutes ?
\item Calculer le prix d'une communication d'une durée d'une heure selon les deux tarifications. Quelle est, pour cette durée, l'évolution en pourcentage du prix à 0,1 près ?
\item On souhaite, à l'aide du tableur compléter le tableau donné afin d'obtenir les tarifs de minute en minute. Quelle formule mettriez-vous en :
\begin{enumerate}
\item B5 ?
\item C5 ?
\item D2 ?
\end{enumerate}
\item Voici les graphiques donnant les prix des communications selon les deux	tarifications :

\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm}\begin{pspicture}(1,0)(30,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=1,Dx=5]{->}(1,0)(30,9.5)
\multido{\n=1+5}{6}{\psline(\n,0)(\n,9)}
\multido{\n=0+1}{10}{\psline(0,\n)(30,\n)}
\rput{90}(-3,4){prix en francs} \rput(12,-1.5){durée en minutes}
\psdots[dotstyle=square*](1,0.74)(2,0.74)(3,0.74)(4,1.02)(5,1.3)(6,1.58)(7,1.86)(8,2.14)(9,2.42)(10,2.7)(11,2.98)(12,3.26)(13,3.54)(14,3.82)(15,4.1)(16,4.38)(17,4.66)(18,4.94)(19,5.22)(20,5.5)(21,5.78)(22,6.06)(23,6.34)(24,6.62)(25,6.9)(26,7.18)(27,7.46)(28,7.74)(29,8.02)(30,8.3)
\psdots[dotstyle=triangle*](1,0.60)(2,0.82)(3,1.04)(4,1.26)(5,1.48)(6,1.7)(7,1.92)(8,2.14)(9,2.36)(10,2.58)(11,2.8)(12,3.02)(13,3.24)(14,3.46)(15,3.68)(16,3.9)(17,4.12)(18,4.34)(19,4.56)(20,4.78)(21,5)(22,5.22)(23,5.44)(24,5.66)(25,5.88)(26,6.1)(27,6.32)(28,6.54)(29,6.76)(30,6.98)
\psdots[dotstyle=square*](5,-1)\rput(6,-1){C1}
\psdots[dotstyle=triangle*](15,-1)\rput(16,-1){C2}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1.5cm}

Lequel des deux graphiques correspond à la nouvelle tarification ?
\item Montrer que le prix d'une communication (en francs) de $n$ minutes ($n \geqslant	3$) est :
	
$u_{n} = 0,28n- 0,10$ pour l'ancien tarif

$v_{n} = 0,22n - 0,38$ pour le nouveau tarif.
\item À l'aide de ces formules, comparer les deux tarifications pour $n \geqslant	3$ et commenter l'annonce faite par l'opérateur : \og~Nos prix baissent en décembre 2000~\fg{}.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 8 points}
 
\medskip
 
Les médias nous annoncent sans cesse des nouvelles extraordinaires et font de chaque année une année d'évènements records : année la plus chaude, la plus pluvieuse, nombre record de catastrophes aériennes, etc. S'agit-il de phénomènes aléatoires, ou bien le XX\up{e} siècle était-il un siècle de catastrophes ? Nous allons donner un élément de réponse.

Étudions un phénomène quantifiable (par exemple la hauteur de pluie tombée pendant une année en un endroit donné) pendant $n$ années consécutives et écrivons les différents résultats sous la forme d'une liste de nombres présentée entre crochets.

Nous dirons qu'un nombre de cette liste est un record lorsque celui-ci est strictement supérieur à tous les nombres qui le précèdent.

\textbf{Remarque :}  un premier résultat d'une liste est par convention un résultat
record.

Exemple  : la liste [12 ; 14 ; 11 ; 15] contient 3 records : 12, 14 et 15.
\begin{enumerate}
\item  Combien y a-t-il de records dans la liste :

[5 ; 10 ; 11 ; 4 ; 8 ; 15 ; 20 ; 12 ; 21 ;  6 ;  12 ;  5 ;  14 ; 18] ?
\item Quel est le nombre minimal de records d'une liste ? Donner un exemple de
liste à 5 termes ayant un nombre minimal de records.
\item Quel est le nombre maximal de records d'une liste de $n$ termes ? Donner un
exemple de listes à 5 termes ayant un nombre maximal de records.
\item On a simulé à l'aide d'un ordinateur 40 fois de suite une liste de 100 nombres aléatoires et calculé le nombre de records de ces 40 listes. Voici les nombres de records obtenus :

9, 7, 5, 6, 3, 4, 3, 10, 4, 4, 4, 5,13, 8, 7, 2, 7, 5, 6, 14, 8, 2, 3, 11, 4, 2, 3, 2, 5, 11, 2, 4, 9, 9, 7, 6, 4, 5, 8, 10.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le nombre moyen de records par siècle que nous donne cette simulation ? 
		\item Représenter la série précédente en complétant par un diagramme en boîte (diagramme \no 1 dans   l'annexe ci-dessous).
	\end{enumerate}
\item Le diagramme en boîte (diagramme \no 2) sur la feuille annexe, représente les
records obtenus en simulant \np{5000} fois de suite une liste de 100 nombres aléatoires. 

Comparer ce diagramme avec celui obtenu en 4. b.  Quels commentaires
peut-on faire de ces résultats ?
 
\vspace{1.5cm}
 
\begin{center}
\textbf{Annexe à joindre à ta copie}
 
\bigskip
 
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.5cm}\hspace{-1cm} 
\begin{pspicture}(12,16)
\psframe(0,0)(12,16) \psline(6,0)(6,16)
\psframe(0.5,0.5)(5.5,15)  \psframe(6.5,0.5)(11.5,15) 
\multido{\n=0+2}{8}{\psline[linestyle=dotted](0.5,\n)(4.5,\n) \uput[l](0.5,\n){\n}}
 \multido{\n=0+2}{8}{\psline[linestyle=dotted](6.5,\n)(10.5,\n) \uput[l](6.5,\n){\n}} 
\uput[r](12,14){Max }  \uput[r](12,8){D9 }  \uput[r](12,6){Q3 }  \uput[r](12,5){Médiane } 
\uput[r](12,4){Q1 }  \uput[r](12,3){D1 }  \uput[r](12,1){Min} 
\psframe(7.5,4)(9.5,6) \psline(8.5,3)(8.5,4) \psline(8.5,6)(8.5,8)
\psline(8.45,1)(8.55,1)   \psline(8.45,3)(8.55,3)   \psline(8.45,8)(8.55,8)   \psline(8.45,14)(8.55,14)   \psline(8.45,5)(8.55,5) 
\psline{->}(11.5,1)(8.7,1)   \psline{->}(11.5,3)(8.7,3)   \psline{->}(11.5,4)(9.8,4) 
\psline{->}(11.5,5)(8.7,5)   \psline{->}(11.5,6)(9.8,6)   \psline{->}(11.5,8)(8.7,8) 
\psline{->}(11.5,14)(8.7,14) 
\rput(3,-0.75){Diagramme \no 1 (40 simulations)} 	\rput(9.5,-0.75){Diagramme \no 2 (5000 simulations)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document} 