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% Tapuscrit Mickael Védrine
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat L mathématiques--informatique}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat général La Réunion~ \decofourright}}
    
{\large \textbf{épreuve anticipée Mathématiques -- juin 2002}}

{\large \textbf{Mathématiques--informatique - série L }}

La calculatrice  est autorisée.

\textbf{Le candidat doit traiter les  DEUX exercices}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item à partir d'une feuille de papier carrée de 21 cm de côté on veut réaliser une boîte sans couvercle, selon le schéma ci-dessous : on coupe les quatre carrés grisés, de côté $x$ cm, et on plie suivant les pointillés.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,5)
\psframe(5,5)
\psframe*(0,0)(.5,.5) \psframe*(4.5,0)(5,.5)
\psframe*(0,4.5)(.5,5) \psframe*(4.5,4.5)(5,5)
\psframe[linestyle=dotted](0.5,0.5)(4.5,4.5)
\psline{<->}(4.5,-0.2)(5,-0.2)   \psline{<->}(5.2,0)(5.2,0.5) 
\uput[d](4.75,-0.2){$x$}   \uput[r](5.2,0.25){$x$}  
\end{pspicture} \end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $x$ doit être compris entre $0$ et $10,5$.
\item Justifier que le volume de la boîte  en cm$^3$ est égal à $x(21 - 2x)^2 $.
\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie par : 
\[f(x)  = x(21 - 2x)^2, \]
 où  $x$ est un nombre réel.
\begin{enumerate}
\item Deux élèves ont cherché à représenter cette fonction à l'aide de leur calculatrice graphique :
	\begin{enumerate}
		\item[$\bullet~$] L'élève A a choisi la fenêtre suivante : $x$ varie de $-1$ à $4$ et le pas de graduation sur l'axe des abscisses est $0,5$ ;  $y$ varie de $-100$ à $700$ et le pas de la graduation sur l'axe des ordonnées est 100 ;
		\item[$\bullet~$]	l'élève B a choisi  la fenêtre suivante : $x$ varie de $-1$ à $6$ et le pas de graduation sur l'axe des abscisses est $1$ ; $y$ varie de $- 100$ à $300$ et le pas de la graduation sur l'axe des ordonnées est $100$.
	\end{enumerate}

Les écrans obtenus sont représentés ci-dessous. Lequel des élèves a obtenu l'écran \no 1 ?

\bigskip \bigskip

\hspace*{-1cm}\parbox[l]{0.4\textwidth}{\psset{xunit=0.714cm,yunit=0.0125cm}
\begin{pspicture}(-1,-100)(6,300)
\psaxes[Dx=1,Dy=100,labels=none](0,0)(-1,-100)(6,300)
\psframe(-1,-100)(6,300)
\rput(2.5,-120){écran \no 1}
\psplot[plotpoints=30]{-0.2}{0.79}{21 x 2 mul sub 2 exp x mul}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox[l]{0.4\textwidth}{\psset{xunit=1cm,yunit=0.00625cm}
\begin{pspicture}(-1,-100)(4,700)
\psaxes[Dx=0.5,Dy=100,labels=none](0,0)(-1,-100)(4,700)
\psframe(-1,-100)(4,700)
\rput(2,-130){écran \no 2}
\psplot[plotpoints=20]{-0.2}{4}{21 x 2 mul sub 2 exp x mul}
\end{pspicture}} 
\bigskip

\item La fonction $f$ est-elle croissante sur [0 ; 6] ? Argumenter la réponse.
\item En annexe 1, on donne  une représentation graphique de la fonction $f$ obtenue à l'aide d'une calculatrice. Préciser la fenêtre utilisée. Pour cela, on pourra procéder à des essais successifs à l'aide de la calculatrice et on complétera le cadre en annexe 1.	
\end{enumerate}
\item à l'aide d'un tableur, on a  obtenu le tableau de valeurs fourni en annexe 1.
\begin{enumerate}
\item Quelle formule, à recopier vers la droite jusqu'à la cellule N2, peut-on saisir dans la cellule B2  pour remplir ce tableau ?
\item Compléter ce tableau.
\end{enumerate}
\item Répondre par \og vrai \fg{} ou bien par \og faux \fg{} aux affirmations suivantes et argumenter chaque réponse :
\begin{enumerate}
\item On peut fabriquer deux boîtes différentes ayant pour volume 500 cm$^3$.
\item On peut réaliser une boîte de volume 690~cm$^3$.
\item Le volume le plus grand est obtenu pour une valeur de $x$ comprise entre 3 et 4.
\end{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner le volume de la plus grande boîte réalisable, ainsi que la valeur de $x$ correspondante.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie I :}

\medskip
 
Une entreprise d'ébénisterie fabrique des tables de différents modèles. Chaque modèle est défini par :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item sa forme : ronde ou rectangulaire,
\item sa finition : naturelle ou teintée.
\end{itemize}
\setlength\parindent{5mm}

\begin{enumerate}
\item  Déterminer, en le justifiant,  le nombre de modèles de tables différents que peut fabriquer cette entreprise.
\item Pendant l'année 2001, elle a fabriqué en tout 250 tables, dont 144 tables rondes. On sait que 75\,\% des tables rondes et 50\,\% des tables rectangulaires sont teintées.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\[\begin{array}{|*{4}{c|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{} &\text{Tables rondes} &\text{Tables rectangulaires} & \text{Total} \\ \hline
\text{Finition naturelle} & & & \\ \hline
\text{Finition teintée} & & & \\ \hline
\text{Total} & 144&& 250\\ \hline
\end{array}   \]

