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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Mathématiques-informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat anticipé Première L }
\rfoot{\small {septembre 2004}}
\lfoot{\small{Métropole}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Mathématiques-informatique \decofourright\\  Métropole  septembre 2004}}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

On s'intéresse au jeu \og Keno \fg{}  de la Française Des Jeux. L'une des façons de jouer est la suivante : dans une grille contenant une fois chacun les nombres  de 1 à $70$, on choisit $10$~numéros. Un tirage au sort de $20$~numéros a lieu : une grille est  gagnante dans l'un des deux cas suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  soit aucun des numéros sortis n'a été trouvé ;
\item   soit au moins cinq numéros sortis ont été trouvés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Dans l'annexe 1 on trouve un extrait tiré des règles figurant au dos des bulletins.

Sur \np{10000}~bulletins, on a obtenu les résultats suivants :

{\footnotesize \begin{center} \begin{tabular}{|m{2.25cm}|*{11}{c|}}\hline
nombre de numéros trouvés&0& 1& 2& 3&	4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ \hline
effectif& 	254&  1253&  2521&  2922&  1962&  822&  220&  41&	~5~& ~0~& 
~0~\\ \hline
\end{tabular} \end{center}}

Par exemple, le nombre de bulletins où on a trouvé exactement deux  bons numéros est de \np{2521}.

\begin{enumerate} 
\item	
	\begin{enumerate} 
		\item Combien y a-t-il de bulletins gagnants ?
		\item Quel pourcentage cela représente-t-il ?
		\item Ce pourcentage est-il proche du \og 1 sur 7,4 \fg{} annoncé dans le tableau de l'annexe ?
	\end{enumerate}

\item Sur l'échantillon observé, combien un bulletin contient-il de  bons numéros en moyenne ?

\item Déterminer, en expliquant votre démarche, la médiane ainsi que 
le premier et le troisième quartile de la série résumée par le tableau.

\item Construire le diagramme en boîte correspondant.

\item Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
 
Justifier la réponse en utilisant uniquement les indicateurs de la série.

	\begin{enumerate} 
		\item Au moins la moitié des bulletins comporte au plus 2 bons numéros.
		\item $25\,\%$ au plus des bulletins comportent 4 bons numéros ou davantage.
		\item Au moins $50\,\%$ des bulletins comportent de 2 à 4 bons numéros.
	\end{enumerate}
\item Les \np{10000} joueurs ont misé 3 \euro{} chacun : ils ont donc dépensé \np{30000}~\euro. Calculer le total des gains redistribués.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

Les parties 2 et 3 sont indépendantes de la partie 1.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie 1}

\medskip

Pour stocker des fichiers photos dans un appareil numérique ou sur un disque dur d'ordinateur, on utilise des algorithmes de compression : un  fichier compressé prend moins de place en mémoire, mais sa qualité est également moins bonne.

Le tableau ci-dessous donne la taille (en milliers d'octets ou Ko) d'un fichier en fonction du niveau de compression pour les $5$ premiers niveaux. La taille initiale du fichier est $689$~Ko et correspond au niveau de compression $0$.

\begin{center} \begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline
niveau de 	& 	& 	& 	& 	& 	& \\
compression &0 	&1 	&2 	&3 	&4 	&5\\ \hline
taille du 	& 	& 	& 	& 	& 	& \\	
fichier (Ko)&689&542&427&335&263&206\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item De quel pourcentage la taille du fichier a-t-elle diminué après une compression de niveau 1 ? Donner le résultat arrondi à $0,1\,\%$.

On constate que, pour chaque niveau de compression, la taille du 
fichier est multipliée par un coefficient voisin de $0,786$. On peut donc approcher la taille du  fichier après une compression de niveau $n$ par le nombre T vérifiant la relation :

$T_{n+1} = 0,786 \times T_n$ avec $T_0 = 689$.
\item Quelle est la nature de la suite des nombres $T_n$ ?
\item Calculer les valeurs exactes de $T_1,~T_2$ et les comparer aux  tailles réelles.
\item Exprimer $T_n$ en fonction de $n$.

En déduire une valeur approchée entière de $T_{10}$.

\item à l'aide de la calculatrice, déterminer le niveau minimal de compression qu'il faudrait utiliser pour que la taille du fichier compressé soit inférieure à  $40$~Ko.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie 2}

\medskip

Pour le tirage papier de photographies numériques, trois agences proposent les tarifs suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  \textbf{Agence B} : les $50$ premières photos sont à $0,53$~\euro~ pièce, les $50$ suivantes sont à $0,45$~\euro~ pièce et les suivantes à $0,38$~\euro~ pièce.
\item   \textbf{Agence C} : pour un tirage de 1 à 39 photos : toutes les photos sont à $0,35$~\euro~ pièce ;

pour un tirage de $40$ à $59$ photos : toutes les photos sont à $0,33$~\euro  pièce ;

pour un tirage de $60$ à $99$ photos : toutes les photos sont à $0,31$~\euro~ pièce ;

pour un tirage de $100$ photos et plus toutes les photos sont à $0,25$~\euro~ pièce.

\item \textbf{Agence D} : $2,90$~\euro forfaitaire plus $0,25$~\euro par photo.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate} 
\item Calculer le prix du tirage de 60 photos dans chacune des agences.
\item Pour calculer le prix de revient des tirages dans les différentes 
agences, on a utilisé un tableur. On a reproduit dans l'annexe 1 une partie d'écran.

