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%Tapuscrit Mickael Védrine
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}

\lhead{\small Baccalauréat L juin 2001}
\lfoot{\small{Liban}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat général  Liban \decofourright}}
    
{\large \textbf{épreuve anticipée Mathématiques - juin 2001}}

{\large \textbf{Mathématiques-informatique - série L }}

La calculatrice  est autorisée.

\textbf{Le candidat doit traiter les  DEUX exercices}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 11 points}

\medskip
 
\emph{Toutes les réponses aux questions devront être très clairement rédigées.}

Deux villes A et B ont la même population en l'an 2000.

La population de la ville A augmente d'un certain taux annuel (toujours le même).

La population de la ville B augmente d'un certain nombre d'habitants chaque
année (toujours le même).

Le tableau ci-dessous illustre, par un exemple, cet énoncé. Sur cet exemple, les deux villes avaient \np{400 000} habitants en 2000. La population de la ville A augmente de 8\,\% par an la population de la ville B augmente de \np{35 000} habitants par an.

N. B. Les résultats concernant la ville A ont été arrondis à l'entier le plus proche.

 
\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{}&	Augmentation annuelle	&Augmentation annuelle\\
\multicolumn{1}{c|}{}&	 8\,\%&	 \np{35 000}\\\hline
	Année&	Population A&	Population B\\\hline
	2000&	\np{400000}&	\np{400000}\\\hline
	2001&	\np{432000}&	\np{435000}\\\hline
	2002&	\np{466 560}&	\np{470 000}\\\hline
	2003&	\np{503 885}&	\np{505000}\\\hline
	2004&	\np{544 196}&	\np{540000}\\\hline
	2005&	\np{587731}&	\np{575000}\\\hline
 \end{tabularx}\end{center}
 
 \medskip
 
\emph{Ce tableau n'était qu'un exemple  ; dans la suite du probleme, d'autres valeurs seront utilisées.\\
Les trois questions de ce problème sont indépendantes.}
\begin{enumerate}
\item  En l'an 2000, les deux villes ont \np{850 000} habitants.

 La population de la ville A augmente de 2,5\,\% par an.
 
La population de la ville B augmente de \np{25000} habitants par an.
\begin{enumerate}
\item Recopier le tableau ci-dessous sur la copie, et le compléter en calculant les populations des deux villes jusqu'en 2005. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à l'entier le plus proche.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}	{}&Augmentation annuelle	&Augmentation annuelle\\
\multicolumn{1}{c|}	{}&2,5\,\%&	 \np{25 000}\\\hline
2000		&\np{850 000}&	\np{850000}\\\hline
2001		&		&\\\hline
2002		&		&\\\hline
2003		&		&\\\hline
2004		&		&\\\hline
2005		&		&\\\hline
 \end{tabularx}
 
\item On ne s'intéresse, dans cette question, qu'à la ville B, qui avait \np{850000} habitants en 2000, et dont la population augmente de \np{25 000} habitants par an.

  Quel est le pourcentage d'augmentation de la population de B entre 2000 et 2001 ? entre 2001 et 2002 ? et entre 2002 et 2003 ? Ces pourcentages seront donnés avec deux décimales.
\item On reprend les mêmes données initiales : les deux villes avaient \np{850000} habitants en 2000 ; la population de la ville A croît de 2,5\,\% par an ; la population de la ville B croit de \np{25 000} habitants par an.
   
Quelles seront les populations de ces deux villes en 2015 ? (on arrondira si nécessaire à l'entier le plus proche).
\end{enumerate}
\item On veut utiliser un tableur pour calculer l'augmentation en pourcentage de la population de la ville B entre 2000 et 2001, entre 2001 et 2002, et ainsi de suite.

Ci-dessous est représenté l'écran du tableur. Les lignes sont numérotées 1, 2, 3 et les colonnes A, B, C, \ldots . La cellule A5 par exemple, contient le nombre 2000.