		\item Déterminer parmi l'ensemble des tables fabriquées :
			\begin{enumerate}
				\item[$\bullet~$]  le pourcentage de tables rondes ;
				\item[$\bullet~$] le pourcentage de tables rondes et teintées.
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II :}
 
\medskip

On s'intéresse aux diamètres des 144 tables rondes fabriquées en 2001. On a obtenu les données suivantes :

\medskip

\hspace*{-1.5cm}{\scriptsize \begin{tabular}{|l|*{11}{c|}} \hline
Diamètre en cm& 119,5& 119,6& 119,7& 119,8&  119,9& 120,0& 120,1& L20,2& 120,3&120,4&120,5 \\ \hline
Nombre de tables& 4	&10&	14&	15&	36&	27&	16&	10&	8&	2 &	2\\ \hline
\end{tabular}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le diamètre moyen $m$ de cette série de tables.
\item Le diamètre annoncé par l'entreprise est de 120 cm: celui-ci correspond au diamètre $\mu$ programmé par l'entreprise sur ses machines-outils. Une étude statistique sur les performances des machines-outils achetées par cette entreprise a montré que, pour une dimension programmée $\mu$, les dimensions effectivement obtenues correspondent à des données gaussiennes de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma =  2$ mm.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la plage de normalité théorique, $[\mu - 2\sigma~;~\mu + 2\sigma]$.
		\item Calculer, parmi les valeurs observées ci-dessus, le pourcentage de celles qui appartiennent à cette plage de normalité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III :}
 
\medskip
 
On s'intéresse maintenant à l'évolution du nombre de tables fabriquées par l'entreprise pendant chacune des huit dernières années et on dispose des données suivantes :

\medskip

\hspace*{-0.75cm}\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{X|}}\hline
Années& 1994&	1995&	1996&	1997&	1998&	1999& 2000& 2001\\ \hline
Tables rondes&	67&	59&	90&	105&	72&	96& 120& 144\\ \hline
Tables rectangulaires&	65&	70&	101& 92&	61&	73&	88&	106\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a commencé à reporter sur le graphique en annexe 2,  qui sera à remettre avec la copie, les données de ce tableau. Compléter le graphique à l'aide des données fournies (ou mettra une légende pour chacune des courbes sur le graphique).
\item Le graphique laisse entendre que, à partir de l'année 1998, la croissance du nombre de tables rondes fabriquées est linéaire.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier cette affirmation an utilisant le tableau précédent et préciser la nature et la raison de la suite correspondante (à savoir la suite des nombres de tables rondes fabriquées à partir de 1998).
		\item On suppose que cette croissance linéaire va se poursuivre. Comment cela se traduit-il sur le graphique ? Quelle sera alors la production de tables rondes en 2006 ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la suite des nombres de tables rectangulaires à partir de l'année 1998 peut être considérée comme une suite géométrique de raison $1,2$.
		\item On suppose que cette croissance exponentielle va se poursuivre. Déterminer le nombre de tables rectangulaires en 2006.
	\end{enumerate}
\item Depuis 1997, la production des tables rondes l'emporte sur celle des tables rectangulaires. Si l'on garde les modèles de croissance décrits ci-dessus aux questions 2. b. et 3. b., jusqu'à quand en sera-t-il ainsi ?
\end{enumerate}
 
\newpage
\begin{center} Annexes à compléter et à rendre avec la copie

\bigskip

\textbf{Annexe 1} \end{center}

\bigskip

\hspace*{-1cm}\parbox[l]{0.4\textwidth}{\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.007cm}
\begin{pspicture}(0,0)(10,700)
\psaxes[Dx=1,Dy=100,labels=none](0,0)(10,700)
\psframe(0,0)(10,700)
\psplot[plotpoints=30]{0}{10}{21 x 2 mul sub 2 exp x mul}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox[l]{0.55\textwidth}{Fenêtre correspondant au graphique ci-contre :\\
$x$ varie de $0$ à ...........\\
 le pas de graduation sur l'axe des abscisses est .......\\
y varie de 0 à  .........\\
le pas de graduation sur l'axe du ordonnées est ........ } 
 
\vspace{2cm}
 
\hspace*{-1cm} \begin{tabular}{|*{15}{c|}}\hline
 &A & B& C&	D&	E&	F&	G&	H&	I&	J&	K& L& M & N\\ \hline
1& 	$x$&	0&	0,5&	1&	1,5&	2&	2,5&	3&	3,5&	4&	4,5&	5&	5,5&  6\\ \hline
2&	$f(x)$& 0&	200& 361& 486& 578& 640& 675&	686&&&&&\\ \hline
 \end{tabular}
 
\vspace{2cm}
\begin{center} Annexe 2  
\bigskip
 
\psset{xunit=0.85cm,yunit=0.0267cm}
\begin{pspicture}(13,300)
\psaxes[Dx=50,Dy=50](0,0)(13,300)
\multido{\n=0+1}{14}{\psline(\n,0)(\n,300)}
\multido{\n=0+50}{7}{\psline(0,\n)(13,\n)}
\uput[d](0,0){1994} \uput[d](1,0){1995} \uput[d](2,0){1996} \uput[d](3,0){1997} 
\uput[d](4,0){1998} \uput[d](5,0){1999} \uput[d](6,0){2000} \uput[d](7,0){2001} 
\uput[d](8,0){2002} \uput[d](9,0){2003} \uput[d](10,0){2004} \uput[d](11,0){2005} 
\uput[d](12,0){2006} \uput[d](13,0){2007} 
\psline(0,67)(1,59)(2,90) \psdots(0,67)(1,59)(2,90)
\psline(0,65)(1,70)(2,101) \psdots(0,65)(1,70)(2,101)
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document} 






