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%%% Corrigé et tapuscrit Patrick Soubeyrand
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2010}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S  ~\decofourright\\
Amérique du Sud novembre 2010}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}


\begin{enumerate}
\item  La droite $\mathcal{D}'$ a pour vecteur directeur $\vect{u}~(-1~;~3~;~-1)$
lequel n'est manifestement pas colinéaire au vecteur $\vect{\imath}$, ~vecteur directeur 
de la droite des abscisses $\mathcal{D}$ :  donc les droites $\mathcal{D}$ et 
$\mathcal{D}'$ ne sont pas parallèles.

Prouvons à présent qu'elle ne sont pas sécantes.

Une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$  étant : $\left\{\begin{array}{l c r}
x	&=	& u\\
y 	&=	& 0\\
z	&=	& 0
\end{array}\right.,~ u \in \R$, 

on a pour $M(x~;y~;~z)$ :
\begin{eqnarray*}
M\in \mathcal{D}\cap \mathcal{D}' & \iff & 
\text{il existe}~(u~;~t)\in\R^2 ~\text{tel que}
~\left\{\begin{array}{l c r}
u	&=	&-t\\
0 	&=	&3 + 3t\\
0	&=	&1 - t
\end{array}\right.\\
& \iff & 
\text{il existe}~(u~;~t)\in\R^2 ~\text{tel que}
~\left\{\begin{array}{l c r}
u+t	&=	& 0\\
t	&=	& -1\\
t	&=	& 1
\end{array}\right..
\end{eqnarray*}



Les deux dernières équations étant incompatibles, le système n'a pas de solution
et donc les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas sécantes.

Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ n'étant ni parallèles ni sécantes, elles 
sont donc {\bf non coplanaires}.

\medskip

\item  Le vecteur $\vect{w} = a\vect{\imath}+ b\vect{\jmath} + c\vect{k}$ sera  un vecteur directeur de $\Delta$ si $\vect{w}\perp \vect{\imath}$ et $\vect{w}\perp \vect{u}$,
~i.e. si $a = 0$ et $-a+3b-c = $, ~i.e. encore si $a = 0$ et $c = 3b$.

Prenons $b = 1$. ~Alors le vecteur $\vect{w} = \vect{\jmath} + 3\vect{k}$ est un vecteur directeur de $\Delta$. 

\medskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $M(u~;~0~;~0)$ un point de $\mathcal{D}$. ~On a alors : 
            $-3y+z=-3\times0+0 =0$. ~Donc $M\in\mathcal{P}$ et ceci quel que soit le 
            point $M$ de $\mathcal{D}$. 

            Donc le plan $\mathcal{P}$ d'équation : $-3y + z = 0$ 
             est un plan contenant la droite $\mathcal{D}$.

           \medskip

		\item En tant que point de  $\mathcal{D}'$ le point J a pour 
            coordonnées $(-t~;~3+3t~;~1-t)$. Pour obtenir $t$ exprimons que J 
            appartient au plan $\mathcal{P}$ :
             \[-3y+z=0\iff -3(3+3t)+(1-t)=0\iff -10t=8\iff t=-\dfrac45.\]
            On en déduit que les coordonnées du point d'intersection J de la droite 
            $\mathcal{D}'$ et du plan $\mathcal{P}$ sont 
            $\left(\dfrac45~;~\dfrac35~;~\dfrac95\right)$.

           \medskip

		\item Désignons par  $\Delta_1$ la droite passant par J et  de vecteur 
            directeur $\vect{w}$. ~Elle a pour représentation paramétrique :

            $\left\{\begin{array}{l c l}
            x	&= \rule[-3mm]{0mm}{8mm}	& \dfrac45\\
            y 	&= \rule[-3mm]{0mm}{8mm}	& \dfrac35 + \phantom{3}v\\
            z	&= \rule[-3mm]{0mm}{8mm}	& \dfrac95 + 3v
            \end{array}\right.,~ v \in \R$. 

