\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[frenchb]{babel}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Mathématiques-informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{31 mars 2005}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~  Baccalauréat Mathématiques--informatique \decofourright  \\Pondichéry  1\up{er} avril 2005 }}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 12 points}

\medskip

\textsl{Pour tous les calculs de cet exercice, on arrondira au centime d'euro.}

\medskip

Pierre, nouveau diplômé, a deux propositions d'embauche dans deux entreprises différentes. Avant d'accepter une des deux propositions, il effectue une étude sur les salaires proposés par chacune des entreprises.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie 1}

\medskip

\textbf{I.} L'entreprise Boss lui propose pour un emploi commençant le $1\up{er}$ janvier 2005, le contrat suivant : le salaire mensuel initial est de \np{1180}  \euro{} et augmente chaque $1\up{er}$ janvier de 12~\euro.

On note $u_{0}$ ce salaire initial, $u_{1}$ le salaire au $1\up{er}$ janvier 2006, $u_{2}$ le salaire au $1\up{er}$ janvier 2007,
$u_{n}$ le salaire au $1\up{er}$ janvier de l'année $2005 + n$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Justifier votre réponse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
		\item Quel serait son salaire mensuel en 2010 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II.}  L'entreprise Rapido lui propose, pour le même emploi commençant le $1\up{er}$ janvier 2005, le contrat de travail suivant : le salaire mensuel initial est de 1027,50 \euro{} et augmente chaque $1\up{er}$ janvier de $3,5\:\%$.

On note $v_{0}$ ce salaire initial, $v_{1} $ le salaire au $1\up{er}$ janvier 2006, $v_{2}$ le salaire au $1\up{er}$ janvier 2007, 
$v_{n}$ le salaire au $1\up{er}$ janvier de l'année 2005 $+ n$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $v_{1}$ et $v_{2}$.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? Justifier votre réponse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
		\item Quel serait son salaire mensuel en 2010 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie 2}

\medskip

Avant d'effectuer son choix pour l'une ou l'autre des entreprises, Pierre veut comparer les montants successifs des salaires proposés.

Pour cela, il réalise un tableau à l'aide d'un tableur (tableau 1, annexe 1).

\begin{enumerate}
\item Expliquer comment Pierre a pu remplir la colonne A (cellules allant de A2 à A14) sans avoir à taper toutes les valeurs contenues dans ces cellules.
\item Quelles formules doit-t-il écrire en cellules B2 et B3 pour obtenir, en la recopiant vers le bas, les termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ dans la colonne B ?
\item Quelles formules doit-t-il écrire en cellules E2 et E3 pour obtenir, en la recopiant vers le bas, les termes de la suite $\left(v_{n}\right)$ dans la colonne E ?
\item Le tableau 2 consigne les résultats obtenus. Compléter toutes les cellules laissées vides de ce tableau de l'\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item	Comparer l'évolution des salaires mensuels dans chaque entreprise.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item En quelle année, pour la première fois, le cumul des salaires de l'entreprise Rapido dépassera-t-il le cumul des salaires de l'entreprise Boss ?
		\item Comparer avec les résultats obtenus dans la question \textbf{1. (partie 3)} et commenter.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip

Un fabricant de barres chocolatées a fait imprimer, en grande quantité, le même nombre d'images de trois chanteuses M\up{lle} Pinson , M\up{lle} Rossignol et M\up{lle} Décibel. L'image de M\up{lle} Pinson porte le \no 1 celle de M\up{lle} Rossignol le \no 2, et celle de M\up{lle} Décibel le \no 3. 

Une machine insère au hasard une image dans chaque barre chocolatée fabriquée.

Il y a autant de barres chocolatées contenant l'image de chaque chanteuse.

Chaque jour, Aline achète une barre chocolatée. Elle voudrait obtenir la collection complète des trois chanteuses et se demande au bout de combien de jours elle l'obtiendra.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie 1}

\medskip

Aline a répertorié à l'aide d'un arbre les différentes images qu'il est possible d'obtenir sur trois jours. Cet arbre, partiellement complété, se trouve dans l'\textbf{annexe 2}.

