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% Tapuscrit : Arié Yallouz
% Corrigé : François Hache
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%%%%   Commandes perso FH
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\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {TES France (copies volées)},
pdftitle = {28 juin 2017},
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\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
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\renewcommand{\i}{\text{\,i}}%  le i des complexes

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat TES}
\lfoot{\small{Métropole (copies volées)}}
\rfoot{\small 28 juin 2017}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES candidats ayant repassé l'épreuve
~\decofourright\\[7pt] 28 juin 2017}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 1 \hfill Commun à  tous les candidats \hfill 4 points}

%%\textbf{Commun à  tous les candidats}
%%
%%\medskip
%
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
%
%Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
 

\begin{enumerate}
\item Si $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu=3$ et d'écart type $\sigma=1$ alors $P\left( X \leqslant 2,5\right)$ a pour valeur approchée arrondie au centième :

\medskip

\begin{multicols}{4}
\textbf{a.} 0,16 

\columnbreak

\textbf{b.~} 0,26 

\columnbreak

\textbf{c.~} \fbox{0,31}  

\columnbreak

\textbf{d.~} 0,54
\end{multicols}

\medskip

On obtient le résultat à la calculatrice.

\medskip

\item Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 0 et d'écart-type 
$\sigma$. 

Si $P\left(-5\leqslant Y \leqslant  5\right) \approx 0,95$ alors, parmi les réponses suivantes, la meilleure valeur approchée de $\sigma$ est :

\medskip

\begin{multicols}{4}
\textbf{a.~} 5 

\columnbreak

\textbf{b.~}  \fbox{2,5} 

\columnbreak

\textbf{c.} 1,3  

\columnbreak

\textbf{d.~} 0,95

 \end{multicols}

\medskip

On sait que si $Y$ suit la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$, alors 
$P(\mu - 2\sigma \pp Y \pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$ donc $2\sigma \approx 5$ et donc $\sigma \approx 2,5$.

\medskip

\item Un institut de sondage réalise une enquête afin de mesurer le degré de satisfaction du service après-vente d'une société. Une première étude portant sur un échantillon aléatoire de 500 clients révèle que l'on dénombre 438 clients satisfaits. Un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant d'estimer la proportion de clients satisfaits est :

\medskip

\begin{multicols}{4}
\textbf{a.~} $\cd 0,079~;~0,169\cg$ 

\columnbreak

\textbf{b.~}  $\cd 0,455~;~0,545\cg$

\columnbreak

\textbf{c.} \fbox{$\cd 0,831~;~0,921\cg$}   

\columnbreak

\textbf{d.~} $\cd 0,874~;~0,878\cg$

 \end{multicols}

\medskip

$f=\dfrac{438}{500} = 0,876$ et $n=500$;
$\left [ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right ] \approx \left [0,831~;~0,921 \right ]$

\medskip

\item Cet institut souhaite réduire l'amplitude de l'intervalle de confiance. Combien de personnes au minimum faut-il interroger pour que cet intervalle de confiance ait une amplitude d'au plus 0,05 ?

\medskip

\begin{multicols}{4}
\textbf{a.~} \fbox{\np{1600}}

\columnbreak

\textbf{b.~}  40

\columnbreak

\textbf{c.} \np{2000} 

\columnbreak

\textbf{d.~} 400

 \end{multicols}

\medskip

L'amplitude de l'intervalle de confiance est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$; on doit donc avoir:

$\dfrac{2}{\sqrt{n}} \pp 0,05 \iff \dfrac{2}{0,05} \pp \sqrt{n} \iff 40 \pp \sqrt{n} \iff n \pg \np{1600}$

\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 \hfill {\normalsize Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} \hfill 5 points}

En 2016, un institut de sondage mène une enquête régionale sur la manière dont les particuliers paient leur assurance. Les assurés se répartissent en deux catégories distinctes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la catégorie A, composée des assurés qui paient en agence ;
\item[$\bullet~~$] la catégorie B, composée des assurés qui paient en ligne.
\end{itemize}

\smallskip
 
En 2016, 92\,\% des assurés paient en agence.
On admet que, d'une année à l'autre, 4\,\% des assurés de la catégorie A passent à la catégorie B et que 1 \% des assurés de la catégorie B passent à la catégorie A.
On suppose que le nombre d'assurés est constant et que chaque année un assuré fait partie d'une seule catégorie.

