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%tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Mathématiques-informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2003}} 
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat général  Métropole \decofourright}}
    
{\large \textbf{épreuve anticipée Mathématiques}}

{\large \textbf{Mathématiques-informatique - série L - septembre  2003 }}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1} \hfill  9 points}

\medskip

Après les épreuves écrites anticipées de la session 2004 du baccalauréat, les copies de mathématiques-informatique des candidats d'une académie sont partagées en lots d'importance inégale.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Un lot de 135 copies est partagé entre deux correcteurs ; M. V. reçoit 60 copies  et Mme F. reçoit les 75 copies restantes.
 
Après correction, M. V. obtient une moyenne exactement égale à 15,2. Les notes attribuées par Mme F. figurent dans le tableau fourni en annexe 1 (ce tableau
 sera complété à la \textbf{partie B}).

\begin{enumerate}
\item  Donner la moyenne des copies corrigées par Mme F., arrondie au centième.
\item Calculer la moyenne du lot de copies corrigé par ces deux professeurs, arrondie au dixième.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau fourni en annexe 1.
		\item Déterminer la médiane et les quartiles de la série de notes attribuées par Mme F. On expliquera comment obtenir ces résultats à partir du tableau précédent, sans utiliser la calculatrice.
		\item Calculer l'écart interquartile $e$ de cette série,
	\end{enumerate}
\item La série des notes attribuées par M. V. présente les caractéristiques suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item sa médiane est égale à 15
\item son premier quartile est égal 14
\item son troisième quartile est égal 16
\item les notes extrêmes sont 10 et 19.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
Calculer l'écart interquartile $e'$ de cette série.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire l'un au dessous de l'autre, sur papier millimétré, le diagramme en boîte de chacune de ces deux séries.
		\item En comparant les deux diagrammes en boîte, que peut-on dire
 de ces deux séries ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

Les moyennes des \np{1037} lots de copies constitués en France métropolitaine 
sont pour cette épreuve des données gaussiennes dont la moyenne est $m = 10,98$ et dont l'écart-type est $s = 1,34$ (résultats arrondis au centième).

\begin{enumerate}
\item  Déterminer l'intervalle $[m - 2s~;~ m + 2s]$. Quel nom porte cet intervalle ?
\item Soit $\eta$ le nombre de lots de copies dont la moyenne est à l'extérieur de
 cet intervalle. à quel nombre $\eta$ faut-il s'attendre ?
\item La moyenne du lot des 135 copies corrigées par M. V. et M\up{me} F. appartient-elle à cet intervalle ? Que peut-on en conclure ?
\end{enumerate}

\vspace{0,8cm}

\textbf{Tournez la page S.V.P.}

\newpage

\textsc{ Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip


Après la mort du roi Arthur, son épée Excalibur est rendue au Lac d'Avallon et est de nouveau confiée à la fée Viviane. Bien des siècles plus tard, une nouvelle invasion des Saxons va rendre nécessaire la réapparition de l'épée. Viviane, qui possède le don de prédire l'avenir, va dès l'année 3932 préparer le retour d'Excalibur parmi les hommes, en faisant diminuer le niveau du lac.

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont totalement 
indépendantes}.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Viviane va faire diminuer la hauteur d'eau exprimée en mètres (m) selon le graphique suivant : (la hauteur est mesurée au point où elle est la plus grande)

\begin{center}
\psset{xunit=0.157cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(70,110)
\psaxes[Dx=100,Dy=10](0,0)(2,110)
\multido{\n=0+2}{36}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,110)}
\multido{\n=0+10}{12}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(70,\n)}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,96)(2,95)(19,88)(30,71)(42,50)(62,40)(67,38)(70,37)
\uput[d](0,0){3930} \uput[d](10,0){3940} \uput[d](20,0){3950} 
\uput[d](30,0){3960} 
\uput[d](40,0){3970} \uput[d](50,0){3980} \uput[d](60,0){3990} 
\uput[d](70,0){4000}
\uput[d](35,-10){Années}
\uput[l]{90}(-5,50){hauteur d'eau en m} 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{enumerate}
\item  Peut-on dire qu'il s'agit d'une décroissance  linéaire ? Justifier.
\item Avec la précision permise par le graphique, déterminer quelle est la hauteur d'eau, en m, en 3972.
\item Avec la précision permise par le graphique, déterminer en quelle année la hauteur d'eau est de 40 m.
 
