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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\makeatletter%graduations décimales
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm} 
\lhead{\small Baccalauréat 1L mathématiques--informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{ corrigé Polynésie}}
\rfoot{\small{10 juin 2010}}
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\thispagestyle{empty}
    
\begin{center}    {\Large \textbf{Baccalauréat Mathématiques--informatique\\ corrigé Polynésie 10 juin 2010}} 
\end{center}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 11 points}

\medskip

Un institut de recherche désire relever des informations sur l'état de l'enneigement dans un massif montagneux. Pour cela, il décide d'installer des stations de collecte de données à flanc de montagne, entre \nombre{1200} et \nombre{3000}~m d'altitude. Chaque station sera installée 200~m plus haut que la précédente.
 
L'institut s'adresse à un organisme qui propose d'installer la station la plus basse (située à \nombre{1200}~m d'altitude) pour un coût de 150~\euro. Le coût d'une station augmente de 10\:\% à chaque fois que l'on s'élève de 200~m d'altitude. 

\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip 
\begin{enumerate}
\item   Une station située à \nombre{1400}~m d'altitude coûte le coût à \np{1200}~m augmenté de 10\:\%. Puisqu'il a augmenté de 10\:\% le coefficient multiplicateur associé est 1,1 d'où $ 150\times 1,1=165$. Le coût est de \fbox{ 165~\euro}.
\item Pour étudier la faisabilité de ce projet, on utilise un tableur, dont on extrait la feuille de calcul suivante : 

\medskip
{\scriptsize{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D &E\\ \hline 
1&Altitude de la station&Numéro de la station&Coût C&Surcoût: &10\:\%\\ \hline
2&\nombre{1200} &0 	&150~\euro	&	&\\ \hline 
3&\nombre{1400} &1	&			&	&\\ \hline 
4&\nombre{1600}	&2	&			&	&\\ \hline 
5&\nombre{1800} &3	&			&	&\\ \hline
6&\nombre{2000} &4	&			&	&\\ \hline 
7&\nombre{2200} &5	&			&	&\\ \hline 
8&\nombre{2400} &6	&			&	&\\ \hline 
9&\nombre{2600} &7	&			&	&\\ \hline 
10&\nombre{2800}&8	&			&	&\\ \hline 
11&\nombre{3000}&9	&			&	&\\ \hline 
12&Coût total de l'installation&&&	&\\ \hline
\end{tabularx}
}}
\medskip 

La cellule \textbf{E1} est formatée en pourcentage : la valeur qu'elle contient est $0,1$ et s'affiche 10\:\%.
 
On appelle $C_{n}$ le coût de la station numéro $n$. On a $C_{0} = 150$.

	\begin{enumerate}
		\item La suite $\left(C_{n}\right)$ est \fbox{géométrique} puisque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par \np{1.1}.
		\item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0 \times q^n$. D'où \fbox{$C_{n}=150\times \np{1.1}^n$}.
		 
 \`A \nombre{2400}~m d'altitude $n=6$ (lecture de la feuille de calcul), le coût est $c_6$. $c_6=150\times \np{1.1}^6\approx\boxed{266}$.
		\item Pour remplir la colonne \textbf{C} qui indique le coût de chacune des stations, les formules que l'on peut saisir dans la cellule \textbf{C3} et recopier vers le bas sont :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\fbox{\textbf{=C2*1,1}}&	& \fbox{\textbf{=C2*(1+\$E\$1)}}& 
\end{tabularx}

\medskip

		\item Dans la cellule \textbf{C12} pour obtenir le coût total de l'installation des stations d'étude, on peut saisir \fbox{=somme(C2: C11)} 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{PARTIE B :}
 