            \'Etudions l'intersection des droites $\mathcal{D}$ et $\Delta_1$.
            ~On a pour $M(x~;~y~;~z)$ :
           \begin{eqnarray*}
            M\in \mathcal{D}\cap \Delta_1  & \iff &
            \text{il existe}~(u\,;v)\in\R^2 ~\text{tel que}
            ~\left\{\begin{array}{l c l}
            u	&= \rule[-3mm]{0mm}{8mm}	& \dfrac45\\
            0 	&= \rule[-3mm]{0mm}{8mm}	& \dfrac35 +  \phantom{3}v\\
            0	&= \rule[-3mm]{0mm}{8mm}	& \dfrac95 + 3v
            \end{array}\right.\\
	      & \iff &
	    \text{il existe}~(u~;~v)\in\R^2 ~\text{tel que}
           ~\left\{\begin{array}{l c l}
           u	&= \rule[-3mm]{0mm}{8mm}	& \dfrac45\\
           v 	&= \rule[-3mm]{0mm}{8mm}	& -\dfrac35\\ 
           v	&= \rule[-3mm]{0mm}{8mm}	& -\dfrac35
           \end{array}\right..
           \end{eqnarray*}
           Donc la droite $\Delta_1$ est sécante à $\mathcal{D}$ en un point I de 
           coordonnées $\left(\dfrac45~;~0~;~0\right)$.

           \medskip

           Montrons que $\Delta_1$ c'est $\Delta$.

           La droite $\Delta_1$ a pour vecteur directeur $\vect{w}$, ~donc elle est 
           parallèle à $\Delta$, ~donc elle est orthogonale à $\mathcal{D}$ et à 
           $\mathcal{D}'$.

           D'autre part elle rencontre $\mathcal{D}$ en I et $\mathcal{D}'$ en J.

           Donc $\Delta_1$ est une droite perpendiculaire à $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$.

           Enfin, d'après {\bf 1.} $\mathcal{D}$ et  $\mathcal{D}'$ sont deux droites non 
           coplanaires, et on a admis qu'il existe dans ce cas une unique droite  
           perpendiculaire à $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$.

           Donc $\Delta_1$ est bien la {\bf perpendiculaire commune} $\Delta$ à $\mathcal{D}$ et 
           $\mathcal{D}'$.  

           \medskip

		\item Le vecteur $\vect{\text{IJ}}$ ayant pour coordonnées 
           $\left(0~;~\dfrac35~;~\dfrac95\right)$, ~on en déduit que
           la distance de $\mathcal{D}$ à $\mathcal{D}'$ est : 
           ~$d(\mathcal{D}~;~\mathcal{D}') =\text{IJ}=\dfrac35\times\sqrt{0^2+1^2+3^2}
           =\dfrac{3\sqrt{10}}5.$
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On sait que la rotation $R_{\text{A}}$ a pour écriture complexe : 
$z'-a=\text{e}^{-\frac{\text{i}\pi}2}(z-a)$, ~i.e. $z'-a=-\text{i}(z-a)$.

Donc $u=-\text{i}(z-a)+a=-\text{i}z+a(1+\text{i})=
-\text{i}z+5\underbrace{(1+\text{i})^2}_{=2\text{i}}=
-\text{i}z+10\text{i}=\text{i}(10-z).$

L'affixe du point $U$ est donc $u = \text{i}(10-z)$.

\medskip 

De même la rotation $R_{\text{B}}$ a pour écriture complexe : 
$z'-b=\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}2}(z-b)$, ~i.e. $z'-b=\text{i}(z-b)$.

Donc $t=\text{i}(z-b)+b=\text{i}z+b(1-\text{i})=
\text{i}z+5\underbrace{(1-\text{i})^2}_{=-2\text{i}}=
\text{i}z-10\text{i}=\text{i}(z-10).$

L'affixe du point $T$ est donc $t=\text{i}(z-10)$.

\medskip

Montrons que le quadrilatère $MUDT$ est un 
parallélogramme de centre O. 

On sait déjà que O est le milieu de $[MD]$. 

D'autre part, on a $u+t=0$.
~Donc O est le milieu de $[UT]$.

