\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{multicol} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet Lyon},
pdftitle = {année 2001},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH
}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges juin 2001}
\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{Lyon}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Groupement 4\footnote{Nancy-Metz, Besançon, Dijon, Lyon, Reims, Strasbourg}
  juin 2001~\decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés, soit des étapes de calculs, soit d'explications. Le barème en tiendra compte

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A et B, en donnant les résultats sous forme de fractions irréductibles :

\[\text{A} = 9 \times  \dfrac{3}{2} - 10\qquad  \text{B} = \left(\dfrac{3}{2} \right) - \left(\dfrac{1}{3} \right)^2 \times \left(- \dfrac{5}{2} \right).\]

\item On considère l'expression : 

\[C = (2 x - 5)^2 - (2 x - 5) (3 x - 7)\]
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $C$.
		\item Factoriser l'expression $C$.
		\item Résoudre l'équation : $(2 x - 5) (2 - x) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Sur la figure ci-dessous (qui n'est pas en vraie grandeur),

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] ABCD est un carré dont le côté a pour mesure (en centimètres) $x$,
\item[ ] ECF est un triangle rectangle en C,
\item[ ] le point E étant un point du segment [BC].
\item[ ] on donne FC = 4 cm.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,4.2)
\psframe(0.5,0.5)(4,4)
\psline(4,0.5)(8.5,0.5)(4,3)
\uput[l](0.5,4){A}\uput[r](4,4){B}\uput[l](0.5,0.5){D}\uput[d](4,0.5){C}
\uput[d](8.5,0.5){F}\uput[l](4,3){E}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer l'aire, notée $\mathcal{A}_{\text{ABCD}}$, du carré ABCD en fonction de $x$.
		\item Calculer $\mathcal{A}_{\text{ABCD}}$ pour $x = 2 + \sqrt{2}$ (on donnera le résultat sous la forme $a + b\sqrt{2}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers).
	\end{enumerate}
\item On suppose que $x$ est supérieur à 1.
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que la longueur BE est égale à 0,5~cm, calculer, en fonction de $x$, l'aire, du triangle ACF notée $\mathcal{A}_{\text{ACF}}$.
		\item On note $S$ la somme, en fonction de $x$, des deux aires $\mathcal{A}_{\text{ABCD}}$ et $\mathcal{A}_{\text{ACF}}$.
		
Vérifier que : $S = x^2 + 2 x - 1$.
		\end{enumerate}		
\item Calculer $S$ pour $x = 2 + \sqrt{2}$.

On donnera le résultat sous la forme $c + d \sqrt{2}$ , où $c$ et $d$ sont des nombres entiers).
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un cirque propose deux tarifs d'entrée : un pour les adultes et un pour les enfants.

Un groupe de trois enfants avec un adulte paie $290$~F.

On peut traduire ces données par l'équation à deux inconnues : $3 x + y = 290$.

Un autre groupe de 5 enfants avec quatre adultes paie $705$~F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire alors une deuxième équation et résoudre le système obtenu de deux équations à deux inconnues.
\item Donner le prix d'une entrée pour un enfant et celui d'une entrée pour une adulte
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 1}

\medskip

La figure ci-dessous n'est pas à refaire sur la copie. Elle n'est pas donnée en vraie grandeur.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-6)(6.5,4)
\pscircle(3,0){3}
\psline(0,0)(6,0) \psline(1.5,-3.5)(1.5,3.5)
\psline(1.5,2.598)(6,-5.196)
\psline(6,-6)(6,4)
\uput[l](0,0){A} \uput[r](6,0){B} \uput[ul](1.5,2.598){C} \uput[dl](1.5,-2.598){D} 
\uput[dr](1.5,0){M} \uput[dr](3,0){O} \uput[r](6,-5.196){T} \uput[u](3.5,3.15){($C$)} 
\end{pspicture}
\end{center}

Le rayon du cercle ($C$) de centre O est égal à 3 cm.

[ AB ] est un diamètre de ce cercle.

Les points C et D appartiennent au cercle et la droite (CD) est la médiatrice du rayon [OA].