\medskip

En annexe 1, on a représenté la carte de la partie de la montagne où seront installées les  stations. Le relief est représenté par des lignes de niveau. Afin de repérer plus facilement les stations, on a muni cette carte d'un repère orthonormé. Le point O origine du repère donne l'emplacement d'un refuge, où se trouve une station. Une bergerie située en A est repérée par $(5~;~2)$ et est située à \nombre{2000}~m d'altitude.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item   Le refuge situé à l'origine du repère se trouve à  l'altitude de\fbox{ \np{1800}~m}. La courbe de niveau \np{1800} passe par l'origine du repère. Le numéro de la  station qu'il abrite est \fbox{3}. 
\item La station \no 5 se trouve au point d'abscisse $- 6$ et aussi à  \np{2200}~m d'altitude. Cette courbe de niveau coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $-6$. L'ordonnée est donc \fbox{0}. 
\item La station \no 9 se trouve à une altitude de $\np{3000}$~m, l'abscisse de cette station est comprise entre $-7$ et $-4$. \fbox{$x_9\in[-7\:;\:-4]$}
\item La station \no 7 doit avoir une abscisse comprise entre $- 6$ et $- 3$. Elle est donc située sur  la courbe de niveau \np{2600}.  Voir sur la carte la partie coloriée en vert. 
\end{enumerate}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}

\medskip
 
Un directeur de supermarché décide d'étudier le temps d'attente aux caisses de son établissement pour ajuster le nombre de caisses ouvertes à la demande. Pour cela, il interroge le lundi et le vendredi cent clients et note les temps d'attente approximatifs en minutes entières.

\medskip
 
\textbf{PARTIE A : Étude de l'échantillon du lundi}

\medskip
 
Le lundi, il obtient la répartition suivante  complétée par les effectifs cumulés croissants: 

\medskip
{\scriptsize{
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps d'attente en caisse (en min) &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline 
Nombre de clients &14 &13 &23 &9 &14 &8 &12 &4 &1 &2\\ \hline
eff cum croissant&14&27&50&59&73&81&93&97&98&100\\\hline
\end{tabularx}
}}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item $\overline{x}=\frac{1\times 14+2\times 13+\cdots+9\times 1+10\times 2}{14+13+\cdots+ 1+2}=\frac{408}{100}=\np{4.08}$ Le temps moyen d'attente aux caisses est d'environ \fbox{4~min}.
\item \begin{itemize}
				\item la médiane  est une valeur qui partage la série en deux parties de même effectif. Il y a 100 valeurs, nous prendrons pour médiane le centre de l'intervalle médian. La 50\ieme{}  valeur est 3, la 51\ieme{} 4 donc \fbox{M$_e$ =\np{3.5}}
				\item  Le premier quartile $Q_1$ est la valeur du caractère dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à $\frac{N}{4}$. 
				$\frac{N}{4}=\frac{100}{4}=25$. La 25\ieme{}  valeur est 2 d'où \fbox{$Q_1=2$}.
				\item  Le troisième quartile $Q_3$ est la valeur du caractère dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à $\frac{3N}{4}$. 
				$\frac{3N}{4}=\frac{3\times 100}{4}=75$. La 75\ieme{}  valeur est 6 d'où \fbox{$Q_3=6$}.
				\end{itemize}
\item  Voir sur la feuille annexe 2 le diagramme en boite de cette série. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Son adjoint souhaite ouvrir une caisse supplémentaire si plus de 15\:\% des clients attendent 7~min ou plus en caisse. \\
Les personnes qui attendent au moins 7 minutes sont au nombre de 12+4+1+2= 19. 19\:\% attendent 7 min ou plus, il  doit ouvrir une nouvelle caisse le lundi.


		\item Le directeur décide d'ouvrir une caisse supplémentaire si le temps moyen d'attente aux caisses dépasse 5~min.\\
 \`A la question 1., on a calculé que le temps d'attente moyen était de 4 minutes environ.  Il ne doit donc pas ouvrir une nouvelle caisse le lundi.
		 

	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B : Étude de l'échantillon du vendredi}

\medskip
 
Le directeur décide de comparer les temps d'attente en début et en fin de semaine. Il a donc relevé le vendredi les temps d'attente aux caisses d'un échantillon de cent clients et obtient les résultats résumés dans le diagramme donné ci-dessous :

