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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\lhead{\small Mathématiques-informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Pondichéry}} 
\rfoot{\small{avril 2003}} 
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\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} 

\vspace{0,5cm} 

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Mathématiques--informatique \decofourright\\Pondichéry avril 2003}} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.} 

En décembre 2002, Jean possède sur son compte bancaire la somme de 
\np{5000}~euros. 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie A}

\medskip

À partir de janvier 2003, chaque début de mois, Jean reçoit sur ce 
compte \np{1800}~euros. On note $u_0$ la somme, en euro, en décembre 
2002 ; ainsi $u_0 = \np{5000}$. On appelle $u_n$ la somme disponible en 
euro sur ce compte $n$ mois après décembre 2002. 

\begin{enumerate} 
\item Calculer $u_1$, la somme disponible en janvier 2003 et $u_2$, la somme disponible en février 2003. 
\item Préciser la nature de la suite $(u_n)$, ainsi que sa raison. 
\item On veut calculer les montants successifs de ce compte à l'aide d'un 
tableur. 
\begin{center} 
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline 
& A & B \\ \hline 
1 & rang du mois $n$ & $u_n$ \\ \hline 
2 & 0 & 5\,000 \\ \hline 
3 & 1 & \\ \hline 
4 & 2 & \\ \hline 
5 & 3 & \\ \hline 
6 & 4 & \\ \hline 
\end{tabular} 
\end{center} 
Quelle formule écrire en B3 pour obtenir, en la  \og recopiant vers le 
bas \fg, les termes de la suite $(u_n)$ dans la colonne B ? 
\item Exprimer $(u_n)$ en fonction de $n$. 
\item Calculer la somme disponible en décembre 2004. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie B}

\medskip

On suppose maintenant que chaque mois, Jean dépense 60\,\%\ de la 
somme disponible sur son compte. À chaque début de mois, il lui 
reste donc 40\,\%\ de la somme disponible en début du mois, 
précédent, auxquels on ajoute la somme habituelle de \np{1800}~euros.

On note $v_0$ la somme, en euro, en décembre 2002 ; ainsi 
$v_0 = \np{5000}$. On appelle $v_n$ la somme disponible, en euro, sur ce 
compte $n$ mois après décembre 2002. D'après ce qui précède, dans 
la suite de l'exercice, on admettra que, pour tout $n$ : 

\[v_{n+1}= 0,4v_n+ \np{1800}.\] 

\begin{enumerate} 
\item Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$. 
\item La suite $(v_n)$ est-elle géométrique ? Justifier votre réponse. 
\item Pour calculer la somme disponible en décembre 2004, on cherche à 
déterminer $v_n$ en fonction de $n$. Pour cela, on introduit une 
nouvelle suite $\left(w_n\right)$, définie pour tout $n$, par $w_n=v_n - \np{3000}$.
 
Les premiers termes de la suite $\left(w_n\right)$ ont été calculés à l'aide d'un tableur.

\begin{center} 
\begin{tabular}{|*{5}{c|}} \hline 
& A & B & C & D \\ \hline 
1 & rang du mois $n$ & $u_n$ & $v_n$ & $w_n$ \\ \hline 
2 & 0 & 5\,000 & 5\,000 & 2\,000 \\ \hline 
3 & & & & 800 \\ \hline 
4 & & & & 320 \\ \hline 
5 & & & & 128 \\ \hline 
6 & & & & 51,20 \\ \hline 
\end{tabular} 
\end{center} 

	\begin{enumerate} 
		\item Quelles formules écrire en C3 et en D2 pour obtenir, en 
les \og recopiant vers le bas \fg, les termes des suites $(v_n)$ 
et $(w_n)$~? 
		\item On admet que $(w_n)$ est une suite géométrique de 
raison 0,4. Exprimer $w_n$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que $v_n= \np{2000} \times 0,4^n + \np{3000}$. 
		\item Calculer la somme, arrondie à $10^{-2}$ près, disponible 
en décembre 2004. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

On considère le tableau 1 ci-dessous donnant la répartition en 
pourcentage, par classes d'âges, des populations des pays de 
l'Union Européenne au 1\up{er} janvier 1999. 

