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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Mathématiques-informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2003}} 
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat général  Antilles-Guyane \decofourright}}
    
{\large \textbf{épreuve anticipée Mathématiques}}

{\large \textbf{Mathématiques-informatique - série L - septembre 2003}}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  12 points}

\medskip

On dispose des données suivantes concernant les élevages de porcins et d'ovins en France :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  nombre de têtes de bétail (les chiffres sont donnés en millions de têtes)

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Années&Nombre d'ovins&Nombre de porcins\\ \hline
1979&	13	&	1,1\\ \hline
1989&	11,5	&	13\\ \hline
2001&	9,4	& 15,9\\ \hline
\end{tabularx}
\item[$\bullet~$] nombre d'exploitations

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années	&Nombre d'exploitations ayant des ovins&	Nombre d'exploitations
		ayant des porcins\\ \hline
1979	&	\np{197200}	&	\np{58300}\\ \hline
2001	&	\np{95700}		&	\np{16800}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

On s'intéresse à l'évolution des productions ovines et porcines.
\begin{enumerate}
\item  Sur le graphique ci-dessous on a représenté l'évolution dc chacune de
ces productions (années en abscisses, productions en millions de têtes en
ordonnées).

En première observation, on qualifie de linéaire l'évolution de l'une de ces deux productions, et l'autre d'exponentielle. Attribuer à chacune des deux productions le qualificatif adapté. 
 
\bigskip
 
\psset{xunit=0.25cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(1965,8)(2015,17)
\psaxes[Ox=1975,Dx=5,Oy=8](1975,8)(2005,17)
\psframe(1975,8)(2005,17)
\psdots[dotstyle=square,dotangle=45,dotscale=1.5](2007,12.5)(1979,13)(1989,11.5)(2001,9.4) 
\psdots[dotstyle=square*,dotscale=1.5](2007,11.5)(1979,11.1)(1989,13)(2001,15.9) 
\rput(2011,12.5){ovins}
\rput(2011,11.5){porcins}
\multido{\n=8+1}{9}{\psline[linestyle=dashed](1975,\n)(2005,\n)}
\multido{\n=1975+1}{31}{\psline(\n,8)(\n,7.9)}
\rput{90}(1967.5,12.5){nombre d'animaux}
\rput{90}(1970,12.5){(en millions de têtes)}
\rput(1990,7){années}
\psframe[linewidth=1.5pt](2006,11)(2015,13)
\end{pspicture}
  	
\vspace{1.25cm}

\item  On veut modéliser l'évolution annuelle de la production ovine à l'aide d'une suite arithmétique notée $\left(u_{n}\right)$ où  $u_{n}$ représente la production (en millions de têtes) d'ovins en l'année $1979 + n$. Ainsi, dans ce modèle, on a : $u_{0} = 13$ et $u_{10} = 11,5$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
		\item  En supposant que ce modèle reste valable jusqu'en 2010 quelle production d'ovins peut-on prévoit en 2010?
	\end{enumerate} 
\item  On veut modéliser l'évolution annuelle de la production porcine à l'aide d'une suite géométrique notée $\left(v_{n}\right)$ où $v_{n}$ représente la production (en millions de têtes) de porcins en l'année $1979 + n$. Ainsi, dans ce modèle, on a : $v_{0} = 11,1$. On suppose que cette production subit une augmentation annuelle de 1,65\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est le coefficient multiplicatif associé à cette augmentation ? 
		\item  Montrer que pour tout entier naturel $n~ :~ v_{n} = 11,1 \times  (\np{1,0165})^n$.  
		\item  En supposant que ce nouveau modèle reste valable jusqu'en 2010, quelle production de porcins peut-on prévoir en 2010 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{PARTIE B }

\medskip

On s'intéresse maintenant aux exploitations des porcins.
\begin{enumerate}
\item Calculer 1e nombre moyen de porcins par exploitation ayant des porcins en 2001. 
\item On suppose que le nombre d'exploitations ayant des porcins va décroître annuellement de $900$ à partir de l'année 2001 et que la production de porcins augmentera selon le modèle de la question \textbf{A. 3.}

À quel nombre moyen de porcins par exploitation devrait-on alors s'attendre en 2010 ? On donnera le résultat à l'unité près. 
\item On suppose qu'en 2001, les exploitations ayant au moins \np{5000} porcins représentent 10\,\% de l'effectif total des exploitations ayant des porcins. Montrer que, dans les autres exploitations ayant des porcins, le nombre moyen de porcins est inférieur à $500$.
\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  8 points}

\medskip

Dans une usine d'emballage du café, on a effectué un contrôle sur une machine M$_{1}$ pour vérifier la masse du café par paquet étiqueté 250~grammes. On a donc prélevé un échantillon de 50~paquets de café, que l'on a pesés. Les résultats obtenus figurent dans le tableau ci-dessous.

