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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2006}}
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\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
 
\begin{center}    {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Mathématiques--informatique~\decofourright\\Nouvelle-Calédonie mars 2006}} 
\end{center}

\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}   \hfill 10 points}

\medskip

On injecte dans le sang d'un malade une dose de médicament M. On note $c_0$ la concentration (en milligrammes par litre noté mg/L) du médicament injecté, $c_0=4$. On suppose que ce médicament se répartit instantanément dans le sang et qu'il est ensuite éliminé progressivement.

Le but de l'exercice est d'étudier la concentration du médicament M en fonction du temps.

On note $c_n$ la concentration en mg/L du médicament au bout de $n$ heures ($n$ entier naturel). On rappelle que $c_0 = 4$.
\begin{enumerate}
\item On constate qu'une heure après l'injection, la concentration du médicament M dans le sang a diminué de 30\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le coefficient multiplicatif, qui permet de calculer la concentration $c_1$ du médicament M présent dans le sang une heure après l'injection, est égal à 0,7.
		\item Calculer $c_1$.
	\end{enumerate}
\item On constate que la concentration du médicament M continue de diminuer de 30\,\% chaque heure.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la concentration $c_2$ du médicament M deux heures après l'injection, puis les concentrations $c_3$ et $c_4$.
		\item Déterminer la nature de la suite $\left(c_n\right)$ et montrer que $c_n=4\times (0,7)^n$.
		\item Calculer $c_{13}$ (le résultat sera arrondi au centième).
		\item On estime que le médicament M est totalement éliminé lorsque $c_n$ est inférieur à 0,05. Après combien d'heures peut-on considérer que le médicament est totalement éliminé ?
	\end{enumerate}
\item Le tableau ci-dessous, élaboré à l'aide d'un tableur, donne la concentration en mg/L du médicament M en fonction du temps écoulé depuis l'injection. On a complété la colonne A pour avoir le temps écoulé (en heures) depuis l'injection.

\newcounter{numa}
\setcounter{numa}{0}
\newcommand{\numa}{\sl\stepcounter{numa}\arabic{numa}}
\newcounter{numb}
\setcounter{numb}{-1}
\newcommand{\numb}{\sl\stepcounter{numb}\arabic{numb}}

\noindent
\begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.8}}c|*{6}{c|}}\hline
\rowcolor[gray]{0.8} & A & B &C&D&E&F \\ \hline
\numa&$n$&Concentration &Dose&Concentration &&\\ 
&&$c_n$ (en mg/L)&ajoutée&$K_n$ (en mg/L)&&\\\hline
\numa&\numb&4,00&\multicolumn{1}{|>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad} &4&&\\ \hline
\numa&\numb&&1&3,80&&\\ \hline
\numa&\numb&&1&3,66&coefficient&0,7\\ \hline
\numa&\numb&&1&3,56&&\\ \hline
\numa&\numb&&1&3,49&&\\ \hline
\numa&\numb&&1&3,45&Dose ajoutée&1\\ \hline
\numa&\numb&&1&3,41&&\\ \hline
\numa&\numb&&1&3,39&&\\ \hline
\numa&\numb&&1&3,37&&\\ \hline
\numa&\numb&&1&3,36&&\\ \hline
\numa&\numb&&1&3,35&&\\ \hline
\numa&\numb&&1&&&\\ \hline
\numa&\numb&&1&&&\\ \hline
\numa&\numb&&1&&&\\ \hline
\numa&\numb&&1&&&\\ \hline
\numa&\numb&&1&&&\\ \hline
\numa&\numb&&1&&&\\ \hline
\numa&\numb&&1&&&\\ \hline
\numa&\numb&&1&&&\\ \hline
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B3 de la colonne B avant de la recopier vers le bas pour calculer les concentrations $c_1$ à $c_{18}$ du médicament M ?
\item Compléter alors la colonne B (les résultats seront arrondis au centième).
\end{enumerate}
\item On a constaté que le médicament M entraîne des effets secondaires (migraine, nausées, \ldots) lorsque sa concentration dépasse 5 mg/L. Son efficacité est insuffisante lorsque sa concentration est inférieure à 3 mg/L. Il importe donc de maintenir la concentration du médicament M entre 3 et 5 mg/L pendant 18 heures.

Dans ce but, on décide de pratiquer une heure après la première injection, puis toutes les heures, une injection de 1 mg/L du médicament M. On pose $K_0=c_0=4$ et on note $K_1$, $K_2$, ..., $K_n$ les valeurs de la concentration après chaque heure. Ainsi, la cellule D3 donne la concentration $K_1$ de M après la 1\up{re} heure et on peut écrire $K_1=0,7K_0+1=3,80$.
	\begin{enumerate}
		\item On veut saisir dans la cellule D4 une formule pour calculer la concentration $K_2$ de M après la 2\up{e} heure de manière à pouvoir recopier vers le bas et ainsi calculer la concentration $K_n$ après chaque des $n$ heures.