\medskip
{\scriptsize{
\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.3125cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(15,27)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5](0,0)(12.5,20)
\rput(7.5,26){\textbf{Temps d'attente le vendredi}} 
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(12.5,\n)}
\psframe[fillstyle=vlines](0.8,0)(1.2,5) 
\psframe[fillstyle=vlines](1.8,0)(2.2,9) 
\psframe[fillstyle=vlines](2.8,0)(3.2,13) 
\psframe[fillstyle=vlines](3.8,0)(4.2,8) 
\psframe[fillstyle=vlines](4.8,0)(5.2,19) 
\psframe[fillstyle=vlines](5.8,0)(6.2,10) 
\psframe[fillstyle=vlines](6.8,0)(7.2,8) 
\psframe[fillstyle=vlines](7.8,0)(8.2,5) 
\psframe[fillstyle=vlines](8.8,0)(9.2,11) 
\psframe[fillstyle=vlines](9.8,0)(10.2,9) 
\psframe[fillstyle=vlines](10.8,0)(11.2,2)
\psframe[fillstyle=vlines](11.8,0)(12.2,1)
\rput{90}(-1,17){Nombre de clients}
%\psframe[fillstyle=vlines](12.5,4)(12.9,6)  
%\uput[r](12.7,5){Nombre de clients} 
\rput(6,-3){temps d'attente (en min) }
\end{pspicture}
\end{center}
}}

\begin{enumerate}
\item Voir le tableau complété en annexe 2. 
\item $\overline{x}=\frac{1\times 5+2\times 9+\cdots+11\times 2+12 \times 1}{100}\approx\np{5.68}$. Le temps moyen d'attente le vendredi est de \np{5.7}~min à \np{0.1}~min près
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE C : Comparaison des deux échantillons}

%\medskip
 
%On a construit dans l'annexe 2 le diagramme en boîte de la série des temps d'attente aux caisses le vendredi. Dans un questionnaire, les clients qualifient d'acceptable un temps d'attente compris entre 2 et 6~minutes inclus.

%\medskip
 
%Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

\medskip
 
\textbf{Affirmation A :} 
 
Le vendredi, la moitié des clients attendent cinq~min ou plus de cinq~min en caisse.

{\textbf{\large{VRAI}}} la médiane de la série est 5, donc la moitié des personnes attendent cinq minutes ou plus;
 
\textbf{Affirmation B :}  

Le vendredi, un quart des clients attend au plus trois minutes en caisse. 


{\textbf{\large{VRAI}}} Le premier quartile est 3, par conséquent 25\% des valeurs lui sont inférieures ou égales.

\textbf{Affirmation C :} 

Il y a autant de clients qui trouvent le temps d'attente acceptable le lundi que le vendredi. 

{\textbf{\large{FAUX}}}
Le lundi, ils sont 13 + 23 + 9+ 14 + 8 = 67

Le vendredi, ils sont 9 + 13 + 8 + 19 + 10 = 59

\newpage

\begin{center}

{\Large \textbf{ANNEXE 1}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\vspace{0,5cm}