Les diagonales du quadrilatère $MUDT$ se coupent en leur milieu O : donc 
c'est un parallélogramme de centre O. 

\medskip

\item On remarque que : ~$z\overline{z} - 5z - 5\overline{z}=
(z-5)(\overline{z}-5)-25.$

Donc : 

$M_z\in\Gamma\iff(z-5)(\overline{z}-5)=25\iff
(z-5)(\overline{z-5})=25\iff |z-5|^2=5^2\iff|z-5|=5.$

L'ensemble $\Gamma$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que : 
$z\overline{z} - 5z - 5\overline{z} = 0$ est donc le {\bf cercle}
de centre $\Omega$ d'affixe 5 et de rayon $r=5.$

\medskip

Comme on a $\Omega \text{A}=\Omega \text{P}=\Omega \text{O}=\Omega \text{B}=5=r$,
~le quadrilatère OAPB est inscrit dans $\Gamma$.

\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item Les points O, $M$ et $U$ sont alignés si et seulement si les 
vecteurs $\vect{\text{O}U}$ et $\vect{\text{O}M}$ sont colinéaires, i.e. puisque  $\vect{\text{O}M}$ 
n'est pas nul, si et seulement s'il existe un réel $k$ tel que $\vect{\text{O}U}=
k\,\vect{\text{O}M}$, ~i.e. encore s'il existe un réel $k$ tel que $u=kz$.

Or :  ~$u=kz ~\text{avec}~k ~\text{réel}~\iff \dfrac uz\in\R\iff
\dfrac uz=\overline{\left(\dfrac uz\right)}\iff \dfrac uz=\dfrac{\overline{u}}{\overline{z}}.$

\medskip

Donc  les points O, $M$ et $U$ sont alignés si et seulement si 
~$\dfrac{u}{z} = \dfrac{\overline{u}}{\overline{z}}$.

\medskip

		\item Il résulte du {\bf a.} que les points O, $M$ et $U$ sont alignés 
si et seulement si ~$u\overline{z}-\overline{u}z=0$.

Or : 

$u\overline{z}-\overline{u}z=0\iff\cancel{\text{i}}(10-z)\overline{z}+
\cancel{\text{i}}(10-\overline{z})z=0\iff 10\overline{z}+10z-2z\overline{z}=0\iff
z\overline{z}-5z-5\overline{z}=0\iff M\in\Gamma.$

\medskip

Donc les points O, $M$ et $U$ sont alignés si et seulement si 
$M$ appartient au cercle $\Gamma$.
	\end{enumerate}

\medskip

\item  O$MU$ est isocèle en O $\iff \text{O}M=\text{O}U\iff |z|=|u|\iff
|z|=|10-z|\iff \text{O}M=M\text{P}\iff M~\text{appartient à la médiatrice 
du segment [OP]}.$

\medskip

Donc l'ensemble des points $M$ du plan tels que O$MU$ soit un triangle 
isocèle en O est la droite (AB).

\medskip

On a dans ce cas $ \text{O}M=\text{O}U$, ~donc $DM=TU$.

Le parallélogramme $MUDT$ a donc ses diagonales de même longueur :
c'est un {\bf rectangle}.

\medskip

\item $\dfrac{u}{z}$ est un imaginaire pur $\iff \dfrac{u}{z}=
-\overline{\left(\dfrac uz\right)}\iff \dfrac uz=-\dfrac{\overline{u}}{\overline{z}}
\iff u\overline{z}+\overline{u}z=0\iff \cancel{\text{i}}(10-z)\overline{z}-
\cancel{\text{i}}(10-\overline{z})z=0\iff 10\overline{z}-10z=0
\iff \overline{z}=z\iff z\in\R.$

\medskip


Donc l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $\dfrac{u}{z}$ soit un 
imaginaire pur est l'axe réel privé de O. 

\medskip

Si $M$ est un point de la droite (OP) privée de O et P, alors $z\neq0$ et $u\neq0$
et on a : 

\smallskip

$\arg\left(\dfrac uz\right)=\dfrac{\pi}2 \quad(\pi)$.