La carte fournie en annexe 2 représente le fond du lac et ses environs immédiats en l'absence d'eau. Les altitudes sont exprimées en mètres.

La zone la plus profonde est  parfaitement plate : c'est la zone hachurée de la carte.

Au milieu cette zone il y a un monticule visible sur la carte mais submergé, au sommet duquel (repéré par le point E) est placé un autel.

L'épée est plantée dans celui-ci. L'altitude indiquée en E est celle du sol.
\item Quelle différence d'altitude sépare deux lignes de niveau consécutives ?
\item En utilisant le résultat de la question 2., dessiner le contour du Lac en 3972
 sur la carte de l'annexe 2.
\item Quelle est l'altitude du point E ?
\item La longueur totale d'Excalibur est de 1,60 m, dont 1,20 m de lame et 0,40 m de garde. Sa lame est enfoncée de 0,60 m dans l'autel dont la hauteur est de 1,40 m, situé en E sur la carte.
 
 Déterminer en quelle année la garde de l'épée sera totalement découverte.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

Suite à cette baisse du niveau des eaux, la superficie du lac diminue. On peut considérer que le pourcentage de diminution annuel est de 0,27\,\%.\\
On veut calculer la superficie du lac en 3992 à l'aide d'un tableur, comme le propose la feuille de calcul ci-dessous :
 
\medskip

\begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
 	&A 		&B 			& C \\ \hline
1	& 		&Pourcentage& \\
	& 		&de diminution& \\ \hline
2	& 		&0,27\,\% 	& \\ \hline
,3	&Année 	&Superficie en km$^2$&  \\
& & (arrondie à 1 km$^2$) & \\ \hline
4& 3949 & 4 484 & \\ \hline
5& 3950 & 4 472 & \\ \hline
6& 3951 & 4 460 & \\ \hline
7& 3952 & 4 448 & \\ \hline
8& 3953 & 4 436 & \\ \hline
9& 3954 & & \\ \hline
10& 3955 & & \\ \hline
11& 3956 & & \\ \hline
12& 3957 & & \\ \hline
13& 3958 & & \\ \hline
14& 3959 & & \\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\begin{enumerate}
\item  La valeur 4 484 a été écrite en B4.

La valeur 0,27\,\% a été écrite en B2.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule a été introduite en B5 ?
		\item Cette formule a été recopiée vers le bas. Quelle est la formule qui apparaît dans la barre de formules si l'on clique sur B8 ?
		\item On poursuit la recopie vers le bas.\\
Quelle cellule contient la superficie du Lac en 3954 ? Que vaut cette 
superficie ?
	\end{enumerate}
\item On note $s_0$ la superficie du Lac en 3949 et $s_n$ la 
superficie du lac en l'année $3949 + n$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite des nombres $s_n$ ?
		\item Écrire $s_n$ en fonction de $s_0$ et de $n$, puis
 de $n$ uniquement.
		\item Quelle est la superficie du lac en 3992 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Tournez la page S.V.P.}

\newpage

\begin{center} \textbf{ANNEXE 1}

\textbf{(à rendre avec la copie)}

Tableau des notes attribuées par Mme F.