Indiquer parmi les formules suivantes celles qui effectuent le calcul attendu.

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
  =D3*\$F\$4+C4&
  =D3+1*0.7&
  =(D3+1)*\$F\$4&
  =D3*0.7+\$F\$7\\
\end{tabularx}

		\item Compléter alors la colonne D (les résultats seront arrondis au centième).
		\item Devra-t-on stopper les injections pour éviter les effets secondaires pendant les 18 heures de traitement ?
		\item L'efficacité du traitement sera-t-elle suffisante pendant 18 heures ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}   \hfill 10 points}

\medskip

On veut carreler une pièce rectangulaire de $6$~m de longueur et de $4$~m de largeur, donc d'aire 24~m$^2$, à l'aide de carreaux de 2 couleurs : rouge et gris. De plus, il y a deux types de carreaux dans chaque couleur : des carreaux avec motifs et des carreaux unis. Il y a donc au total 4 modèles de carreaux.

\emph{Les parties} \textbf{A}, \textbf{B} \emph{et}  \textbf{C} \emph{de cet exercice sont indépendantes}.

\medskip

\textbf{Partie A }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Chaque carreau est un carré de 0,2 m de côté.

Quel est le nombre minimum de carreaux à prévoir pour carreler la pièce ?
\item Pour des impératifs liés à la pose, il est nécessaire d'acheter au moins 672 carreaux, dont 25\,\% en rouge, le reste en gris. On prévoit de poser pour chaque couleur 1/3 de carreaux avec motifs, les autres étant unis.

Calculer le nombre minimum de carreaux de chaque modèle à acheter et compléter le tableau ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline
&\textbf{Rouges}&\textbf{Gris}&\textbf{Total}\\ \hline
\textbf{Motifs}&56&& \\ \hline
\textbf{Unis}&&& \\ \hline
\textbf{Total}&&504& \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Les carreaux sont vendus en paquets de 15 d'un m\^eme modèle.
\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre minimum de paquets de chaque sorte nécessaires et compléter le tableau ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline
&\textbf{Rouges}&\textbf{Gris}&\textbf{Total}\\ \hline
\textbf{Motifs}&4&& \\ \hline
\textbf{Unis}&&& \\ \hline
\textbf{Total}&&&47 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Justifier que le nombre minimum total de paquets nécessaires est bien égal à 47.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B }

\medskip

Dans les paquets de 15 carreaux, on a étudié, sur un lot de 1\:000 paquets, le nombre de paquets comportant $n$ carreaux défectueux ($n$ étant un nombre compris entre 0 et 15) et on a obtenu le tableau suivant :

\medskip

{\footnotesize 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.75cm}|*{16}{X|}}\hline
$n$&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\ \hline
Nombre de paquets comportant $n$ carreaux défectueux&30&80&170&440&190&70&20&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ \hline
\end{tabularx}}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la médiane de cette série statistique.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le premier quartile $Q_1$.
		\item Rappeler la définition du troisième quartile $Q_3$. Le calculer.
		\item Tracer un diagramme en boîte de cette série dans le repère ci-dessous

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,4)
\psaxes[Ox=0,Dx=1,Dy=1,labels=x](0,-0.01)(10.2,0.01)
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie C }

\medskip

On note (en euros) $a$ le prix  d'un paquet de carreaux et $b$ les frais de livraison fixes quel que soit le nombre de paquets livrés.

Le graphique permet de calculer le prix payé par le client en fonction du nombre de paquets de carreaux achetés.

\begin{center}
\psset{xunit=0.15cm,yunit=0.005cm}
\begin{pspicture}(-6,-200)(60,1000)
\psaxes[Dx=10,Dy=100](0,0)(60,1000)
\psline[showpoints=true,dotstyle=*](0,25)(10,175)(20,325)(30,475)(40,625)(50,775)(60,925)
\rput(30,-180){\small{Nombre de paquets}}
\rput{90}(-10,500){\small{Prix à payer}}
\multido{\n=25+25}{40}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](0,\n)(60,\n)}
\multido{\n=5+5}{12}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,1000)}
\end{pspicture}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement le prix payé par le client pour l'achat de 50 paquets de carreaux.
\item Calculer le prix $a$ d'un paquet de carreaux et le montant $b$ des frais de livraison. Calculer alors le prix payé par le client pour 47 paquets livrés.
\end{enumerate}
\end{document} 