\begin{center} 

\emph{Tableau 1 :}\medskip 

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} 
\hline 
& \multicolumn{4}{|c|}{Classes d'âge} & \\ 
\cline{2-5} 
Pays & Moins de & 20 ans à & 40 ans à & 60 ans ou & Total \\ 
& 20 ans & 39 ans & 59 ans & plus & \\ \hline 
Allemagne & 21,4 & 29,6 & 26,7 & 22,3 & 100,0 \\ \hline 
Autriche & 23,0 & 31,0 & 26,2 & 19,8 & 100,0 \\ \hline 
Belgique & 23,7 & 28,7 & 25,8 & 21,8 & 100,0 \\ \hline 
Danemark & 23,6 & 29,3 & 27,5 & 19,6 & 100,0 \\ \hline 
Espagne & 22,2 & 32,4 & 23,9 & 21,5 & 100,0 \\ \hline 
Finlande & 24,8 & 26,8 & 28,9 & 19,5 & 100,0 \\ \hline 
France & 24,6 & 28,1 & 26,0 & 21,3 & 100,0 \\ \hline 
Grèce & 22,3 & 29,8 & 25,0 & 22,9 & 100,0 \\ \hline 
Irlande & 31,4 & 30,3 & 23,2 & 15,1 & 100,0 \\ \hline 
Italie & 20,0 & 30,5 & 26,0 & 23,5 & 100,0 \\ \hline 
Luxembourg & 24,3 & 30,4 & 26,3 & 19,0 & 100,0 \\ \hline 
Pays-Bas & 24,4 & 30,5 & 27,1 & 18,0 & 100,0 \\ \hline 
Portugal & 23,9 & 31,1 & 24,5 & 20,5 & 100,0 \\ \hline 
Royaume-Uni & 25,4 & 29,1 & 25,1 & 20,4 & 100,0 \\ \hline 
Suède & 24,3 & 26,8 & 26,8 & 22,1 & 100,0 \\ \hline 
Ensemble de l'Union & 23,1 & 29,8 & 25,7 & 21,4 & 100,0 \\ 
européenne & & & & & \\ \hline 
\end{tabular} 
\begin{flushright} 
\emph{(Source : INSEE)} 
\end{flushright} 
\end{center} 

\begin{enumerate} 
\item Que représente le nombre 24,3 dans l'avant-dernière ligne du tableau 1 ? 
\item Quelle est la part de la population espagnole dont l'âge est supérieur ou égal à 60 ans ? 
\item Quelle est la part de la population belge dont l'âge est strictement inférieur à 40 ans ? 
\item Quel est le pays dont la part des \og 60 ans ou plus \fg{} est la 
plus importante ? 
\end{enumerate} 

On considère ci-dessous, le tableau donnant la répartition, par 
classes d'âges, de la population en France, au 1\up{er} janvier 1999. 

\begin{center}

\emph{Tableau 2 :}\medskip 
 
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline 
\^Age & Effectif & Pourcentage \\\hline 
0 à 19 ans & 14 381 000 & \\\hline 
20 à 39 ans & 16 468 000 & \\\hline 
40 à 59 ans & 15 193 000 & \\\hline 
60 à 75 ans & 7 973 000 & \\\hline 
75 ans et plus & 4 505 000 & \\\hline 
Total & & \\\hline 
\end{tabular} 
\end{center} 

\begin{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau 2. On détaillera le calcul 
fait pour obtenir le pourcentage de la classe \og 60 à 75 ans \fg. 
Les pourcentages seront arrondis à 0,1 près. 

\item Où peut-on lire, dans le tableau 1, une partie des résultats obtenus dans la 
troisième colonne du tableau 2 ? Pourquoi ne trouve-t-on pas tous 
les résultats de cette colonne ? 

\item Par quel calcul peut-on obtenir le pourcentage de la classe \og 60 
ans ou plus \fg{} du tableau 1, en utilisant les résultats du tableau 
2 ? 
\end{enumerate}
\end{document} 