Et comme ~$\left(\vect{\text{O}M},\vect{\text{O}U}\right) = \arg\left(\dfrac uz\right) \quad(2\pi)$,
~on en déduit : ~$\left(\vect{\text{O}M},\vect{\text{O}U}\right) = \dfrac{\pi}2 \quad(\pi)$.

Le parallélogramme $MUDT$ a donc ses diagonales perpendiculaires :
c'est un {\bf losange}.

\medskip

Le quadrilatère $MUDT$ est un carré si c'est un rectangle et un losange, donc si $M$ 
est sur la droite (AB) et sur la droite (OP) privée de O et P, i.e. si $M$ est en $\Omega$.


Donc il existe une unique position du point $M$ tel que $MUDT$ soit un 
carré : c'est $\Omega$. 

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 	\begin{enumerate}
		\item Si $n$ est impair, $n^4$ l'est aussi, donc $n^4 + 1$ est pair.
		
Si $n$ est pair, $n^4$ l'est aussi, donc $n^4 + 1$ est impair.

\medskip
		\item Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2.
\begin{itemize}
\item Si $n\equiv 0\quad \mod 3, \quad n^4\equiv 0\quad \mod 3,\quad A(n)\equiv 1\quad \mod 3$.
\item Si $n\equiv 1\quad \mod 3, \quad n^4\equiv 1\quad \mod 3,\quad A(n)\equiv 2\quad \mod 3$.
\item Si $n\equiv 2\quad \mod 3, \quad n^4\equiv 1\quad \mod 3,\quad A(n)\equiv 2\quad \mod 3$.
\end{itemize}

Donc, quel que soit l'entier $n\geqslant2,~A(n)$ n'est pas un multiple de 3. 

\medskip

		\item Soit $d$ un diviseur de $A(n)$ : il existe un entier $k$ tel que $n^4+1=kd$, 
~i.e. tel que :

\[kd - n^3\times n = 1.\]

On en déduit, d'après le théorème de Bezout, que $d$ et $n$ sont premiers entre eux. 

Donc, tout entier $d$ diviseur de $A(n)$ est premier avec $n$. 

\medskip
		\item Soit $d$ un diviseur de $A(n)$. ~On a alors : ~~$n^4+1\equiv 0\quad \mod d$. 

D'où :  ~~$n^4\equiv -1\quad \mod d$, ~et donc : ~~$n^8\equiv 1\quad \mod d$. 


Donc, pour tout entier $d$ diviseur de $A(n)$ : 
\[n^8 \equiv 1\quad \mod d.\]

	\end{enumerate} 

\medskip

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Soit $k$ un entier tel que $n^k \equiv  1\quad  \mod d$.

Effectuons la division euclidienne de $k$ par $s$ (l'existence de $s$ est assurée d'après {\bf 1. d}) :

Il existe un unique couple d'entiers $(q,r)$ tel que $k=sq+r$ avec $0\leqslant r<s$.

D'où : ~$n^k=\left(n^s\right)^q\times n^r$. ~Or : ~~$n^s \equiv 1\quad \mod d.$ 
~Donc  : ~~$\left(n^s\right)^q \equiv 1\quad \mod d.$ 

Et comme $n^k \equiv  1\quad  \mod d$,  ~il en résulte : ~~$n^r \equiv 1\quad \mod d.$ 

Or $r < s$ et $s$ est le plus petit  entier naturel non nul ayant cette propriété.
Donc $r=0$ et donc $s$ divise $k$. 

\medskip
		\item  On a vu au {\bf 1. d} que : ~~$n^8\equiv 1\quad \mod d$. ~Donc d'après 
{\bf a},  $s$ est un diviseur de $k=8$.

\medskip 

		\item  D'après {\bf 1.c}, l'entier $d$ est premier avec $n$. ~Si, de plus, 
$d$ est premier, alors il découle du petit théorème de Fermat que :  
\[n^{d-1}\equiv 1\quad \mod d.\]
Comme $d \geqslant 2$ (car premier) alors $k=d-1$ est un entier naturel non nul. D'où, d'après {\bf a}, 
$s$ divise $k$, ~i. e. $s$ divise $d-1$.