%\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-8,-7.5)(8,8.5)
\psaxes[]{->}(0,0)(-8,-7.5)(8,8.5)
\psset{}
\multido{\n=-7.5+0.5,}{33}{\multido{\na=-8.0+0.5}{33}{\rput(\na,\n){\textcolor{orange}{+}}}}
\pstextpath[r](0,5pt){\pscurve[linewidth=1pt](-8,-3.2)(-7,-4)(-6.5,-3.5)(-6,-5)(-5.5,-6.2)(-5,-6)(-4,-4.5)(-3,-3)(-2,-3.25)(-1,-3)(-0.5,-4)(0,-5)(1,-5.53)(2,-6)(2.5,-6.4)(3,-7)(3.5,-7.3)(4,-6.8)(5,-5)(6,-4.5)(7,-4.2)(8,-4)}{\nombre{1200}}%1200
\pstextpath[r](0,5pt){\pscurve(-8,-3)(-7,-3.5)(-6,-3.4)(-5,-3)(-4,-2.5)(-3,-2)(-2,-1.8)(-1,-2)(0,-3)(1,-3.8)(2,-4)(3,-3.8)(4,-3.3)(5,-3)(6,-2.9)(7,-2.95)(8,-3)}{\nombre{1400}}%1400
\pstextpath[r](0,5pt){\pscurve(-8,-2)(-7,-2.7)(-6,-3)(-5,-2.7)(-4,-2)(-3,-1)(-2,-0.6)(-1,-0.5)(0,-1)(1,-3)(2,-3.3)(3,-3)(4,-2)(5,-1.5)(6,-1.55)(7,-1.8)(8,-2)}{\nombre{1600}}%1600
\pstextpath[r](0,5pt){\pscurve(-8,-1)(-7,-1.5)(-6,-2)(-5,-2.5)(-4,-1.5)(-3,-0.5)(-2,0.2)(-1,0.5)(0,0)(1,-1)(2,-1.4)(3,-1.5)(4,-1)(5,-0.3)(6,-0.6)(7,-1)(8,-1.5)}{\nombre{1800}}%1800
\pstextpath[r](0,5pt){\pscurve(-8,0)(-7,-0.5)(-6,-1)(-5.5,-1.2)(-5,-1)(-4,-0.5)(-3,0.3)(-2,0.96)(-1,1.5)(0,1)(1,0)(2,-0.5)(3,0)(4,1.2)(5,2)(6,2.3)(7,2.75)(8,3)}{\nombre{2000}}%2000
\pstextpath[r](0,5pt){\pscurve(-8,1)(-7,0.5)(-6,0)(-5.5,-0.45)(-5,-0.3)(-4,0.15)(-3,1)(-2,3)(-1,4.5)(0,4)(1,2.5)(2,1.5)(3,1.5)(4,2.1)(5,3.15)(6,4.1)(7,5)(8,6)}{\nombre{2200}}%2200
\pstextpath[r](0,5pt){\pscurve(-8,3)(-7,2.5)(-6,2.2)(-5,2)(-4.5,2.15)(-4,3)(-3,4)(-2,5)(-1,5.5)(0,5.75)(1,5.8)(2,6)(3,6.35)(4,6.75)(5,7)(5.5,6.75)(6,6)(7,7)(8,8.5)}{\nombre{2400}}%2400
\pstextpath[r](0,5pt){\pscurve(-8,4)(-7,3.5)(-6,3.1)(-5,3)(-4,3.4)(-3,4.5)(-2,5.6)(-1,7)(-0.2,8.5)}{\nombre{2600}}%2600
\pscurve[linecolor=green,linewidth=1.9pt](-6,3.1)(-5,3)(-4,3.4)(-3,4.5)
\pstextpath[c](0,5pt){\pscurve(-5.5,3.5)(-6,4)(-7,4.65)(-8,6.5)(-7,8)(-6,8.4)(-5,8.5)(-4,8)(-3,8)(-2,8.1)(-2.5,7.55)(-3,7)(-4,5.35)(-5,4)(-5.5,3.5)}{\nombre{2800}}%2800
\pstextpath[l](0,5pt){\pscurve(-7,7)(-6,7.3)(-5,7.2)(-4,6.8)(-3.9,6.6)(-4.5,6.1)(-5,6)(-6,6.2)(-6.5,6.5)(-7,7)}{\nombre{3000}}%3000
\uput[d](8.3,0){$x$}\uput[l](0,8.3){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[ul](5,2){\textbf{A}}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](5,2)
\end{pspicture}

\newpage

{\Large \textbf{ANNEXE 2}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\vspace{0,5cm}

%\textbf{À rendre avec la copie}

\medskip

\begin{flushleft}\textbf{Diagramme en boîte des séries}\end{flushleft}

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(0.5,0)(14.5,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,linewidth=1.25pt](0.5,0)(14.5,6)
\psline(0.5,3.5)(14.5,3.5)
\psline[linewidth=1.5pt](1,4.5)(3,4.5) \psline[linewidth=1.5pt](8,4.5)(12,4.5) 
\psframe[linewidth=1.5pt](3,4)(8,5)\psline[linewidth=1.5pt](5,4)(5,5)
\multido{\n=1+1}{14}{\uput[d](\n,3.5){\n}}
\rput(13.5,4.5){Vendredi}
\rput(13.5,1.5){Lundi}
\psframe[linewidth=1pt](2,1)(6,2)\psline[linewidth=1pt](3.5,1)(3.5,2)
\psline[linewidth=1pt](1,1.5)(2,1.5) \psline[linewidth=1pt](6,1.5)(10,1.5)
\end{pspicture*}
\end{center}


\vspace{2.5cm}

\textbf{Partie B}

\bigskip

\textbf{Tableau de la série du vendredi}

\bigskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps d'attente en caisse (en min)&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
Nombre de clients&5&9&\textbf{13}&8&\textbf{19}&10&\textbf{8}&\textbf{5}&\textbf{11}&9&2&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{document}