Pour tout entier naturel $n$, on considère l'année $(2016 + n)$ et on note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_n$ la probabilité qu'un assuré, pris au hasard, soit de catégorie A cette année-là,
\item[$\bullet~~$] $b_n$ la probabilité qu'un assuré, pris au hasard, soit de catégorie B cette année-là,
\item[$\bullet~~$] $P_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}$. Ainsi $P_0 = \begin{pmatrix} 0,92 & 0,08\end{pmatrix}$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item On représente la situation à l'aide d'un graphe probabiliste:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

\newrgbcolor{colorG}{1 0 0}% couleur du sommet de gauche
%%% mettre 0 0 0 pour le noir

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{$A$}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{$B$}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{0,04}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{0,01}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{0,96}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{0,99}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
           %   définition des sommets
\ncarc[linecolor=colorG]{->}{G}{D} 
      \Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc{->}{D}{G} 
      \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm}   
      \Bput{\colorG \valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
      \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}

On notera $A$ l'état \og l'assuré est de catégorie A \fg{} et $B$ l'état \og l'assuré est de catégorie B \fg{}.
\item On admet que la matrice de transition $M$ associée à cette situation est $M = \begin{pmatrix}0,96&0,04\\0,01 &0,99\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item% Exprimer $P_1$ en fonction de $M$ et de $P_0$.
$P_1=P_0\times M = 
\begin{pmatrix} 0,92 & 0,08 \end{pmatrix}
\times 
 \begin{pmatrix} 0,92\times 0,96 + 0,08 \times 0,01 & 0,92\times 0,04 + 0,08 \times 0,99\end{pmatrix}\\
 \phantom{P_1}
 =
  \begin{pmatrix} 0,884 & 0,116 \end{pmatrix}$
  
\item Donc la probabilité qu'un assuré soit de catégorie A en 2017 vaut environ $0,89$.
\end{enumerate}

\item Soit $P = \begin{pmatrix} a & b\end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l'état stable du graphe.
\begin{enumerate}
\item% Justifier que $\left\{\begin{array}{r c l} - 0,04a + 0,01b &= &0 \\ \phantom{- 0,0}a + \phantom{0,01}b &=& 1	\end{array}\right.$.
D'après le texte, $a+b=1$.

De plus la matrice $P$ vérifie:

$P\times M = P
\iff
\begin{pmatrix} a & b\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}0,96&0,04\\0,01 &0,99\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} a & b\end{pmatrix}
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
0,96 a + 0,01 b & a\\
0,04 a + 0,99 b & b
\end{array}
\right.\\
\phantom{P\times M = P}
\iff
-0,04 a + 0,01b = 0$

Les nombres $a$ et $b$ vérifient donc le système:
$\left\{\begin{array}{r !{=} l} 
- 0,04a + 0,01b & 0 \\ \phantom{- 0,0}a + \phantom{0,01}b & 1	
\end{array}\right.$.

\item %Résoudre le système précédent. Quelle conclusion peut-on tirer quant à la répartition à long terme des assurés ?
$\left\{
\begin{array}{r !{=} l} 
- 0,04a + 0,01b & 0 \\ 
\phantom{- 0,0}a + \phantom{0,01}b & 1	
\end{array}
\right.
\iff
\left\{
\begin{array}{r !{=} l} 
b & 4a\\
a+b & 1
\end{array}
\right.
\iff
\left\{
\begin{array}{r !{=} l} 
b & 4a\\
a+4a & 1
\end{array}
\right.
\iff
\left\{
\begin{array}{r !{=} l} 
b & 0,8\\
a & 0,2
\end{array}
\right.$

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}

\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}= 0,95a_n + 0,01$.
$P_{n+1} = P_n\times M 
\iff
\begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} a_n & b_n \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}0,96&0,04\\0,01 &0,99\end{pmatrix}
\iff$

$\left\lbrace
\begin{array}{r !{=} l}
a_{n+1} & 0,96 a_n + 0,01 b_n\\
b_{n+1} & 0,04 a_n + 0,99 b_n
\end{array}
\right .$

On en déduit que $a_{n+1} = 0,96 a_n + 0,01 b_n$; or, pour tout $n$, $a_n+b_n=1$.

