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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé par François Hache
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Amérique du Sud novembre 2010},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud ~\decofourright\\ novembre 2009}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Recopier et compléter le tableau colonne par colonne ($x$ est un nombre positif) :

\medskip

\begin{center}

\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$			&9	&	&  \\ \hline% 
$x^2$		&	&16	& \\ \hline% 
$\sqrt{x}$	&	&	& 	5  \\ \hline% 
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
On considère la fraction $\dfrac{190}{114}$.

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi cette fraction n'est pas irréductible, 
\item Déterminer le PGCD des nombres $190$ et $114$ par la méthode de votre choix (faire apparaître les calculs utilisés), 
\item En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{190}{114}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (\textbf{Q. C. M.}).

Aucune justification n'est demandée.
 
Pour chacune des expressions numériques, trois résultats sont proposés. Un seul est exact.

Chaque réponse exacte donne $0,5$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\bigskip
 
\textbf{Recopier sur la copie chaque expression numérique et la réponse exacte.}

\medskip

\begin{center}

\renewcommand{\arraystretch}{1.6} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
			&Réponse A &Réponse B &Réponse C \\ \hline%
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\dfrac{3}{2} + \dfrac{7}{5}$ &$\dfrac{10}{7}$&$\dfrac{10}{10}$&$\dfrac{29}{10}$ \\ \hline%
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{10^5}{10^2}$ &$10^3$&$10^7$& $10^{-3}$\\ \hline%
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3} : \dfrac{1}{4}$&$\dfrac{1}{12}$&$- \dfrac{26}{3}$&$- \dfrac{20}{3}$\\ \hline% 
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\left(10^5 \right)^2$&$10^7$&$10^3$&$10^{10}$\\ \hline%
\end{tabularx}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4}

\medskip
 
On donne A $= (x - 5)^2$ et B $= x^2 - 10x + 25$.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer A et B pour $x = 5$. 
\item Calculer A et B pour $x = -1$. 
\item Peut-on affirmer que A = B quelle que soit la valeur de $x$ ? Justifier. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Activités géométriques \hfill 12 points}

\medskip
  
\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Simon joue avec son cerf-volant au bord de la plage. La ficelle est déroulée au maximum et elle est tendue, elle mesure 50~m.

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,5)
\psline[linewidth=1.5pt](0.5,3)(4,3)\psline[linewidth=1.5pt](1,3)(3.5,4.5)
\psline(3.5,4.5)(3.5,3)\psframe(3.5,3)(3.3,3.2)
\uput[d](1,3){S} \uput[d](3.5,3){H} \uput[r](3.5,4.5){C}
\uput[r](0.5,2.25){S : position de Simon}   
\uput[r](0.5,1.75){C : position du cerf-volant}
\uput[r](0.5,1.25){SC = 50~m}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.52\linewidth}{\begin{enumerate}
\item La ficelle fait avec l'horizontale un angle $\widehat{\text{CSH}}$ qui mesure 80 \degres.

 Calculer la hauteur à laquelle vole le cerf-volant, c'est-à-dire CH (on donnera la réponse arrondie au mètre). 
\item Lorsque la ficelle fait avec l'horizontale un angle de 40~\degres, la distance CH est-elle la moitié de celle calculée au 1. ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{Le cube représenté ci-contre est un cube d'arête 6~cm.

 (\emph{la figure n'est pas aux dimensions réelles})
  
On considère :
 
le point M milieu de l'arête [BB$'$],

le point N milieu de l'arête [CC$'$],
 
le point P milieu de l'arête [DC],

le point R milieu de l'arête [AB].} \hfill
\parbox{0.53\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(6,5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,0)(3.5,0.5)(3.5,3.5)(1.5,3)
\psframe(3,3)
\psline(3,0)(4,1)(4,4)(3,3)
\psline(0,3)(1,4) \psline(1,4)(4,4)
\uput[ul](0,3){A} \uput[ul](3,3){B} \uput[d](3,0){C} 
\uput[d](0,0){D} \uput[u](1,4){A$'$} \uput[u](4,4){B$'$} 
\uput[r](4,1){C$'$} \uput[l](1,1){D$'$} \uput[u](3.5,3.5){M} 
\uput[r](3.5,0.5){N} \uput[d](1.5,0){P}  \uput[u](1.5,3){R}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1)(1,4)
\psline[linestyle=dashed](1,1)(4,1)

\end{pspicture}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle BRM ?
 
Construire ce triangle en vraie grandeur.

Calculer la valeur exacte de RM. 
 
\item On coupe le cube par le plan passant par R et parallèle à l'arête [BC].
 
La section est le quadrilatère RMNP.
 
Quelle est la nature de la section RMNP ? Construire RMNP en vraie grandeur.
 
Donner ses dimensions exactes. 
\item Calculer l'aire du triangle RBM.
 
Calculer le volume du prisme droit de base le triangle RBM et de hauteur [BC]. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème  \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Première partie : étude de la figure donnée en annexe 1}

OABC est un carré de côté 7~cm.
 
O, A et E sont alignés et AE = 2 cm.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du carré OABC.
\item Calculer $\tan \widehat{\text{OEC}}$ ; en déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{OEC}}$, arrondie au degré. 
\item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{ECB}}$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Deuxième partie: construction d'un rectangle sur la figure de l'annexe 1 :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Compléter la figure donnée en annexe 1 (à rendre avec la copie) en effectuant le programme de construction suivant : 
	\begin{enumerate}
		\item construire avec soin la droite parallèle à la droite (CE) passant par A ; cette droite coupe le segment [OC] en M. Placer M. 
		\item construire le rectangle OMNE.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que $\dfrac{\text{OM}}{\text{OC}} = \dfrac{\text{OA}}{\text{OE}}$.
		\item Calculer la valeur exacte de OM. 
		\item Montrer que l'aire du rectangle OMNE est égale à l'aire du carré OABC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Troisième partie :}
 
\textbf{Construction d'un rectangle de même aire qu'un carré :}

\medskip
 
On utilisera la figure donnée en \textbf{annexe 2 (à rendre avec la copie)} :
 
OABC est maintenant un carré de côté 5~cm ; O, A et E sont alignés ; AE = 5~cm.

 Construire le rectangle OMNE de même aire que le carré OABC, avec M appartenant au segment [OC]. 

\newpage
 
\begin{center}

\textbf{ANNEXES À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft} \textbf{Annexe 1} \end{flushleft}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,8)
\psframe(7,7)
\psline(7,0)(9,0)
\uput[d](0,0){O} \uput[d](7,0){A} \uput[u](7,7){B} 
\uput[u](0,7){C} \uput[d](9,0){E}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0)(7,0)(7,7)(0,7)(9,0)
\end{pspicture}  

\vspace{1cm}

\begin{flushleft} \textbf{Annexe 2} \end{flushleft}

\medskip
 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,8)
\psframe(5,5)
\psline(5,0)(10,0)
\uput[d](0,0){O} \uput[d](5,0){A} \uput[u](5,5){B} 
\uput[u](0,5){C} \uput[d](10,0){E}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0)(5,0)(5,5)(0,5)(10,0) 
\end{pspicture}  
\end{center}
\end{document}