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%tapuscrit : Denis Vergès
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\newcount\DeepRecursion
\makeatletter

% The recursion macro used (from David Carlisle)
\def\Recursion #1{%
  #1\relax
    \expandafter\@firstoftwo
  \else
    \expandafter\@secondoftwo
  \fi}
% General definition of a fractal
\newcommand{\PstFractal}[1]{%
  \ifx\PstFractalBegin\@undefined
  \else
    \PstFractalBegin
  \fi
  \Recursion
    {\ifnum#1>1\relax}
    {\DeepRecursion=#1%
     \advance\DeepRecursion by -1%
     \PstFractalReapeat{\DeepRecursion}}
    {\PstFractalDefinition}}

\makeatother

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% Sierpinski triangle
\newcommand{\PstSierpinskiTriangle}[1]{{%
\def\PstFractalDefinition{%
  \pspolygon*[linecolor=\PstSierpinskiExternalColor](1;0)(1;1)(1;2)
  \rput{-2}(0,0){\pspolygon*[linecolor=\PstSierpinskiInternalColor]%
                            (0.5;0.5)(0.5;1.5)(0.5;2.5)}}
\def\PstFractalBegin{\PstFractalDefinition}
\def\PstFractalReapeat##1{%
  \rput(0.5;0){\psset{unit=0.5}\PstFractal{##1}}
  \rput(0.5;1){\psset{unit=0.5}\PstFractal{##1}}
  \rput(0.5;2){\psset{unit=0.5}\PstFractal{##1}}}
\rput{90}(0,0){%
  \SpecialCoor
  \degrees[3]
  \PstFractal{#1}}}}

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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat L}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small juin 2003}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat général  Centres étrangers~ \decofourright}}
    
{\large \textbf{Épreuve anticipée Mathématiques}}

{\large \textbf{Mathématiques-informatique - série L - juin  2003 }}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  10 points}

\medskip

L'objet de l'exercice est l'étude de l'aire d'une famille de triangles à trous.

On dispose d'un triangle équilatéral, de côté 10~cm. C'est la figure $0$ de la famille, On fabrique la figure $1$ en découpant dans la figure $0$ un  triangle équilatéral dont les sommets sont les milieux des côtés de cette figure (voir dessin en annexe 1). On fabrique de même la figure 2 en faisant une découpe analogue dans chacun des triangles de la figure 1. On procède ainsi pour les autres figures successives. À chaque étape, on note $A_{n}$, l'aire, en cm$^2$ de la figure $n$. On suppose que $A_{0} = 43,30$.

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On admet que, à chaque étape $n$, le coefficient multiplicatif donnant l'aire $A_{n+1}$ en fonction de l'aire $A_{n}$ est $\dfrac{3}{4}$.

À quel pourcentage de réduction de l'aire ce coefficient correspond-il ?

Quelle est la nature de la suite $\left(A_{n}\right)$ des aires ?
\item On observe que les aires $A_{n}$ décroissent. On voudrait savoir si elles finiront par occuper moins de surface qu'une pièce d'un centime d'euro.

On va utiliser pour cela un tableur.

\medskip
 
\begin{tabular}{|*{10}{c|}}\hline
   &	A		&	B	&	C& 	D&	E&	F&G &	H&I\\ \hline
1 &Numéro	& 	0	&	1	&2	&3&4&	5&	6&7\\ \hline
2 & 	Aire		& 43,30 	&	32,48& 	24,36& 	18,27& 13,70& 10,28& 7,71&\\ \hline
3 &			&		&&&&&&&\\ \hline\hline
 	&& J		&K&L&M&N&O&P&\\ \hline
1&Numéro	&8		&9&10&11& 	12&13&14&\\ \hline
2 &Aire			&		&	&&&&&&\\ \hline 
3&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabular}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On place en ligne 1 les numéros des figures, en ligne 2 les aires corres-pondantes. Quelle formule a-t-on pu entrer clans la cellule C1 avant de la recopier dans les cellules D1 à P1 ?\\ 
Quelle formule a-t-on pu entrer dans la cellule C2 pour la recopier ensuite dans les cellules suivantes de la ligne ?
\item Compléter le tableau figurant en annexe 3 à rendre avec la copie.
\item Une pièce d'un centime d'euro a une aire d'environ 2,01 cm$^2$.\\
Quelle est la dernière des figures dont l'aire est encore supérieure à celle
de cette pièce ?%
\end{enumerate}%
\end{enumerate}%

