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% Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat S }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2010}}
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\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (obligatoire) Antilles-Guyane~\decofourright\\septembre 2010}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{PARTIE A - Restitution organisée des connaissances}

\medskip
 
On suppose connues la dérivée de la fonction exponentielle et la formule de dérivation de $u \circ v$ ainsi que ses conditions d'utilisation.
 
On suppose savoir que la fonction ln est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et que 
pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$ on a : exp$(\ln x) = x$.
 
À partir de ces quatre arguments, montrer que la dérivée de la fonction ln est la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ qui à $x$ associe $\dfrac{1}{x}$. 

\bigskip

\textbf{PARTIE B - Étude de fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) =  x +  \dfrac{\ln x}{x}.\]
 
Le but du problème est l'étude de cette fonction et le calcul d'une aire.
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 3~cm.
 
\textbf{I - Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par  

\[g(x) = x^2 + 1 - \ln x.\]
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\item En déduire le signe de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\end{enumerate}

\textbf{II - Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath et tracé de sa courbe représentative} \boldmath $\mathcal{C}$ \unboldmath 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$. Quelle est l'interprétation graphique de ce résultat ? 
\item Déterminer la limite en $+ \infty$ de $f$ puis montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. 
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$. 
\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
\item Déterminer le point A de la courbe $\mathcal{C}$ en lequel la tangente $\mathcal{T}$ est parallèle à la droite $\mathcal{D}$. 
\item Dans le repère \Oij{} tracer les droites $\mathcal{D}$  et $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\textbf{III - Calcul d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}.$
\item En déduire l'aire de la région du plan délimitée par les droites d'équation $x = 1,$

$x = \text{e}$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$. On exprimera cette aire en cm$^2$. Hachurer cette région sur le graphique. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{L'exercice comporte quatre propositions indépendantes.}
 
\textbf{Indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse choisie.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe rapporté au repère orthonormé \Ouv, vérifiant $|z - 2| = |z - 2\text{i}|$ est la droite d'équation $y = x$. 
\item  Si A, B et C sont trois points deux à deux distincts du plan complexe d'affixes $a,~b$ et $c$ vérifiant $\dfrac{b - a}{c - a} = - 3$ alors A, B et C sont alignés. 
\item L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. 

La droite de l'espace passant par le point B de coordonnées (2~;~3~;~4) et admettant le vecteur $\vect{u}(1~;~2~;~3)$ comme vecteur directeur a pour représentation paramétrique :
 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t+1\\ 
y&=&2t+1\\
z&=&3t+ 1
\end{array} \right. \quad  t \in \R.\]
\item L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk.
 
La sphère de centre A(1~;~1~;~1) et de rayon $10$ est tangente au plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y + z - 1 = 0$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

On considère la suite de nombres réels $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : 

\[u_{0} = - 1,~u_{1} = \dfrac{1}{2}~\text{et, pour tout entier naturel}~n,~ u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{2}$ et en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique. 
\item On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ :
 
\[v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_{0}$. 
		\item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. 
		\item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : 

\[w_{n}   = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $w_{0}$. 
		\item En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$,  exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$. 
		\item En déduire que pour tout $n$ de $\N,~ w_{n+1} = w_{n} + 2$. 
		\item Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$

\[u_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}.\]  
  
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{n}$. 
 
Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\N$ : 

\[S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}.\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à \boldmath$\np{0,0001}$\unboldmath~ près.}

\medskip
 
Lors d'une épidémie chez des bovins, on s'est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.
 
Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d'animaux dont 1\,\% est porteur de la maladie. 

On obtient les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85\,\% des cas ; 
\item[$\bullet~$] si un animal est sain, le test est négatif dans 95\,\% des cas.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d'utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.
 
On note :

\setlength\parindent{15mm}
\begin{description}
\item[ ] M l'évènement : \og l'animal est porteur de la maladie \fg{} ;
\item[ ] T l'évènement : \og le test est positif \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée. 
\item Un animal est choisi au hasard. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ? 
		\item  Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est $0,058$.
 	\end{enumerate} 
\item Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu'il soit porteur de la maladie ? 
\item On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d'assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d'animaux ayant un test positif. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? 
		\item Quelle est la probabilité pour qu'au moins un des cinq animaux ait un test positif ?
	\end{enumerate} 
\item Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100~euros et le coût de l'abattage d'un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de \np{1000}~euros. On suppose que le test est gratuit.
 
D'après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le tableau suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Coût& $0$& 100 &\np{1000}\\ \hline 
Probabilité &\np{0,9405} &\np{0,0580} &\np{0,0015}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager. 
		\item Un éleveur possède un troupeau de 200~bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d'engager ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}