\medskip

On a donc montré que :

\fbox{Si $d$ est un diviseur  premier de $A(n)$, alors $s$ est un diviseur de $d -1$.}

	\end{enumerate} 

\medskip

\item Recherche des diviseurs premiers de $A(n)$ dans le cas où $n$ est un entier pair.

\medskip

Soit $p$ un diviseur premier de $A(n)$ et soit $s$ le plus petit des entiers naturels non nuls $k$ 
tels que $n^k \equiv  1\quad  \mod d$. 
	
D'après {\bf 2.b} $s$ est un diviseur de $8$, ~donc $s\in\{1,2,4,8\}$.

Si  $s\in\{1,2,4\}$, ~i.e. si $s$ est un diviseur de 4, alors de : ~~$n^s \equiv 1\quad \mod p$ ~~on déduit :
\[n^4 \equiv 1\quad \mod p.\]
D'où :
\[A(n) \equiv 2\quad \mod p.\]
Or on a \fbox{$p>2$}\,, ~puisque $n$ étant un entier pair alors $A(n)$ est un entier impair.

Donc $A(n)$ n'est pas un multiple de $p$, ~contrairement à l'hypothèse.

Donc $s$ ne divise pas 4 : donc $s=8$, ~et, d'après {\bf 2. c}, 8 est un diviseur de $p-1$, ~i.e. 
~~$p-1\equiv 0\quad \mod 8$, ~et donc ~~$p\equiv 1\quad \mod 8$.

\medskip

On a donc montré que, dans le cas où $n$ est un entier pair :

\fbox{Si $p$ est un diviseur  premier de $A(n)$, ~alors  $p$ est congru à 1 modulo $8$.}

\medskip

\item Recherche des diviseurs premiers de $A(12)$.

$A(12)=\np{20737}$. En effectuant les divisions successives de \np{20737} par les nombres de la liste 
donnée, on constate que $\np{20737}=89\times233$.

Or $\sqrt{233}\approx15,3$ donc $\sqrt{233}<17$. ~Et comme, dans la liste, il n'y a pas d'autres nombres
avant 17, cela signifie que 233 fait partie de la liste des nombres premiers congrus à 1 modulo 8.

Donc les diviseurs premiers de $A(12)$ sont 89 et 233.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les évènements $F,~A,~C$ et $I$ constituent une partition de l'univers. Donc :
\[P(F)+P(A)+P(C)+P(I)=1.\]
D'où, puisque $P(A)=P(F)$ et $P(C)=P(I)=2P(F)$ on a : $P(F)+P(F)+2P(F)+2P(F)=1$, ~i.e. $6P(F)=1$.

\medskip

On obtient donc : $p(F)=p(A)=\dfrac16$ ~et~ $P(C)=P(I)=\dfrac13$.


\medskip
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $P(S \cap A)=P(A)\times P_{A}(S) =\dfrac16\times0,5=\dfrac1{12}$.

\medskip

		\item D'après la formule des probabilités totales :
\[p(S)=P(S \cap F)+P(S \cap A)+P(S \cap AC)+P(S \cap I).\]
Donc : \[P(S)=\dfrac16\times0,2+\dfrac16\times0,5+\dfrac13\times0,1+\dfrac13\times0,4=
\dfrac16\underbrace{(0,7+2\times0,5)}_{=1,7}= \dfrac{17}{60}.\]

\medskip

		\item On demande la valeur de $P_{S}(C)$ :
\[P_{S}(C)=\dfrac{P(C\cap S)}{P(S)}=\dfrac{\dfrac13\times0,1}{\dfrac16\times1,7}=\dfrac2{17}.\]
La probabilité qu'il ait acheté le supplément sur le site canadien est $\dfrac2{17}$.
	\end{enumerate} 

\medskip

\item \begin{enumerate}
		\item $d^2 = \left(0,335-\dfrac13\right)^2+\left(0,310-\dfrac13\right)^2+\left(0,355-\dfrac13\right)^2
\approx \np{0,0010167}.$

D'où :  $\np{1000}d^2\approx \np{1,0167}$.