\vspace{0,5cm}

\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
Note		&Nombre		&Nombre \\
attribuée	&de copies 	& cumulé de \\
 			& 			&copies \\ \hline
6			&3			&3 \\ \hline
7			&4			&7\\ \hline
8			&4			&11\\ \hline
9			&6			&17\\ \hline
10			&5			&\\ \hline
11			&6			&\\ \hline
12			& 8 		& \\ \hline
13			& 6 		& \\ \hline
14 			& 4 		&\\ \hline
15 			& 7 		& \\ \hline
16 			& 10 		& \\ \hline
17 			& 5 		& \\ \hline
18 			& 5 		& \\ \hline
19 			& 2 		& \\ \hline
Nombre 		& 			& \\
total de 	& 75		& \\
copies 		& 			& \\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\newpage

\begin{center}
    
\textbf{Annexe 2}
    
\textbf{(à rendre sur la copie)}
    
\begin{pspicture}(11.5,11.5)
\psframe(11.2,11.2)
\pscurve(1,0.5)(1.5,0.6)(1.8,0.8)(1.5,1)(1,1.4)(0.8,1.4)(0.5,1.2)(0.3,0.9)(1,0.5)
 % 490 bas gauche
 \pscurve(10.5,0)(10.6,0.6)(10.75,1.4)(11.2,2.15)%490 bas droit
\rput{45}(0.9,0.7){+} \uput[u](0.9,0.7){492} \rput{-30}(1.8,1.4){480}
\pscurve(0,2.4)(1,1.8)(1.5,1.6) \pscurve(2,1.1)(3,0.5)(3.7,0) %480 bas gauche
\pscurve(8.8,0)(9.3,0.4)(9.8,1)(10.5,2.2)(11.2,3.2)%480 bas droit
\pscurve(0,8.9)(0.6,8.5)(1,8.7)(2,9.2)(3,10)(3.3,10.4) % 480 haut gauche
\pscurve(3.8,10.85)(4,11)(4.25,11.2)% 480 haut gauche
\pscurve(0,5.8)(0.15,4.4)(0.4,3.4)(1,2.4)(2,2)(3,1.5)(4,1.1)(5,0.8)(6,0.75)(7,0.6)
(8,0.5)(9,1.1)(10,2.2)(11,3.8)(11.2,4) % 470
\pscurve(0,7.6)(1,8.2)(2,8.9)(3,9.5)(4,10.05)(5,10.45)(6,10.7)(7,10.75)(8,10.6)(9,10.35)(10,9.5)(11.2,7.4) %470 haut
\rput{18}(5,10.4){470} \rput{33}(3.5,10.6){480} 
\pscurve(0.7,3.7)(1,3.15)(2,2.45)(3,2.2)(4,1.8)(5,1.4)(6,1.2)(7,1.3)(8,1.5)(9,1.9)(10,2.85)(10.5,4.4)(10.6,5.4)(10.5,6.4)(10.2,8.4)(9.7,9.4)(9,10)(8,10.1)(7,10)(6,9.9)(5,9.8)
 (4,9.6)(3,9.2)(2,8.6)(1,7)(0.7,4,4)(0.7,3.7)%460
\pscurve(1,3.5)(2,2.65)(3,2.5)(4,2.25)(5,1.9)(6,1.75)(7,1.8)(8,2.05)(9,2.5)(10,3.65)(10.2,5.4)(10.35,6.4)(10,7.2)(9.75,8.4)(9,9.4)(8,9.8)(7,9.7)(6,9.6)(5,9.4)(4,9.2)(3,8.6)(2,7.9)(1.5,7.4)(1.37,7.1)(1.5,6.6)(1.25,5.4)(1,4.4)(0.8,4)(1,3.5)%450
\rput{15}(5,9.4){450}
