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\begin{document}
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\lhead{\small Mathématiques-informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\rfoot{\small{mars 2005}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large  \decofourleft~Baccalauréat L Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\
    épreuve anticipée Mathématiques-informatique\\ mars 2005
 Durée: 1 heure 30}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 10 points}

\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse au profil d'une piste de skate-board dans un parc de loisirs.

Un bureau d'étude souhaite donner à cette piste, large de huit mètres, une forme parabolique ayant une dénivelé maximum (on appelle dénivelé la différence d'altitude entre deux points).

Compte tenu des contraintes liées au terrain, ce bureau utilise pour trouver un modèle de piste, des fonctions f définies sur l'intervalle [0~;~8] par :

\[f(x) = ax^2 + bx+ c,\]

où $a,~ b$ et $c$ sont trois coefficients réels donnés.

Les courbes représentatives de ces fonctions seront des profils possibles pour cette piste.

Pour cela, on s'intéresse à deux fonctions particulières $f_{1}$ et $f_{2}$.

On fournit, en annexe (à rendre avec la copie), un tableau obtenu à partir d'un tableur.

Ce tableau donne les coefficients a, b et c pour chacune de ces fonctions.
Ainsi on a $f_{1}(x) = 4x^2 - 32x + 28$ et  $f_{2}(x) = 4x^2 - 28x + 28$.

Sur cette annexe, on fournit également les portions de paraboles correspondant à ces deux fonctions.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{Reconnaissance des profils}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle formule saisir dans la cellule B6 pour que, par recopie vers la droite, on obtienne les valeurs prises par la fonction $f_{1}$ lorsque $x$ varie ?

Compléter la ligne 6 en utilisant éventuellement la calculatrice.
\item  Quelle formule saisir dans la cellule B7 pour que, par recopie vers la droite, on obtienne les valeurs prises par la fonction $f_{2}$ lorsque $x$ varie ?

Compléter la ligne 7 en utilisant éventuellement la calculatrice.
\item  Indiquer sur le graphique celle des deux courbes qui représente la
fonction $f_{1}$. On la notera P$_{1}$. Justifier ce choix. 
\item  Si on recopie vers le bas la formule saisie dans la cellule B6 à la question 1, obtiendra-t-on la formule saisie en B7 à la question 2 ? Justifier.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\textbf{Recherche du profil au dénivelé le plus important}

\medskip

On rappelle qu'une dénivelé est la différence d'altitude entre deux points.
\begin{enumerate}
\item  En utilisant le tableau et le graphique, donner les tableaux de variation de $f_{1}$, puis de $f_{2}$ sur l'intervalle [0 ;  8]. Donner le maximum et le minimum pour les deux fonctions sur cet intervalle. 
\item  Calculer la dénivelé maximum, en mètres, pour chacun des deux
profils.
\item  Quel est le profil qui offre la plus grande dénivelé ? 
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 10 points}

\medskip

Les résultats obtenus par les $199$~élèves de six classes de seconde à un devoir commun ont permis de construire les six diagrammes en boîte donnés en annexe (à rendre avec la copie).

Les résultats obtenus par l'ensemble des élèves de seconde sont donnés dans le tableau 1 suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{19}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
Notes	&1&2&3&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10	&11	&12	&13	&14	&15	&16	&17	&18	&19\\ \hline
Effectifs&1&2&8&11&14&16&17	&20	&30	&26	&15	&11	&11	&7&2&2&2&2&2\\ \hline
\multicolumn{20}{c}{Tableau 1}\\
\end{tabularx}