\medskip

		\item Le neuvième décile est : $D_9= \np{1,5104}$. ~Donc $\np{1000}d^2<D_9$.

On peut donc considérer, au risque de 10\,\%,  que le choix d'un site européen, nord-américain ou asiatique se fait de manière équiprobable.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
% 
% \medskip
% 
% Le but de l'exercice est de donner un encadrement du nombre $I$ défini par : 
% \[I = \int_{0}^1 \dfrac{x^2 \text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x. \]
% 
% Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~1] par $f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de [0~;~1] : 
\[f'(x)=\dfrac{\text{e}^x[(\cancel{1}+x)-\cancel{1}]}{(1+x)^2}=
\dfrac{x\text{e}^x}{(1+x)^2}.\]
Comme $x\geqslant0$ et que pour tout réel $x,~\text{e}^x$ est $>0$, ~on a ~$f'(x)\geqslant0$.

Donc $f$ est croissante sur [0~;~1].

\item 
% On pose, pour tout entier naturel $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n f\left(\dfrac{k}{5} \right)$.  
	\begin{enumerate}
		\item On partage l'intervalle [0~;~1] en cinq intervalles de même longueur $\dfrac15$.

Si bien que :
\[[0~;~1]=\bigcup_{0\leqslant k\leqslant4}\left[\dfrac{k}5\,;\dfrac{k+1}5\right].\]
Soit  $k$ un entier compris entre 0 et 4. La fonction $f$ étant croissante sur l'intervalle [0~;~1],
elle l'est en particulier sur l'intervalle $I_k=\left[\dfrac{k}5\,;\dfrac{k+1}5\right]$.

Donc pour tout $x$ de $I_k$ : \[f\left(\dfrac{k}{5} \right) \leqslant f(x)
\leqslant f\left(\dfrac{k+1}{5} \right).\]


Il découle alors de l'inégalité de la moyenne que :
\[\dfrac{1}{5}f\left(\dfrac{k}{5} \right) \leqslant \int_{\frac{k}{5}}^{\frac{k+1}{5}}  
f(x)\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{5}f\left(\dfrac{k+1}{5} \right)\] 
i.e. :
\[\dfrac{1}{5}f\left(\dfrac{k}{5} \right) \leqslant \int_{\frac{k}{5}}^{\frac{k+1}{5}}  
\dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{5}f\left(\dfrac{k+1}{5} \right)\] 
et ceci, quel que soit l'entier $k$ compris entre 0 et 4.

\medskip

Interprétation graphique : la fonction $f$ étant continue et positive sur l'intervalle $I_k$,
~l'intégrale ci-dessus représente l'aire sous la courbe de la fonction $f$, ~exprimée en unité
d'aire.

On en déduit que cette aire est comprise entre l'aire du rectangle $r_K$, ~situé au-dessous de 
la courbe, et celle du rectangle $R_K$,~ situé au-dessus de la courbe, ces rectangles ayant pour 
base $\dfrac15$ et pour hauteurs respectives $f\left(\dfrac{k}{5} \right)$ et 
$f\left(\dfrac{k+1}{5} \right)$.

\medskip

		\item  En sommant les inégalités précédentes pour $k$ compris entre 0 et 4, on obtient :
\[\sum_{k=0}^4 \dfrac{1}{5}f\left(\dfrac{k}{5} \right) \leqslant \sum_{k=0}^4 
\int_{\frac{k}{5}}^{\frac{k+1}{5}}  \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x \leqslant 
\sum_{k=0}^4 \dfrac{1}{5}f\left(\dfrac{k+1}{5} \right).\] 
Or :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\displaystyle\sum_{k=0}^4 \dfrac{1}{5}f\left(\dfrac{k}{5} \right)=
\dfrac{1}{5}\sum_{k=0}^4 f\left(\dfrac{k}{5} \right)=\dfrac15 S_4$.

\medskip

\item[$\bullet$] $\displaystyle\sum_{k=0}^4 \int_{\frac{k}{5}}^{\frac{k+1}{5}} 
\dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x =\int_{0}^1 
\dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x$ \quad(Relation de Chasles).