On veut que les formules entrées puissent être recopiées vers le 
bas et s'actualisent automatiquement si on change les valeurs des lignes 3 à 6.

	\begin{enumerate} 
		\item Quelle formule écrit-on dans la cellule C9 ? Jusqu'où peut-on la  recopier ?
		\item Quelle nouvelle formule écrit-on dans la cellule C48 ?
		\item Quelle formule à recopier jusqu'en B58 faut-il écrire en B9 ?
		\item On recopie cette formule jusqu'à la cellule B58 : qu'est-elle devenue en B50 ?
		\item Quelle nouvelle formule faut-il écrire dans la cellule B59 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie 3}

\medskip

Le graphique donné en annexe 2 représente le prix du tirage pour les trois agences.

Avec la précision permise par le graphique :

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la courbe associée à chaque agence.
\item Déterminer le prix, dans chacune des agences, du tirage de 80 
photos.
\item Déterminer, pour chaque agence, combien de photos on peut 
obtenir pour 30~\euro.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ANNEXE 1}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

{\scriptsize \begin{center} \begin{tabular}{|*{7}{c|}}\hline
Numéros joués &  Vos chances & Numéros	&Vos chances de& Gain & Gain pour une& 
Gain pour une\\	
par grille&	totales de&	trouvés par&	gagner& X fois la mise& mise de 1,5 
\euro& mise de 3 \euro\\ 
 & gagner&	grille& & & & \\ \hline
10 numéros&	1 sur 7,4&	10&1 sur \np{2147181}&$\times \np{200000}$&	\np{300000} \euro&	
600000 \euro\\
&&9&	1 sur \np{47238}&	$\times \np{2500}$&	\np{3750} \euro&	\np{7500} \euro\\
&&8&	1 sur \np{2571}&	$\times 100$&	150 \euro&	300 \euro\\
&&7&	1 sur 261&	$\times 10$&	15 \euro&	30 \euro\\
&&6&	1 sur 44&	$\times 5$&	7,5 \euro&	15 \euro\\
&&5&	1 sur 12&	$\times 2$&	3 \euro&	6 \euro\\
&&0&	1 sur 39&	$\times 2$&	3 \euro&	6 \euro\\ \hline
\end{tabular} \end{center}}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 Partie 2}

\begin{center} \begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
	&A & 	B & C & D \\ \hline
1 	& & & & \\ \hline	
2 	& & Agence B &	Agence C &	Agence D\\\hline
3 	& & 	0,53&	0,35 &	2,90\\\hline
4 	& & 	0,45&	0,33 &	0,25\\\hline
5 	& & 	0,38& 	0,31 &            \\\hline
6 	& & & 	0,25 & \\\hline
7 	& & & &                                     \\\hline
 	& Nombre	&Prix&	Prix &	Prix\\
8 	&  de photos & 	avec&	avec&	avec\\
 	& & 	l'agence B& 	l'agence C &	l'agence D \\ \hline
9 	&1&	0,53&0,35&3,15\\\hline
10	& 2&1,06&0,70&3,40\\\hline
11 	&3&	1,59&1,05&3,65\\\hline
\ldots& \ldots &\ldots 	&\ldots &\ldots \\ \hline
47& 39	&20,67	&13,65	&12,65\\\hline
48&	40	&21,20	&13,20 	&12,90\\\hline
49&	41	&21,73	&13,53	&13,15\\\hline
50&	42	&22,26	&13,86	&13,40\\\hline
51&	43	&22,79	&14,19	&13,65\\\hline
52&	44	&23,32	&14,52 	&13,90\\\hline
53&	45	&23,85	&14,65	&14,15\\\hline
54&	46	&24,38	&15,18	&14,40\\\hline
55&	47	&24,91	&15,51	&14,65\\\hline
56&	48	&25,44	&15,84	&14,90\\\hline
57&	49	&25,97	&16,17	&15,15\\\hline
58&	50	&26,50	&16,50	&15,40\\\hline
59&	51	&26,95	&16,53	&15,65\\\hline
60&	52	&27,40	&17,16	&15,90\\\hline
61&	53	&27,85	&17,49	&16,15\\\hline
62&	54	&28,30	&17,82	&16,40\\\hline
63&	55	&28,75	&18,15	&16,65\\\hline
\end{tabular} \end{center}

\newpage

\begin{center} \textbf{ANNEXE 2}\end{center}
    
\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 partie 3}

\vspace{1cm}

\begin{center} \textbf{Prix du tirage}

\vspace{1cm}
    
\psset{xunit=0.08cm,yunit=0.15cm}
\begin{pspicture}(0,-10)(150,70)
\psaxes[Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(160,80)
\uput[d](75,-10){nombre de photos}
\rput{90}(-15,35){prix (en \euro)}
\pstextpath[r](0.2,0.2){\psplot[linewidth=2pt]{0}{140}{0.25 x mul 2.9 
    add}}{Courbe 2~~~~~~~~~~~~~~}
\pstextpath[r](0.2,0.2){\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(50,26.5)(100,49)(140,64.2)}{Courbe 1~~~~~~~~~~~~~~}
\psline[linestyle=dotted](0,0)(39,13.65)
\psline[linestyle=dotted](40,13.2)(59,19.47)
\pstextpath[r](0.2,0.2){\psline[linestyle=dotted](60,18.6)(99,30.69)}{Courbe 3~~~~~~~~~~~~~~}
\psline[linestyle=dotted](100,25)(140,35)
\multido{\n=0+10}{16}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(150,\n)}    
\end{pspicture}
\end{center}
    
\vspace{2cm}
    
La courbe 3 est constituée de quatre segments.
\end{document}