Donc $a_{n+1} = 0,96 a_n + 0,01 (1-b_n) = 0,95 a_n + 0,01$, pour tout $n$.

On admet que, pour tout entier naturel $n$, $a_n = 0,2 + 0,72 \times 0,95^n$ et que la suite $\left( a_n \right)$ est décroissante.

\item On souhaite déterminer au bout de combien d'années moins d'un assuré sur deux sera de catégorie A. On complète l'algorithme pour qu'il donne le résultat attendu:

\begin{center}
\begin{tabularx}{.7\linewidth}{|p{3cm}|X|} \hline
\textbf{\textsf{Variables :}} & $A$ est un nombre réel\\
 & $N$ est un entier naturel\\\hline
\textbf{\textsf{Initialisation}}& Affecter à $A$ la valeur 0,92\\
& Affecter à $N$ la valeur 0 \\
\hline
\textbf{\textsf{Traitement}} & Tant que \textcolor{red}{$A \pg 0,5$}\\
&\hspace{1em} Affecter à $N$ la valeur \textcolor{red}{$N+1$}\\
&\hspace{1em} Affecter à $A$ la valeur \textcolor{red}{$0,95 A + 0,01$}\\
&Fin Tant que\\
\hline
\textbf{\textsf{Sortie}} & Afficher \textcolor{red}{$N$}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On veut savoir si la proportion d'assurés de catégorie A va devenir inférieure à 0,5.

On résout donc l'inéquation $a_n < 0,5$:

$a_n < 0,5 \iff
0,2 + 0,72 \times 0,95^n < 0,5
\iff
0,95^n < \dfrac{0,3}{0,72}
\iff
\ln \left (0,95^n\right ) < \ln \left (\dfrac{0,3}{0,72} \right )\\
\phantom{a_n < 0,5}
\iff
n \ln \left (0,95\right ) < \ln \left (\dfrac{0,3}{0,72} \right )
\iff
n > \dfrac{\ln \left (\frac{0,3}{0,72} \right )}{\ln(0,95)} 
$

$ \dfrac{\ln \left (\frac{0,3}{0,72} \right )}{\ln(0,95)} \approx 17,07$ donc pour $n\pg 18$, la proportion d'assurés de catégorie A sera inférieure à $0,5$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Exercice 3 \hfill  Commun à  tous les candidats \hfill 5 points}

%\textbf{Commun à  tous les candidats}
%
%\medskip

L'angine chez l'être humain est provoquée soit par une bactérie (angine bactérienne), soit par un virus (angine virale).
On admet qu'un malade ne peut pas être à la fois porteur du virus et de la bactérie.
L'angine est bactérienne dans 20 \% des cas.

Pour déterminer si une angine est bactérienne, on dispose d'un test. Le résultat du test peut être positif ou négatif. Le test est conçu pour être positif lorsque l'angine est bactérienne, mais il présente des risques d'erreur :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] si l'angine est bactérienne, le test est négatif dans 30 \% des cas ;
\item[$\bullet~~$] si l'angine est virale, le test est positif dans 10 \% des cas.
\end{itemize}

\smallskip

On choisit au hasard un malade atteint d'angine. On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement : \og l'angine du malade est bactérienne \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $T$ l'évènement : \og le test effectué sur le malade est positif \fg{}.
\end{itemize}

\smallskip

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux évènements, $p(E)$ désigne la probabilité de $E$ et $p_{F}(E)$ désigne la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé. On note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On représente la situation par un arbre de probabilité:

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$B$}\naput{$0,2$}}
 	  { 
 		  \TR{$T$}\naput{\red $1-0,3=0,7$}
 		  \TR{$\overline{T}$}\nbput{$0,3$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{B}$}\nbput{\red $1-0,2=0,8$}}
 	  {
 		  \TR{$T$}\naput{$0,1$}
          \TR{$\overline{T}$}\nbput{\red $1-0,1=0,9$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}

		\item L'angine du malade est bactérienne et que le test est positif correspond à $B\cap T$:
		
$p(B\cap T) = 0,2\times 0,7 = 0,14$

		\item% Montrer que la probabilité que le test soit positif est 0,22.
D'après la formule des probabilités totales:

$p(T)= p(B\cap T) + p(\overline{B}\cap T) = 0,14 + 0,8\times 0,1 = 0,22$ 


		\item Un malade est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. 
		La probabilité pour que son angine soit bactérienne est:
$p_T(B) = \dfrac{p(B\cap T)}{p(T)} = \dfrac{0,14}{0,22}= \dfrac{7}{11}\approx 0,64$.
	