\medskip

\item[$\bullet$] $\displaystyle\sum_{k=0}^4 \dfrac{1}{5}f\left(\dfrac{k+1}{5} \right)=
\dfrac{1}{5}\sum_{k=0}^4 f\left(\dfrac{k+1}{5} \right)=
\dfrac{1}{5}\sum_{k=1}^5 f\left(\dfrac{k}{5} \right)=\dfrac15\left(S_5-1\right)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Il en résulte :
\[\dfrac{1}{5}S_{4} \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 
\dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{5}\left(S_{5} - 1 \right).\]

\medskip

		\item  On trouve, à $10^{-4}$ près :  $S_{4}\approx\np{5,4587}$ 
~et~ $S_5\approx\np{6,8178}$.

D'où : $\dfrac15\left(S_4\right)\approx\np{1,0917}$ ~qu'on {\bf minore} par $\np{1,091}$

et ~$\dfrac15\left(S_5-1\right)\approx\np{1,1636}$  ~qu'on {\bf majore} par $\np{1,164}$.

\medskip

Ce qui nous donne l'encadrement : $1,091 \leqslant  \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}
\:\text{d}x \leqslant 1,164$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x$ de [0~;~1], on a :
\[1-x+\dfrac{x^2}{1 + x}=\dfrac{(1-x)(1+x)+x^2}{1+x}=\dfrac{(1-\cancel{x^2})+\cancel{x^2}}{1+x}
=\dfrac1{1+x}.\]



Donc, pour tout réel $x$ de [0~;~1], on a : $\dfrac{1}{1 + x} = 1 - x + 
\dfrac{x^2}{1 + x}$. 

\medskip

		\item En multipliant par $\text{e}^x$ dans l'égalité précédente, on obtient, 
pour tout réel $x$ de [0~;~1] :
\[\dfrac{\text{e}^x}{1 + x} = (1-x)\text{e}^x+\dfrac{x^2\text{e}^x}{1 + x}.\]
D'où, en intégrant de 0 à 1 :
\[\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}
\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 (1 - x)\text{e}^x\:\text{d}x + I.\]

		\item Pour calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 (1 - x)\text{e}^x\:\text{d}x$,
~les fonctions sous le signe somme étant continues, ainsi que leurs dérivées, on peut
effectuer une intégration par parties. Posons :
\[\begin{tabular}{|lc|l}
$u'(x)=\text{e}^x$ & \hskip1cm & $u(x)=\text{e}^x$\\
$v(x)=1-x$ &  & $v'(x)=-1$\\
\cline{2-3}
\multicolumn{2}{c}{} & \rule[-1mm]{0mm}{6mm}$u(x)v'(x)=-\text{e}^x$
\end{tabular}\]
D'où :

\medskip

$\displaystyle\int_{0}^1 (1 - x)\text{e}^x\:\text{d}x=\left[(1-x)\text{e}^x\right]_0^1+
\int_{0}^1 \text{e}^x\:\text{d}x=\left[(1-x)\text{e}^x\right]_0^1+
\left[\text{e}^x\right]_0^1=$

$\left[(1-x)\text{e}^x+\text{e}^x\right]_0^1
=\rule[-2mm]{0mm}{8mm}\left[(2-x)\text{e}^x\right]_0^1=\text{e}-2.$

\medskip

Ainsi :
\[\int_{0}^1 (1 - x)\text{e}^x\:\text{d}x=\text{e}-2.\] 

		\item Puisque $I=\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}
\:\text{d}x-\int_{0}^1 (1 - x)\text{e}^x\:\text{d}x=
\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}
\:\text{d}x-(\text{e}-2)$,

\medskip

On déduit de l'encadrement obtenu au {\bf 2.c} que :

\[1,091-(\text{e}-2)\leqslant I\leqslant1,164-(\text{e}-2).\]

D'où l'encadrement d'amplitude strictement inférieure à $10^{-1}$ suivant :

\[0,37\leqslant I \leqslant 0,45.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
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