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline
	&A		&B					&C\\ \hline
1	&		&Augmentation			&Augmentation\\ \hline
2	&		&annuelle 			&annuelle\\ \hline
3	&		&					&en pourcentage\\ \hline
4	&Année	&Population de la ville B :&concernant la population de la ville B :\\ \hline
5	&2000	&					&\\ \hline
6	&2001	&					&\\ \hline
7	&2002	&					&\\ \hline
8	&2003	&					& \\ \hline
9	&2004	&					&\\ \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 
\medskip
 
La cellule B3 est destinée à recevoir la valeur de l'augmentation annuelle, et la cellule B5 est destinée à recevoir la valeur de la population en 2000. Ces deux valeurs (données) pourront être modifiées au gré de l'utilisateur, le tableur recalculant automatiquement les autres cellules.
\begin{enumerate}
\item  Les cellules B6 et en dessous sont destinées à afficher les populations aux différentes dates.

Écrire dans la cellule B6 la formule qui permet d'obtenir la population en 2001, en veillant à ce que cette formule soit \og recopiable \fg{} vers le bas, pour donner les résultats concernant les années suivantes.
\item Les cellules C6 et en dessous sont destinées à afficher les augmentations annuelles en pourcentage.

Écrire dans la cellule C6 la formule qui permet d'obtenir le pourcentage d'augmentation relative entre 2000 et 2001, en veillant à ce que cette formule soit \og recopiable\fg{} vers le bas, pour donner les résultats concernant les années suivantes.
\item Après \og recopiage vers le bas \fg{}, quelles formules le tableur utilise-t-il dans les cellules B7 et C7 ? Les écrire dans le tableau. 
 \end{enumerate}
\item (Cette question est indépendante des précédentes.)

La population d'une ville A augmente d'un certain taux annuel (le même chaque année).

Déterminer ce taux annuel, sachant que la ville avait \np{6 200 000} habitants en 2000 et aura \np{7 164 875} habitants en 2002. 
\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 9 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des bonbons de deux couleurs (des rouges et des jaunes) Chaque bonbon devrait en principe peser 6 grammes, et ils sont ensachés par paquets de 50 ; un sachet doit donc normalement peser 300~grammes (sur l'emballage, on lit \og 50 bonbons de 6 g \fg{}). Mais les aléas de la fabrication font qu'on ne peut pas avoir cette masse exactement.
\begin{enumerate}
\item  Une association de consommateurs veut contrôler si ces masses sont respectées. Elle achète un grand nombre de sachets dans différents commerces, prélève un bonbon au hasard dans chaque sachet, le pèse, et obtient ainsi une liste de nombres.

Le statisticien de l'entreprise traite cette liste de données, et rend le graphique suivant qui, d'après lui, résume la situation. Il s'agit d'un diagramme appelé diagramme en boîte ou boîte à moustaches. L'axe est gradué en grammes.

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.7cm}\begin{pspicture}(2.5,0)(8.5,3)
\psline(2.5,0)(8.5,0)
\multido{\n=3+1}{6}{\uput[d](\n,0){\n}\qdisk(\n,0){1.5pt}}
\psline(3.78,1.6)(3.78,2.4) \psline(3.78,2)(5.5,2)
\psline(6.67,2)(8.27,2) \psline(8.27,1.6)(8.27,2.4)
\psframe(5.5,1)(6.67,3) \psline(6.1,1)(6.1,3)
\uput[u](3.78,2.4){3,78} \uput[u](3.78,2.7){Min.}
\uput[u](5.5,3){5,50} \uput[u](6.1,3){6,10} \uput[u](6.67,3){6,67} 
\uput[u](8.27,2.4){8,27} \uput[u](8.27,2.7){Max.} 
\psline[linestyle=dashed](3.78,0)(3.78,1.4)
\psline[linestyle=dashed](5.5,0)(5.5,1)
\psline[linestyle=dashed](6.1,0)(6.1,1)
\psline[linestyle=dashed](6.67,0)(6.67,1)
\psline[linestyle=dashed](8.27,0)(8.27,1.4)
\end{pspicture}
\end{center}
 