\rput{20}(8,2.1){450} \rput{20}(7.5,4.3){400} \rput{20}(7.5,5.3){400} 
\pscurve(1.6,4)(2,3.8)(3,3.3)(4,2.6)(5,2.1)(6,2.05)(7,2.18)(8,2.4)(9,3.2)(9.4,4)(9.8,5)(9.75,5.5)(9.8,6)(9.55,7)(9.3,8)(9,8.65)(8,8.95)(7,9.05)(6,9)(5,8.85)(4,8.6)(3,8.2)(2.5,7.7)(2.05,6)(1.8,5)(1.6,4)%440
\pscurve(2.6,4.7)(3,3.97)(4,3)(5,2.4)(6,2.35)(7,2.5)(8,2.75)(9,3.9)(9.4,5)(9.45,5.25)(9.4,6)(9.3,7)(9,8.3)(8.5,8.5)(8,8.6)(7,8.6)(6,8.6)(5,8.5)(4.3,8)(3.9,7)(3.5,6)(3,5.6)(2.6,4.7)%430
\pscurve(3.3,4.5)(3.5,4)(4,3.5)(4.5,3)(5,2.7)(6,2.6)(7,2.65)(8,3.2)(8.6,4)(9,4.7)(9.2,5.05)(9.15,5.4)(9.12,6.3)(9,7)(8.9,8)(8.5,8.35)(8,8.4)(7,8.3)(6,8.07)(5,7.85)(4.3,7)(4,6.3)(3.5,5)(3.3,4.5)% 420
\pscurve(3.8,4.5)(4,4.3)(4.5,3.75)(5,3.25)(6,3.2)(7,3.35)(8,4)(8.7,5)(8.85,5.75)(8.7,6.5)(8.6,7)(8.35,7.5)(8,7.7)(7,8)(6,7.7)(5,7.2)(4.3,6)(4,5.2)(3.8,4.5)% 410
\pscustom{
\pscurve(4.6,5.4)(5,4.6)(5.3,4.1)(6,4.2)(7,4.4)(8,4.7)(8.45,5.9)(8,7.6)(7,7.8)(6,7.6)(5,6.9)(4.6,5.4)% 400
\gsave
\pscurve[liftpen=1](5.4,5.4)(5.2,5.9)(5.15,6.4)(6,7.3)(7,7.7)(8,7.3)(8.2,6.8)(8,5.6)(7,5.1)(6,5.2)(5.4,5.4)% 400
\fill[fillstyle=hlines,fillcolor=gray]
\grestore}
\pscurve(5.4,5.4)(5.2,5.9)(5.15,6.4)(6,7.3)(7,7.7)(8,7.3)(8.2,6.8)(8,5.6)(7,5.1)(6,5.2)(5.4,5.4)
\pscurve(1,11.2)(0.8,11)(0.7,10.5)(0.45,9.6)(0.7,9)(0.85,8.95)(1,9)(2,9.5)(2.6,10)(2.8,10.4)(2.5,10.9)(1.85,11.2)% 490
\pscurve(0.8,9.5)(1.5,9.7)(2,9.9)(2.4,10.4)(2,10.9)(1.6,10.82)(1,10.85)(0.8,10.3)(0.7,9.7)(0.8,9.5)% 500
\pscurve(1,10)(1.1,9.8)(1.7,10)(2,10.35)(1.8,10.7)(1.1,10.7)(1,10.5)(1.05,10.25)(1,10)% 510
\rput(1.45,10.45){$\times$} \uput[d](1.45,10.45){517}
\pscurve(5.75,6)(6,5.7)(7,5.5)(7.25,5.4)(7.7,6)(7.92,6.3)(7.7,7.3)(7.3,7.45)(7,7.4)(6.4,7.25)(6,7)(5.85,6.5)(5.75,6)%410 au centre
\pscurve(6.2,6)(6.5,5.8)(6.9,5.75)(7.6,6)(7.8,6.3)(7.8,6.4)(7.6,7)(7.2,7.3)(6.4,7.1)(6.25,6.5)(6.1,6.2)(6.2,6)%420 au centre
\pscurve(6.4,6.2)(7,6.05)(7.3,6.2)(7.4,6.5)(7.5,6.8)(7.55,6.9)(7.1,7)(6.85,7)(6.5,6.7)(6.4,6.2)%430 au centre
\rput(7,6.55){$\times$} \uput[d](7,6.55){438} \uput[ur](7,6.55){E}
\rput{50}(10,1.1){480}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 