\medskip

Les effectifs et les moyennes des classes de seconde sont donnés dans le tableau 2 suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Seconde		& 1		&2		&3		&4		&5		&6\\ \hline
Effectifs 	&	34	&	33	&	34	&33		&	32	&33\\ \hline
Moyennes	&8,76	&9,52	&6,82	&9,97	& 8,41	&9,52\\ \hline
\multicolumn{7}{c}{Tableau 2}\\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{Étude des classes de Seconde à l'aide de diagrammes en boîte}
\begin{enumerate}
\item  Donner les notes correspondant à la médiane, au premier et au
troisième quartile de la série des notes de Seconde 1.
\item  En Seconde 2, peut-on dire qu'au moins un élève sur deux a une note inférieure ou égale à 10 ? Justifier.
\item  Dans quelles classes de Seconde, peut-on dire qu'au moins 75\:\%
 des élèves ont une note inférieure ou égale à 13 ? Justifier.
\item  Comment expliquer qu'en Seconde 5, la note moyenne est inférieure à la note médiane ?
\item  Pour la classe de Seconde 3, donner l'intervalle interquartile.
\item  En Seconde 5, combien d'élèves ont-ils obtenu une note supérieure ou égale à 10 ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\textbf{Étude de l'ensemble des élèves de Seconde}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la médiane, les premier et troisième quartiles de la série des notes de l'ensemble des élèves de Seconde. Construire, sur l'axe donné en annexe (à rendre avec la copie), le diagramme en boîte de cette série.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide du tableau 1 ci-dessus, calculer la note moyenne des élèves de Seconde (on donnera une valeur arrondie au centième).
		\item  Expliquer la méthode qui permet de calculer cette moyenne en utilisant exclusivement le tableau 2 ci-dessus. Effectuer ce calcul. 
	\end{enumerate}
\item  On suppose que les notes de l'ensemble des élèves de Seconde sont des données gaussiennes et que l'écart type est égal à $3,45$. Comment s'appelle l'intervalle $[\overline{x} - 2\sigma~ ;~ \overline{x} + 2\sigma]$ ? Donner le pourcentage d'élèves de Seconde ayant obtenu une note située hors de cet intervalle.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
 
\textbf{Annexe de l'exercice 1 (à rendre avec la copie)}
 
 \bigskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
 	&A				&B	&C		&D		&E		&F		&G		&H		&I	&J	&K\\ \hline
1	&coefficients	&a	& 	b	&c		&		&		&		&		&	&	&\\ \hline
2	&pour $f_{1}$	&4	&$-32$	&28		&		&		&		&		&	&	&\\ \hline
3	&pour $f_{2}$	&4	&$-28$	&28		&		&		&		&		&	&	&\\ \hline
4	&				&	&		&		&		&		&		&		&	&	&\\ \hline
5	&$x$			&0	&1		&2		&3		&3,5	&4		&5		&6	&7	&8\\ \hline
6	&$f_{1}(x)$	&28&0		&$-20$	&$-32$	&		&$-36$	&		&	&	&	\\ \hline
7	&$f_{2}(x)$	&28	&		&		&		&		&		&		&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.12cm}
\begin{pspicture}(-1,-40)(9,65)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-40)(9,65)
\multido{\n=-1+1}{11}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,-40)(\n,60)}
\multido{\n=-40+10}{11}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](-1,\n)(9,\n)}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{x 2 exp 4 mul 32 x mul sub 28 add}
\psplot[linestyle=dashed]{0}{8}{x 2 exp 4 mul 28 x mul sub 28 add}
\rput(4,-50){Les profils}
\end{pspicture} 

\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe de l'exercice 2 (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.45cm} \begin{pspicture}(25,12)
\psline(4,0)(25,0)
\multido{\n=4+1}{20}{\psline(\n,-0.15)(\n,0.15)}
\multido{\n=5+2,\na=1+2}{10}{\uput[d](\n,0){\na}}
\psline(9,10.5)(11,10.5) \psline(15,10.5)(22,10.5) \psline(14,10)(14,11)\psframe(11,10)(15,11)
\psline(7,9)(11,9) \psline(14,9)(20,9) \psline(13,8.5)(13,9.5)\psframe(11,8.5)(14,9.5)
\psline(7,7.5)(12,7.5) \psline(17,7.5)(23,7.5) \psline(13,7)(13,8)\psframe(12,7)(17,8)
\psline(5,6)(8,6) \psline(13,6)(19,6) \psline(10,5.5)(10,6.5)\psframe(8,5.5)(13,6.5)
\psline(7,4.5)(11,4.5) \psline(17,4.5)(21,4.5) \psline(14,4)(14,5)\psframe(11,4)(17,5)
\psline(7,3)(10,3) \psline(15,3)(23,3) \psline(13,2.5)(13,3.5)\psframe(10,2.5)(15,3.5)
\uput[l](2,10.5){Seconde 6}
\uput[l](2,9){Seconde 5}
\uput[l](2,7.5){Seconde 4}
\uput[l](2,6){Seconde 3}
\uput[l](2,4.5){Seconde 2}
\uput[l](2,3){Seconde 1}
\uput[l](2,1.5){Ensemble}
\uput[l](2,0.75){des élèves}
\uput[l](2,0){de Seconde}	
\psline(4,0.75)(23,0.75)
\psdots(9,10.5)(7,9)(7,7.5)(5,6)(7,4.5)(7,3)(22,10.5)(20,9)(23,7.5)(19,6)(21,4.5)(23,3)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}