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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat L mathématiques--informatique}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{3 avril 2007}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~  Baccalauréat Mathématiques--informatique \decofourright  \\Pondichéry  3 avril 2007 }}

\bigskip

Les annexes sont à rendre avec la copie
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 12 points}

\medskip
 
Une grande entreprise automobile fait fabriquer une pièce moteur chez plusieurs sous-traitants. En théorie, cette pièce doit avoir un diamètre de $30$~mm. Les contraintes de fabrication font que cette pièce ne mesure pas toujours précisément $30$~mm. Il existe ce que l'on appelle des tolérances de fabrication. L'entreprise vérifie la qualité de fabrication de ses sous-traitants en prélevant de temps en temps un échantillon de pièces au hasard sur la chaîne d'usinage et en mesurant le diamètre de ces pièces. L'exercice porte sur la comparaison de la fabrication effectuée par deux sous-traitants, l'entreprise S et l'entreprise T.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
L'étude statistique du dernier échantillon prélevé chez le sous-traitant S donne, pour les diamètres des pièces mesurés en millimètres, les résultats consignés dans le tableau suivant. Pour la suite, on considère que l'échantillon prélevé est représentatif de la production du sous-traitant S.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}X}\hline
1\up{er}décile& 1\up{er} quartile& Médiane& 3\up{e} quartile&9\up{e} décile\\ \hline
29,7	&	29,9	&	30,1	&30,5	& 	30,6\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire en \textbf{annexe 1} (à rendre avec la copie), au-dessus de l'axe déjà tracé, le diagramme en boîte de cette série statistique en prenant pour valeurs extrêmes les déciles.
\item  Sachant que ce sous-traitant fabrique \nombre{2750}~pièces par semaine, quel est le nombre de pièces dont le diamètre se situe dans l'intervalle [29,9~;~30,5] ? Justifier la réponse.
\item 
	 \begin{enumerate}
		\item  Une pièce est jugée acceptable si son diamètre ne diffère pas plus de 2\,\% du diamètre théorique. Quels sont le diamètre minimal et le diamètre maximal autorisés pour que la pièce soit jugée acceptable ?
		\item  Peut-on affirmer  qu'au moins 80\,\%  des pièces fabriquées par ce  sous-traitant sont jugées acceptables ? Justifier. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Chez un deuxième sous-traitant T, on a prélevé $150$~pièces et on a mesuré leur diamètre (en millimètres) arrondi au dixième près.

On considère que l'échantillon prélevé est représentatif de la production de ce sous-traitant T.
 
On a obtenu les valeurs suivantes :
 
\medskip
 
{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1,10cm}|*{15}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Diamètre en mm&29,4&29,5&29,6&29,7&29,8&29,9&30&30,1&30,2&30,3&30,4&30,5&30,6&30,7&30,8\\ \hline 
Nombre de pièces&3&	6& 	8&	10	&12&21&29&	19 	&15&10&	7 &	4& 	3& 	2&1\\ \hline
 \end{tabularx}
}

\medskip

Pour calculer les paramètres de cette série statistique, on utilise la feuille de calcul donnée en \textbf{annexe 2} (à rendre avec la copie).
\begin{enumerate}
\item  On veut connaître le diamètre moyen des pièces de l'échantillon.

En C2 on a entré la formule :  =A2*B2, puis on l'a recopiée vers le bas jusqu'en C16.
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter la case C13.
		\item  Quelle formule a-t-on écrite en C17 ?
		\item  Quelle formule faut-il écrire en C18 pour obtenir le diamètre moyen des pièces de l'échantillon ? Quelle valeur obtient-on en C18 ? 
	\end{enumerate}
\item  En considérant des valeurs arrondies à 0,1~ près, la moyenne, $\overline{x}$, de la série ci-dessus est de 30, et son écart-type, $\sigma$, est de $0,3$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'intervalle $\left[\overline{x} - 2\sigma ~;~ \overline{x} + 2\sigma \right]$.
		\item  Dans le cas d'une série gaussienne, quel pourcentage des valeurs de la série se situerait dans cet intervalle ? Est-ce le cas pour la série observée ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Dans la feuille de calcul de l'\textbf{annexe 2}, la colonne D contient les effectifs cumulés croissants de la série des diamètres des $150$~pièces de l'entreprise T. Quelle est la formule à inscrire dans la cellule D3 afin que l'on puisse la recopier vers le bas pour remplir la colonne D ? Compléter sur l'\textbf{annexe 2} les valeurs des cellules vides de cette colonne.
\item  Calculer, en justifiant, la médiane de la série des diamètres des pièces de l'entreprise T.
\item
 	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en justifiant, le premier quartile Q$_{1}$ de cette série.
		\item Donner une interprétation de ce premier quartile.
		\item La troisième quartile de cette série est $30,2$, son premier décile est $29,6$ et son neuvième décile  est $30,4$. Construire en \textbf{annexe 1}, en dessous de l'axe existant, le diagramme en boîte de cette série statistique en prenant pour valeurs extrêmes les déciles.
		