 \bigskip
 
À la lecture de ce diagramme, précisez (en justifiant) si les affirmations suivantes sont vraies, fausses, ou si on ne peut pas trancher :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Affirmation A : la masse moyenne des bonbons est 6,10 g.
\item[$\bullet~$] Affirmation B : la moitié (environ) de ces bonbons a une masse inférieure à 6,10 g.
\item[$\bullet~$] Affirmation C : si on classait tous les bonbons prélevés, du plus léger au plus lourd, les masses des 25\,\% 
les plus légers s'échelonneraient de 3,78 g \`a 5,50 g.
\item[$\bullet~$] Affirmation D : les services de la répression des fraudes tolérant que 2\,\% des bonbons aient une masse inférieure à ce qui est écrit sur l'emballage, cette entreprise est donc en règle.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Au vu de ces résultats, l'entreprise qui produit ces bonbons décide de changer la machine qui les fabrique.

Pour comparer la nouvelle production à l'ancienne, on prélève un nouvel échantillon de bonbons qui est traité par le statisticien de l'entreprise, qu'il résume par un nouveau diagramme.

Sur celle figure, le diagramme du bas correspond à celui qui était présenté à la première question, celui du haut correspond à la nouvelle machine, la graduation de l'axe est toujours en grammes :

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.7cm} \begin{pspicture}(3,0)(8.5,6)
\psline(2.5,0)(8.5,0)
\multido{\n=3+1}{6}{\uput[d](\n,0){\n}\qdisk(\n,0){1.5pt}}
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=4](2.5,0)(8.5,0.1)
\psline(3.78,1.6)(3.78,2.4) \psline(3.78,2)(5.5,2)
\psline(6.67,2)(8.27,2) \psline(8.27,1.6)(8.27,2.4)
\psframe(5.5,1)(6.67,3) \psline(6.1,1)(6.1,3)
\psline(6,4.6)(6,5.4) \psline(6,5)(6.5,5) \psline(6.5,4.6)(6.5,5.4)
\psframe(6.114,4)(6.286,6) \psline(6.2,4)(6.2,6)
\psline[linestyle=dashed](6,0)(6,5.8)
\rput(4.6,2.4){première machine} \rput(5,5.3){nouvelle machine} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
 \medskip

Formuler, pour la production de la nouvelle machine, deux affirmations exactes l'une sur le modèle de l'affirmation B, l'autre sur celui de l'affirmation D de la première question.
\item L'entreprise s'estimant satisfaite de sa nouvelle machine, elle s'intéresse maintenant à un nouveau problème : y a-t-il, dans les sachets, autant de bonbons rouges que de jaunes ? Le technicien prélève 16 sachets, et observe les résultats suivants :

\medskip

%\hspace{-1cm}
{\scriptsize \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.25cm}|*{16}{X|}}\hline
 
Numéro du	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10	&11	&12	&13	&14	&15	&16\\ 
sachet		&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
Nombre de	&23	&25	&20	&23&29&34&31&31&25&28&33&29&32&26&31&25\\ 
bonbons rouges&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\\hline
Nombre de	&27	&25	& 30&27	&21	&16	&19	&19	&25	&22	&17	&21	&18	&24 &19	&25\\
bonbons jaunes&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}}
  
 \medskip
 
À partir de ces données, il a commencé à remplir un tableau dont voici un extrait, concernant uniquement les bonbons rouges :
 
 \medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\No du sachet&	Effectif&	Fréquence &Effectifs cumulés &	Fréquence\\ \hline
1&	23&	46\,\%&	23& 	46,000\,\%\\ \hline
2&	25&	50\,\%&	48& 	48,000\,\%\\ \hline
3&	20&	40\,\%&	68&	45,333\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item  Expliquer à quoi correspondent les résultats des trois dernières colonnes, et comment ils ont été calculés. 
\item Donner les valeurs qui apparaîtront dans la ligne correspondant au sachet \no 16.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{document}