\textsl{Par exemple, la} $3\up{e}$ \textsl{possibilité} $1\quad  1 \quad 3$ \textsl{signifie que le premier jour, la barre chocolatée contient l'image de M$\up{lle}$ Pinson, le deuxième jour, elle contient celle de M$\up{lle}$ Pinson, et le troisième jour celle de M$\up{lle}$ Décibel.}

\begin{enumerate}
\item Parmi ces 27 possibilités, combien en compte-t-on qui permettent d'obtenir une collection complète ?
\item Y a-t-il plus de $25\,\%$ des cas dans lesquels on obtient une collection complète ? Justifiez.
\end{enumerate}

\textsl{Aline veut obtenir la collection complète. Son argent de poche étant limité, elle aimerait estimer le nombre de jours au bout desquels elle peut espérer obtenir la collection complète. Elle va pour cela effectuer des simulations.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie 2}

\medskip

Elle effectue une simulation en faisant afficher à sa calculatrice une liste aléatoire de nombres, de telle manière que chacun des nombres 1, 2 et 3 ait la même chance d'apparition.

Voici la liste qu'elle obtient

\[	1 \quad - \quad1 \quad - \quad1\quad - \quad1 \quad -\quad 1\quad -\quad 3\quad - \quad1\quad -\quad 2\quad -\quad1 \quad - \quad3\]

Selon cette simulation, les cinq premiers jours, Aline découvre dans sa barre chocolatée l'image de M$\up{lle}$ Pinson, le $6\up{e}$ jour, celle de M$\up{lle}$ Décibel, le $7\up{e}$ jour celle de M$\up{lle}$ Pinson, le $8\up{e}$ jour celle de M$\up{lle}$ Rossignol, le $9\up{e}$ jour celle de M$\up{lle}$ Pinson, et le $10\up{e}$ celle de M$\up{lle}$ Décibel.

Aline est donc en possession de la collection complète au $8\up{e}$ jour.

Imaginez, sur le modèle précédent, une liste de 9 nombres conduisant à la collection complète obtenue au $5\up{e}$ jour.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie 3}

\medskip

Pour se faire une idée plus précise, Aline effectue \np{1000} simulations à l'aide de sa calculatrice. Les résultats obtenus figurent dans le tableau suivant :

{\tiny \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.9cm}|*{16}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 nombre de jours nécessaires à l'obtention de la collection complète& 	3&	4&	5	&6	&7&	8&	9&	10& 11& 	12& 	13& 	14& 	15& 	16& 	17	&18\\ \hline
Effectifs&	227&203&179&126&99&56&40&25&18&12&4&	3&	3&	2&	1&	2\\\hline
\end{tabularx}
}
	
\textsl{Cela signifie  par exemple que parmi les $1\:000$ simulations, $203$ sont des situations pour lesquelles la collection complète des images est obtenue au}  $4\up{e}$ \textsl{jour.}

\begin{enumerate}
\item Déterminez la médiane, le premier et le troisième quartile de cette série statistique.
\item Aline formule deux remarques en observant ces résultats simulés.

Remarque 1 :

Dans au moins $50\,\%$ des situations simulées la collection complète est obtenue au plus tard le \ldots \ldots 	jour.

Remarque 2 :

Dans  \ldots \ldots	\% des situations simulées, la collection complète des images est obtenue au plus tard le $7\up{e}$ jour.

Recopiez ces remarques sur votre copie et complétez-les.

\item Aline affirme : \og Au bout de 18 jours, je suis sûre d'obtenir la collection complète \fg.

Que pensez-vous de cette affirmation ?
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Feuille annexe (à rendre avec la copie)}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Annexe 1}

\medskip

\textbf{Tableau 1} concernant les salaires mensuels et le cumul des salaires  en euros \textbf{dans l'entreprise Boss et dans l'entreprise Rapido}

{\footnotesize\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
        & A    &B         &C&D &E &F& G\\ \hline
1      	& année& Salaire &Salaire  &Cumul  des   &  Salaire&Salaire         &Cumul des\\
        &      &mensuel&annuel avec&salaires avec&mensuel avec &annuel avec&salaires avec\\
        &      &avec Boss &        Boss           &        Boss
		&Rapido&Rapido	&        Rapido\\ \hline
2		&2005  & 		& 	& 	& 	&	& \\ \hline
3     	&2006  &		&	&	&	&	& \\ \hline
4     	&2007  &		&	&	&	&	& \\ \hline
5     	&2008  &		&	&	&	&	& \\ \hline
6     	&2009  &		&	&	&	&	& \\ \hline
7     	&2010  &		&	&	&	&	& \\ \hline
8     	&2011  &		&	&	&	&	& \\ \hline
9     	&2012  &		&	&	&	&	& \\ \hline
10    	&2013  &		&	&	&	&	& \\ \hline
11    	&2014  &		&	&	&	&	& \\ \hline
12    	&2015  &		&	&	&	&	& \\ \hline
13    	&2016  &		&	&	&	&	& \\ \hline
14    	&2017  &&&&&& \\ \hline
\end{tabularx}
}

