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%Merci à Clotilde Rouchon de nous avoir communiqué ce sujet 
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie Groupe A}}
\rfoot{\small{novembre 2010}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ novembre 2010 - groupement A Nouvelle-Calédonie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

On s'intéresse à un réjecteur de bande dont la fonction de transfert est donnée par :

\[T(\omega) = 2\dfrac{1 + \left(\jmath\dfrac{\omega}{\omega_{0}} \right)^2}{1 + \jmath\dfrac{\omega}{\omega_{0}} + \left(\jmath\dfrac{\omega}{\omega_{0}} \right)^2}\] 

où $\omega_{0}$ désigne une constante strictement positive et $\omega$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
 
On rappelle que $\jmath$ est le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~1[ ~\cup~ ]1~;~+ \infty[$ par

\[f (x) = \dfrac{x}{1 - x^2}.\]
  
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur les intervalles $[0~;~1[$ et $]1~;~+ \infty[$. 
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $1$ et en $+ \infty$. 
\item En déduire que lorsque le nombre réel $x$ décrit l'ensemble $[0~;~1[ ~\cup~ ]1~;~+ \infty[,f(x)$ décrit l'ensemble $\R$ des nombres réels.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie B : étude du lieu de transfert}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On pose, pour $\omega$ différent de $\omega_{0}$,  $x = \dfrac{\omega}{\omega_{0}}$.
 
Vérifier que la fonction de transfert peut s'écrire sous la forme $T(\omega) = \dfrac{2}{1 + \jmath f(x)}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble $D$ des points d'affixe $1 + \jmath f(x)$ lorsque $\omega$ décrit l'intervalle $[0~;~+\infty[$ privé de $\omega_{0}$ ? 
		\item Tracer $D$ dans un repère orthonormal \Ouv.
		 
Placer sur la figure le point M d'affixe $1 + \jmath f(2)$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item En déduire l'ensemble $C_{1}$ des points d'affixe $\dfrac{1}{1 + \jmath f(x)}$	puis, l'ensemble $C_{2}$ des points d'affixe $T(\omega)$. 
		\item Tracer $C_{1}$ et $C_{2}$ sur la même figure que $D$.
		 
Placer sur la figure le point N d'affixe $\dfrac{1}{1 + \jmath f(2)}$	 et le point P d'affixe 

$T\left(2\omega_{0}\right) = \dfrac{2}{1 + \jmath f(2)}$. 
	\end{enumerate}
\item On définit $\varphi(x) = - \arctan[f(x)]$. Le réel $\varphi(x)$ est un argument de $T(\omega)$.
 
Déterminer les limites de $\varphi(x)$ lorsque $x$ tend vers $1$ par valeurs inférieures, puis lorsque $x$ tend vers $1$ par valeurs supérieures.
 
Quelle est la position limite du point d'affixe $T(\omega)$ lorsque $\omega$ tend vers $\omega_{0}$ ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\emph{Le graphique obtenu est le diagramme de Nyquist du réjecteur de bande. Ce filtre a pour fonction d'atténuer les fréquences voisines d'une fréquence donnée.} 

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{On se propose d'étudier une méthode de compression utilisée pour stocker des données numériques issues d'images ou de sons. Cette méthode intervient, par exemple, dans les normes JPEG et MP3, sur des paquets de données de tailles bien supérieures à celle qui va être considérée ici.}

\medskip
 
\textbf{Partie A (codage)}

\medskip
 
On considère un ensemble de trois données numériques : 

$y_{0} = 63,~y_{1} = 135,~ y_{2} = 240$.
 
Ces valeurs sont interprétées comme l'échantillonnage d'un signal, représenté par une fonction $f$ paire, périodique de période 6, telle que:

\[\left\{\begin{array}{l c l @{~\text{si}~}l} 
f(t) &=& y_{0} & 0 \leqslant t < 1\\
f(t) &=& y_{1} & 1 \leqslant t < 2\\
f(t) &=& y_{2} & 2 \leqslant t \leqslant 3 
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Représenter la fonction $f$ sur l'intervalle $[-3~;~ 9]$. 
\item On appelle $S$ la série de Fourier associée à la fonction $f$. 
 
On note $S(t) = a_{0} + \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_{n} \cos(n \omega t) + b_{n} \sin (n \omega t)\right)$. 
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs de $\omega$ et $a_{0}$. 
		\item Établir que, pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 :
		 
\[a_{n} = - \dfrac{2}{n \pi}\left(72 \sin \left(\dfrac{n\pi}{3}\right) + 105\sin \left(\dfrac{2n\pi}{3}\right)\right).\] 
		\item  Déterminer $b_{n}$ pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier les égalités: 

\[\left\{\begin{array}{l c l }
y_{0} + y_{1} + y_{2}&=&3a_{0}\\
y_{0} - y_{2}&=&\dfrac{a_{1}\pi}{\sqrt{3}}\\
y_{0} - 2y_{1} + y_{2}&=&\dfrac{2a_{2}\pi}{\sqrt{3}}
\end{array}\right.\]
		\item  On prend $A_{0} = a_{0}$ et on note $A_{1}$ et $A_{2}$ les valeurs approchées à l'entier le plus proche des nombres $\dfrac{1}{8} \times \dfrac{a_{1}\pi}{\sqrt{3}}$ et $\dfrac{1}{64} \times \dfrac{2a_{2}\pi}{\sqrt{3}}$.
		
Déterminer les valeurs de $A_{1}$ et $A_{2}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie B (décodage)}

\medskip
 
Dans cette partie, à partir de la seule connaissance des entiers $A_{0},~ A_{1}$ et $A_{2}$ on se propose d'obtenir des valeurs approchées, notées $z_{0},~z_{1}$ et $z_{2}$ des nombres $y_{0},~y_{1}$ et $y_{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre le système d'équations suivant dont les inconnues sont les nombres réels $z_{0},~z_{1}$ et $z_{2}$ :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_{0} + z_{1} + z_{2} 	&=&438\\ 
z_{0} -  z_{2}			&=&176\\ 
z_{0} - 2z_{1} + z_{2}	&=&64
\end{array}\right.\]
 
On arrondira les résultats à l'entier le plus proche. 
\item  On considère la fonction $g$ définie sur $\R$, paire, périodique de période 6, telle que :

\[\left\{\begin{array}{l c l @{~\text{si}~}l}  
g(t)&=&z_{0} & 0 \leqslant t < 1\\ 
g(t) &=& z_{1} & 1 \leqslant t < 2\\
g(t)&=&z_{2} & 2\leqslant t \leqslant3 
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Représenter, sur le graphique de la question 1, la fonction $f - g$. 
		\item  Interpréter la différence $f - g$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip
 
\emph{Nos sens discernent plus ou moins bien les variations d'un signal sonore ou lumineux suivant la rapidité de cette variation.\\
 Les données numériques issues d'images ou de sons sont donc traduites sous forme fréquentielle.}
 
 \medskip
 
\emph{Les divisions par $8$ et $64$ permettent de réduire la place en mémoire. C'est un moyen pour réaliser la compression.} 
\end{document}