\bigskip
 
\textbf{Partie II}
 
\medskip

On va utiliser la figure 2, placée verticalement, pour faire un jeu. On lâche une goutte d'eau sur  son sommet A (voir l'illustration sur la figure en annexe 2). La goutte glisse, sans s'assécher. sur les côtés des triangles. À chaque sommet, elle peut partir à gauche comme à droite. Si elle parvient en c$_{2}$, elle tombe verticalement en e$_{3}$ (voir figure en annexe 2).
\begin{enumerate}
\item En utilisant les notations de l'annexe 2, dresser un arbre des différents itinéraires possibles de la goutte.
\item Sur \np{6 000} parties, à quel nombre de passages de goutte peut-on s'attendre en c$_{2}$ ? À quel nombre d'arrivées de gouttes petit-on s'attendre
en e$_{1}$ ? en e$_{2}$, en e$_{3}$ ? Justifier votre démarche en quelques mots. 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  10 points}

\medskip

Un service de santé étudie une maladie M supposée être héréditaire. Pour cela, il ouvre on centre de dépistage gratuit. Celui-ci a reçu 250 personnes. Les résultats sont consignés en partie dans le tableau 1, donné en annexe 3, et réalisé à l'aide d'un tableur. On dira qu'une personne présente un antécédent si son père ou sa mère ont eu la maladie M.
\medskip

\textbf{Partie I L'hérédité de la maladie}

\medskip

12\,\% des 250 personnes testées sont malades et sans antécédents.
Les trois questions suivantes font référence à l'annexe 3.
\begin{enumerate}
\item  Justifier le fait qu'il  y a 180 personnes sans antécédents. Compléter
alors le tableau 1.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule, recopiable dans l'ensemble du tableau 2, peut-on entrer dans la cellule B9, pour que les fréquences, par rapport à l'effectif total, soient calculées à partir des valeurs du tableau 1.
		\item Que représentent les nombres figurant dans les cellules B10 et C12 ?
		\item Compléter alors le tableau 2 en arrondissant les résultats au millième.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour pousser plus loin l'étude, compléter le tableau 3 des fréquences par rapport aux effectifs de chaque colonne en arrondissant les résultats au millième.
		\item Quelle est la proportion de personnes malades ou porteurs sains
parmi celles qui ont des antécédents ? Parmi les autres  ?
		\item Que peut-un alors penser de la nature héréditaire de la maladie M ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\medskip
 
\textbf{Partie II : La différence hommes-femmes}

\medskip

On considère le même groupe de 250 personnes, mais on trie leurs résultats selon leur sexe. Les hommes représentent 36\,\% des personnes du groupe considéré 30\,\%  des personnes saines sont des hommes ;
17 femmes sont malades.

On a pu à l'aide de ces données compléter le tableau 4. Le tableau 5 donne les fréquences, exprimées en pourcentages, par rapport aux effectifs de chaque colonne.
   
\medskip
 
\hspace*{-1cm} \begin{tabular}{|*{9}{c|}}\cline{1-4} \cline{6-9}  
&Hommes&  Femmes&  Total	&~~&&Hommes& 	Femmes& 	Total\\ \cline{1-4} \cline{6-9}  
	PS ou I (*)&	5	&3	&8&&	PS ou I (*)&	5,5&	1,9&	3,2\\\cline{1-4} \cline{6-9}
	Sain&	60&	140&	200&& 	Sain&	66,7&	87,5&	80\\\cline{1-4} \cline{6-9}
	Malade&	25&	17&	42&& 	Malade&	27,8&	10,6&	16,8\\\cline{1-4} \cline{6-9}
	Total&	90	&160&	250&& 	Total	&100&	100&	100\\\cline{1-4} \cline{6-9}
 \end{tabular}
 \medskip
 
	\hspace*{2cm}Tableau 4 \hspace*{6cm}		Tableau 5
 \medskip
 
(*) PS :  porteur sain (personne saine mais pouvant tmnumettir la maladie).\\
  I : immunisée (personne ayant développé des anticorps et donc résistante à la maladie).
  