\vspace{0,7cm}

\textbf{Tableau 2} concernant les salaires mensuels et le cumul des salaires en euros \textbf{dans l'entreprise Boss et dans l'entreprise Rapido}

\medskip

{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A&	B&	C&D&	E&	F&	G\\ \hline
1	&	année&	Salaire&	Salaire&	Cumul des&	Salaire&	Salaire&	Cumul des\\
	&&mensuel&	annuel avec&	salaires avec&	mensuel avec&	annuel avec&	salaires avec\\
	&&avec Boss&	Boss&	Boss&	Rapido &	Rapido&	Rapido\\ \hline
2 	&2005 & 	\np{1180,00}& 	\np{14160,00}&	\np{14160,00}&	\np{1027,50}& 	\np{12330,00}&	\np{12330,00}\\ \hline
3 	&	2006&	\np{1192,00}& 	\np{14304,00}&	\np{28464,00}&                   &	\np{12761,55}&	\np{25091,55}\\ \hline
4 	& 	2007&	\np{1204,00} & 	\np{14448,00}& &	\np{1100,68}&\np{13208,20}&	\np{38299,75}\\ \hline
5 	& 	2008&	\np{1216,00}& 	\np{14592,00}&	\np{57504,00}&	\np{1139,21}&	\np{13670,49}& 	\np{51970,25}\\ \hline
6 	&	2009&	\np{1228,00} & 	\np{14736,00}&	\np{72240,00}&	\np{1179,08}&	\np{14148,96}&	\np{66119,20}\\ \hline
7 	&	2010&&\np{14880,00}&	\np{87120,00}&  &		\np{14644,17}&\np{80763,38}\\ \hline
8 	&	2011&	\np{1252,00}&	\np{15024,00}&\np{102144,00}&	\np{1263,06}&	\np{15156,72}&	\np{95920,09}\\ \hline
9 	&	2012&	\np{1264,00}&	\np{15168,00}&	\np{117312,00}&	\np{1307,27}&	\np{15687,20}&	\np{111607,30}\\ \hline
10 	&2013&     \np{1276,00} & \np{15312,00}&\np{132624,00}&\np{1353,02}&	\np{16236,26} &\np{127843,55}\\ \hline
11 	&	2014&\np{1288,00}&\np{15456,00}&\np{148080,00}&\np{1400,38}&\np{16804,52}&	\np{144648,08}\\ \hline
12 	& 2015&	\np{1300,00} &\np{15600,00}&$&	\np{1449,39}&\np{17392,68}&	\np{162040,76}\\ \hline
13 	& 2016&\np{1312,00}&	\np{15744,00} &  &	\np{1500,12}&	\np{18001,43}&	\np{180042,19}\\ \hline
14 	& 2017&\np{1324,00} &\np{15888,00}&\np{195312,00}&\np{1552,62}&\np{18631,48}& 	\np{198673,66}\\ \hline
\end{tabularx}}

\end{center}

\newpage

\textbf{Annexe 2}
%\vspace*{-3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-10)(8,10)
\rput(10.5,11){possibilités}
\rput(0.5,-10.5){$1\up{er}$ jour}
\rput(4,-10.5){$2\up{e}$ jour}
\rput(7,-10.5){$3\up{e}$ jour}
\rput(10.5,10.3){$1 \quad 1 \quad 1$}
\rput(10.5,9.3){$1 \quad 1 \quad 2$}
\rput(10.5,8.3){$1 \quad 1 \quad 3$}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}%
{
\pstree{\Tr{1~~}}{\pstree{\Tr{1}}{\Tr{1} \Tr{2} \Tr{3}}
                 \pstree{\Tr{2}}{\Tr{} \Tr{} \Tr{}}
                 \pstree{\Tr{3}}{\Tr{} \Tr{} \Tr{}}

           }	
\pstree{\Tr{2}}{\pstree{\Tr{}}{\Tr{} \Tr{} \Tr{}}
                 \pstree{\Tr{}}{\Tr{} \Tr{} \Tr{}}
                 \pstree{\Tr{}}{\Tr{} \Tr{} \Tr{}}

           }
\pstree{\Tr{3}}{\pstree{\Tr{}}{\Tr{} \Tr{} \Tr{}}
                 \pstree{\Tr{}}{\Tr{} \Tr{} \Tr{}}
                 \pstree{\Tr{}}{\Tr{} \Tr{} \Tr{}}

           }
}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 