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor[gray]{0.9}}c|c|*7{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor[gray]{0.9}&		A&	B& C& D& E& F& G&H\\ \hline
1& Masse $p$ (en grammes)& 250& 251& 252& 253& 254&\multicolumn{2}{c|}{}\\ \hline
2&	Effectifs	&3	&11&	20&12&	4&	Total &	50\\ \hline
\end{tabularx}
 
\bigskip 

On peut lire par exemple, qu'il y a 11 paquets qui pèsent 251~grammes.
\begin{enumerate}
\item  Dans cette partie, on utilise le tableau en annexe (à rendre avec la copie), où $p$ est la série des masses en grammes des paquets de café.
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau en annexe.
		\item  Calculer la médiane, le premier et le troisième quartiles de cette série, puis construire un diagramme en boîte sur lequel figurera au moins ces trois paramètres.
		\item  Déterminer la moyenne $m$ de la série statistique $p$.
		\item  Déterminer l'écart-type $s$ de cette série. Calculer la part en pourcentage du nombre de paquets de café, emballés par la machine M$_{1}$, dont la masse en grammes appartient à l'intervalle [251~;~253].
	\end{enumerate}
\item  Cette usine possède plusieurs machines pour emballer le café. On a effectué on contrôle sur la machine M$_{2}$. Pour comparer les résultats obtenus à partir des machines M$_{1}$ et M$_{2}$, on a représenté sur le même graphique, à l'aide d'une calculatrice, les diagrammes en boîtes relatifs à ces résultats. Voici une copie de l'écran obtenu.
 
\medskip
 
\parbox{0.6\linewidth}{\psset{xunit=0.42cm,yunit=0.75cm}\begin{pspicture}(17,4)
\psframe(17,4)
\psline(0,1)(17,1)
\multido{\n=0+1}{18}{\psline(\n,1)(\n,1.1)}
\psline(4,1.8)(4,2.2) \psline(4,2)(6,2) \psline(10,2)(12,2) \psline(12,1.8)(12,2.2)
\psframe(6,1.8)(10,2.2) \psline(8,1.8)(8,2.2)
\psline(2,2.8)(2,3.2) \psline(2,3)(6,3) \psframe(6,2.8)(12,3.2) \psline(12,3)(14,3) \psline(14,2.8)(14,3.2) \psline(11,2.8)(11,3.2)
\uput[d](4,1){250}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.35\linewidth}{Copie d'écran

Le diagramme en boîte qui figure dans la partie supérieure de l'écran est celui qui correspond à la machine M$_{2}$.

Le pas de la graduation en abscisse est de $0,5$.}

\begin{enumerate}
\item  Par lecture graphique de la copie d'écran, déterminer la médiane, le premier et le troisième quartiles de la série statistique correspondant à échantillon contrôlé sur la machine M$_{1}$.
\item  Plusieurs contrôles des machines M$_{1}$ et M$_{2}$ laissent apparaître des résultats similaires à ceux qui sont résumés sur la copie d'écran.

Laquelle des deux machines semble-t-elle la mieux réglée pour l'usine ? Justifier.
\end{enumerate}
\item  Pour éviter de refaire toujours le même calcul, on organise une feuille de calcul avec un tableur pour rendre compte rapidement des résultats des contrôles effectués sur toutes les machines de cette usine. Voici un exemplaire de cette feuille de calcul :

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor[gray]{0.9}}c|>{\footnotesize }p{1cm}|*{11}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}p{0.7cm}|c|}\hline
\rowcolor[gray]{0.9}&A &B 	&C		&D	&E	&F 		&G 	&H&I&J&K&L&\footnotesize M&\footnotesize N\\ \hline
1&	Masse~$p$ en grammes& 	245& 246& 	247& 	248& 	249& 	250& 	251&252& 	253& 	254& 	255&\cellcolor[gray]{0.9}&\cellcolor[gray]{0.9}\\ \hline
2&	Effectifs&&&&&&&&&&&&\footnotesize Effectif total& \\ \hline
3 &	Fréquences&&&&&&&&&&&&\cellcolor[gray]{0.9}&\cellcolor[gray]{0.9}\\ \hline
\end{tabularx}
 
\bigskip
L'effectif total, c'est-à-dire le nombre total de paquets prélevés pour le contrôle, figure dans la cellule N2 ; la ligne 2 est donc remplie à chaque contrôle.

Quelle formule peut-on écrire dans la cellule B3 de manière à ce que sa recopie vers la droite jusqu'à la cellule L3 donne les fréquences des paquets correspondant aux masses constatées ? 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\begin{center}

\textbf{Annexe}
 
\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor[gray]{0.9}}c|p{1.75cm}|*7{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor[gray]{0.9}	&A &B 	&C		&D	&E	&F 		&G 	&H\\ \hline
1&	Masse $p$ en grammes& 250	& 251	&	252	&253	&	254&\cellcolor[gray]{0.9}&\cellcolor[gray]{0.9}\\ \hline
2&	Effectifs				& 3 &11		&20&	12	&	4	& Total& 50\\ \hline
3&	Fréquence			&	&		&	&		&		&	Total&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}