La droite ( OC ) coupe en T la tangente au cercle ($C$) au point B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que (CM) et (BT) sont parallèles.
\item Calculer, en utilisant la propriété de Thalès, la longueur OT.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle COA est équilatéral.
		\item En déduire une mesure (en degrés) de l'angle $\widehat{\text{MCO}}$, puis une mesure (en degrés) de l'angle $\widehat{\text{DOT}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

Les tracés demandés dans cet exercice sont à réaliser sur la figure ci dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,10)
\multido{\n=-1+1}{12}{\multido{\na=-1+1}{14}{\psdots(\na,\n)}}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-1,-1)(12,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](1,0){I}\uput[l](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}
\psarc[linewidth=2pt]{->}(8.2,5.5){0.5cm}{-90}{90}
\uput[r](8.7,5.5){sens de la rotation}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dans le repère orthonormé (O, I, J) représenté sur la feuille annexe \no 1, placer les points suivants :

\[\text{A}(2~;~3), \text{B} (5~;~6) \text{et \:\: C}(7~;~4).\]

\item On admettra que AB $= 3\sqrt{2}$ et que BC $= 2\sqrt{2}$.

Calculer la distance AC et prouver que le triangle ABC est rectangle en B.
\item Représenter le point D, image du point A par la rotation de centre B et d'angle 90\:\degres. (dans le sens qui est indiqué sur la feuille annexe et qui est le sens contraire des aiguilles d'une montre ).
\item Représenter le point M tel que $\vect{\text{BM}} = \vect{\text{BA}} +\vect{\text{BC}}$.

Quelle est la nature du quadrilatère BCMA ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le point N image de D dans la translation de vecteur
$\vect{\text{BA}}$.
		\item Expliquer pourquoi les points B, C et D sont alignés.
		\item Démontrer que les points A, M et N sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

Une entreprise fabrique des coquetiers en bois qu'elle vend ensuite à des artistes - peintres.

Elle leur propose, à deux tarifs, au choix :

- Tarif \no 1 : 25 F le coquetier.

- Tarif \no 2 : un forfait de 400 F et 15 F le coquetier.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le prix de 30 coquetiers et celui de 50 coquetiers au tarif \no 1 puis au tarif \no 2.
\item On note $x$ le nombre de coquetiers commandés.

En fonction de $x$, les prix $P_{1}$ au tarif \no 1 et $P_{2}$ au tarif \no 2 de $x$ coquetiers sont donc donnés par :

\[P_{1}(x) = 25 x \quad \text{et}\quad  P_{2}(x) = 15 x + 400.\]

Construire, dans le même repère orthogonal donné sur la figure ci-dessous,
les droites $\left(D_{1}\right)$ et $\left(D_{2}\right)$ qui représentent les deux fonctions $P_{1}$ et $P_{2}$. (on prendra comme unités :

sur l'axe des abscisses : 1 cm pour 10 coquetiers commandés,

sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 100 F)

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,10)
\multido{\n=-1+1}{12}{\multido{\na=-1+1}{14}{\psdots(\na,\n)}}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-1)(12,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1,0){10}\uput[l](0,1){100}
\uput[d](11,0){coquetiers}\uput[l](0,10){F}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Par simple lecture graphique, répondre aux trois questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le plus grand nombre de coquetiers qu'un peintre peut acheter avec \np{1200}~F ?
		\item Pour quel nombre de coquetiers, les prix $P_{1}$ et $P_{2}$ sont-ils les mêmes ?
		\item À quelle condition, le tarif \no 2 est-il le plus avantageux ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Le coquetier est fabriqué avec un cylindre de 3~cm de rayon et de 6~cm de hauteur que l'on évide en creusant un cône de même base circulaire de centre O que le cylindre et dont le sommet est le centre I de l'autre base du cylindre.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-0.5)(3.5,6.5)
\psline(-3,0)(-3,6)(3,6)(3,0)
\psellipse(0,6)(3,0.45)
\psellipse(0,0)(3,0.45)
\psellipse[linestyle=dashed](0,1.5)(3,0.45)
\psellipse[linestyle=dashed](0,1.5)(0.75,0.23)
\psline[linestyle=dashed](-3,1.5)(3,1.5)
\psline[linestyle=dashed](3,6)(0,0)(-3,6)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,6)
\uput[ul](0,6){O}\uput[ul](0,1.5){O$'$}\uput[ur](0.75,1.5){A$'$}\uput[dr](0,0){I}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que la valeur exacte du volume (en cm$^3$) d'un coquetier est $36 \pi$ et donner sa valeur arrondie au cm$^3$.
\item On sectionne l'objet par un plan (P) parallèle à la base du cylindre.

Les points O$'$ et A$'$ appartiennent à ce plan (P).
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que la longueur OO$'$ est 4~cm et que les droites (OA) et (O$'$A$'$) sont parallèles, démonter que la longueur O$'$A$'$ est égale à 1~cm.
		\item Dessiner la section du coquetier par le plan (P).
(la figure, qui est une couronne, sera non déformée et dessinée en vraie grandeur).
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire de cette section.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}