   Sain :  personne n'ayant pas contracté la maladie, ni porteur sain, ni immunisé.
   
\begin{enumerate}
\item  Qu'apprend-on à propos de la maladie M à la lecture de ces
tableaux, en ce qui concerne l'échantillon étudié ?
\item Est-il pertinent de généraliser à toute la population les conclusions 
tirées de l'étude de cet échantillon ?
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
Annexe 1

\vspace{2cm}

\begin{pspicture}(12,2)
\psset{unit=1cm} \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=0.2pt](0,0)(2.5,0)(1.25,2.165) 
\psset{unit=1.5cm} \rput(4,0.5){\PstSierpinskiTriangle{1}} \rput(7,0.5){\PstSierpinskiTriangle{2}}
\rput(0.75,-0.5){Figure 0} \rput(4,-0.5){Figure 1} \rput(7,-0.5){Figure 2}
\end{pspicture}

\vspace{3.5cm}

\begin{pspicture}(12,2)
\psset{unit=1.5cm} \rput(0.75,0.5){\PstSierpinskiTriangle{3}}  \psset{unit=1.5cm}  \rput(4,0.5){\PstSierpinskiTriangle{4}}  \rput(7,0.5){\PstSierpinskiTriangle{5}}
\rput(0.75,-0.5){Figure 3} \rput(4,-0.5){Figure 4} \rput(7,-0.5){Figure 5}
\end{pspicture}

\vspace{1.5cm}
Annexe 2

\vspace{1cm}

\psset{unit=5cm}\begin{pspicture}(2.4,2)
%\psgrid[subgriddiv=10](0,0)(2.4,2)
\rput(1.2,1){\PstSierpinskiTriangle{2}}
\uput[u](1.2,2){A} \uput[dl](0.34,0.5){e$_{1}$}\uput[d](0.76,0.5){e$_{2}$} \uput[d](1.2,0.5){e$_{3}$} 
 \uput[dr](1.62,0.5){e$_{4}$}  \uput[dr](2.05,0.5){e$_{5}$} \uput[l](0.98,1.62){b$_{1}$} \uput[r](1.41,1.62){b$_{2}$}\uput[l](0.77,1.24){c$_{1}$}  \uput[dr](1.2,1.24){c$_{2}$}  \uput[r](1.62,1.24){c$_{3}$}  \uput[l](0.54,0.87){d$_{1}$}
\uput[r](0.98,0.87){d$_{2}$}  \uput[l](1.41,0.87){d$_{3}$}  \uput[r](1.83,0.87){d$_{4}$} 
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1.2,2)(0.98,1.62)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.98,1.62)(1.2,1.24)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1.2,1.24)(1.2,0.5)  
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
Annexe 3 

Feuille à compléter et à rendre avec la copie
\end{center}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\hspace*{-2cm}{\scriptsize \begin{tabular}{|*{17}{c|}}\hline
   &	A&	B&	C& 	D&	E&	F&G &	H&I& J&K&L&M&N&O&P\\ \hline
1 &Numéro& 	0&	1	&2	&3&4&	5&	6&7&8&9&10&11& 	12&13&14\\ \hline
2 & 	Aire& 43,30 &	32,48& 	24,36& 	18,27& 	13,70& 	10,28& 7,71&&&&&&&&\\ \hline
3 &&&&&&&&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabular}}
 
\medskip
\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
	&A	&	B& C &	D\\ \hline
1	&	&Avec antécédents& 	Sans antécédents &	Total\\ \hline
2 	&PS ou l(*)&2	&6	&8\\ \hline
3	&Sain&56	&	144&200\\ \hline
4	&Malade&	&	&42\\\hline
5	&Total &	&	&250\\ \hline
6	&\multicolumn{4}{|c}{Tableau 1} \\ \hline
7	&	&Avec antécédents &	Sans antécédents& 	Total\\ \hline
8	&PS ou l(*) &	&	&8\\ \hline
9	&Sain		&	&	&200\\ \hline
10	&Malade		&	&	&42\\ \hline
11	&Total 		&	&	&250\\ \hline
12	&\multicolumn{4}{|c}{Tableau 2} \\ \hline
13	&			&Avec antécédents&Sans antécédents &Total\\ \hline
14	&PS ou l(*) &	&	&8\\ \hline
15	&Sain		&	&	&\\ \hline
16	&Malade		&	&	&\\ \hline
17	&Total		&	&	&\\ \hline
18	&\multicolumn{4}{|c}{Tableau 3} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{document} 