	\item  Chez quel sous-traitant le diamètre des pièces fabriquées est-il le plus satisfaisant ? Pourquoi ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1}

\vspace{1cm} 

\psset{xunit=8cm}
\begin{pspicture}(29.5,0)(31.1,1.5)
\psline{->}(29.5,0)(31.1,0)
\multido{\n=29.5+0.1}{16}{\psline(\n,-0.2)(\n,0.2)}
\rput(29.5,1){Sous-traitant S}
\uput[d](30.1,-0.3){30,1} \uput[d](30,-0.3){30} 
\end{pspicture}

\vspace{1cm}
\begin{flushright}Sous-traitant T \end{flushright}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|>{\centering \arraybackslash}X|c|c|>{\centering \arraybackslash}X|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
&A&&B&C&D\\ \hline
1&{\footnotesize Diamètre en mm}&&{\footnotesize Effectif}&{\footnotesize Diamètre $\times$ effectif}&{\footnotesize Effectifs cumulés croissants}\\ \hline
2&29,4&&	3&88,2&3\\ \hline
3&29,5&&	6&177,0&\\ \hline
4&29,6&&	 8&	236,8&\\ \hline
5&29,7&&	10&	297,0&\\ \hline
6&29,8&&	 12&	357,6&\\ \hline
7&29,9&&	21&	627,9&	60\\ \hline
8&30&&	29&	870,0&	89\\ \hline
9&30,1&&19	&571,9&	108\\ \hline
10&30,2&&	15&	453,0&	123\\ \hline
11&	30,3&&	10&	303,0&	133\\ \hline
12&	30,4&&	7&	212,8&	140\\ \hline
13&	30,5&&4&&\\ \hline
14&	30,6&&	3&	91,8&\\ \hline
15&	30,7&&	2&	61,4&\\ \hline
16&	30,8&&	1&	30,8&150\\ \hline
17&&Total&150&\nombre{4501,2}&\\ \hline
18&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}
 
\textbf{évolution de la construction}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Depuis la création d'un vaste programme de lotissement dans une grande ville, on a relevé pour chacune des 7 années écoulées le nombre de logements construits dans ce lotissement. On note $u_{n}$ le nombre de logements construits au cours de la $n$-ième année. Les valeurs de $\left(u_{n}\right)$  sont données dans le tableau en \textbf{annexe 1} (à rendre avec la copie).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle arithmétique ? Justifier la réponse.
\item
	  \begin{enumerate}
		\item  Montrer que le pourcentage d'augmentation du nombre de logements entre les première et deuxième années est $2,86$\,\% (à $0,01$\,\% près).
		\item  Compléter sans justification le tableau donné en \textbf{annexe 1}.
		\item  Au vu de ce tableau, déterminer si la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Afin de prévoir les infrastructures nécessaires à ce nouveau quartier, la ville souhaite représenter son développement à l'aide d'un tableur. On construit le tableau fourni dans l'\textbf{annexe 2} (à rendre avec la copie).

Les colonnes A et B correspondent aux données du tableau donné en
\textbf{annexe 1}.

La ville avait prévu la construction de $60$~logements chaque année. On s'intéresse, dans la suite de l'exercice, à l'écart entre le nombre réel de logements, que la ville a effectivement construits et cette prévision.
\begin{enumerate}
\item  Quelle formule doit-on saisir dans la cellule C3 du tableau afin de pouvoir la recopier vers le bas dans toute la colonne C ? Compléter sur l'annexe les valeurs des cellules vides de cette colonne. 
\item  La colonne D contient les coefficients multiplicateurs permettant de passer de l'écart pour une année donnée, à l'écart pour l'année suivante. Ainsi, la cellule D4 contient le coefficient multiplicateur qui permet de passer de la cellule C3 à la cellule C4. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule D4 afin de calculer ce coefficient, si l'on veut pouvoir recopier cette formule vers le bas dans toute la colonne ? 
\item  En observant les coefficients multiplicateurs de la colonne D, on
décide d'approcher la suite des écarts $u_{n} - 60$, par la suite géométrique $\left(v_{n}\right)$ de premier terme $v_{1} = 10$ et de raison $q = 1,24$.

Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule E4 et E5 du tableau afin de pouvoir la recopier vers le bas dans toute la colonne E ? Compléter sur \textbf{l'annexe 2} les valeurs des cellules E4 et E5, arrondies à $0,01$.
\item  On suppose que, dans l'avenir, $v_{n}$ représente la différence entre le nombre de logements qui seront vraiment construits la $n$-ième année du programme de lotissement et les $60$ logements que la ville prévoyait de construire cette même année.

Avec l'aide de la suite $\left(v_{n}\right)$, estimer le nombre de logements qui seront construits par la ville la dixième année. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe 1}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $n$	&1	&2	& 3&4&5	&6	&7\\ \hline
Nombre de logements construits : $u_{n}$&	70&	72&	75&	79&	83&	89&	96\\ \hline
Pourcentage d'augmentation d'une année à l'autre (à 0,01\:\% près)&\cellcolor[gray]{0.8}&&&		5,33\:\%& 5,06\:\%&7,23\:\%&7,87\:\%\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\textbf{Annexe 2}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
	&A&B&C&D&E\\ \hline
1&Année& Nombre de logements&écart avec la prévision&&\\ \hline
2&$n$	&$u_{n}$&$u_{n} - 60$&Coefficient multiplicateur&$v_{n}$\\ \hline
3&1	&70		&10	&\cellcolor[gray]{0.8}	
	&10\\ \hline
4&2	&72		&	&1,2	&\\ \hline
5&3	&75		&15	&1,25				&\\ \hline
6&4	&79		&19	&\nombre{1,26666666}	&19,07\\ \hline
7&5	&83		&23	&\nombre{1,21052632}	&23,64\\ \hline
8&6	&89		&	&\nombre{1,26086957}	&29,32\\ \hline
9&7	&96		&36	&\nombre{1,24137931}	&36,35\\ \hline
10&8	&	&	&	&\\ \hline
11&9	&	&	&	&\\ \hline
12&10	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}