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard cinq malades atteints d'une angine.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne, parmi les cinq malades choisis, le nombre de malades dont le test est positif.

	\begin{enumerate}
		\item% Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?
Pour un malade, il n'y a que deux possibilités: il a un test positif avec une probabilité de $p=0,22$, ou il a un test négatif avec une probabilité de $1-p=0,78$.

On est dans le cas d'une répétition de 5 expériences identiques et indépendantes. La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de malades dont le test est positif suit une loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,22$.

		\item La probabilité qu'au moins l'un des cinq malades ait un test positif est:
		
 $p(X \pg 1) = 1- p(X=0) = 1- \ds\binom{5}{0}\times 0,22^0 \times 0,78^5 \approx 0,71$.

		\item L'espérance mathématique de $X$ est $E(X)=np=5\times 0,22=1,1$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Exercice 4 \hfill  Commun à  tous les candidats \hfill 6 points}

%\textbf{Commun à  tous les candidats}
%
%\medskip

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}
\end{center}

Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2~;~4]$ ainsi que plusieurs tangentes à $\mathcal{C}_f$ :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $T_1$ est la tangente au point A de coordonnées $\left(-1~;~\text{e}^2\right)$,
\item[$\bullet~~$] $T_2$ est la tangente au point B de coordonnées $(0~;~2\mathrm{e})$,
\item[$\bullet~~$] $T_3$ est la tangente au point C de coordonnées $(1~;~3)$.
\end{itemize}

On sait que la tangente $T_1$ est parallèle à l'axe des abscisses et que la tangente $T_3$ passe par le point $D$ de coordonnées $(2~;~1)$.

\begin{figure}[!t]
\centering
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(5,9)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+2)*EXP(1-x)}
\def\Tb{5-2*x}
\def\Tc{EXP(1)*(2-x)}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0,griddots=10](-3,-1)(5,9)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-1)(5,9)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,9){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-2}{4}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=.75pt]{-2}{3}{\Tb}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=.75pt]{-1.3}{2.37}{\Tc}
\psline[linewidth=.75pt](-3,7.389)(5,7.389)
\psdots(-1,7.389)(0,5.43656)(1,3)(2,1)
\uput[u](3.5,.4){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[u](-1,7.4){\footnotesize{A}}\uput[ur](0,5.4){\footnotesize{B}}\uput[ur](1,3){\footnotesize{C}}\uput[dr](2.1,1){\footnotesize{D}}
\uput[u](3.5,7.4){\footnotesize{$T_1$}}\uput[ur](-1,8){\footnotesize{$T_2$}}\uput[u](-2,8){\footnotesize{$T_3$}}
\end{pspicture}
\end{figure}

\begin{enumerate}
\item% Déterminer $f'(- 1)$ et $f'(1)$.
On sait que la tangente $T_1$ est parallèle à l'axe des abscisses et A\,$\in T_1$ donc $f'(x_{\text A})=0$ et donc $f'(-1)=0$.

Le point de la courbe d'abscisse 1 est le point C qui appartient à la tangente $T_2$ donc $f'(1)$ est le coefficient directeur de $T_2$.
La droite $T_2$ passe par C et D donc a pour coefficient directeur
$\dfrac{y\text{D} - y\text{C}}{x\text{D} - x\text{C}} = \dfrac{1 - 3}{2-1} = -2$.
On déduit: $f'(1)=-2$.

\item On admet que B est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$. %Quelle interprétation graphique peut-on faire ?

Cela veut dire qu'au point B, la courbe traverse sa tangente.

\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $C$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}
\end{center}

La fonction $f$ de la partie A est définie, pour tout réel $x$ de  $\cd-2 ; 4\cg$, par :
$f(x) =(x + 2)\e^{-x + 1}$.

%On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\begin{enumerate}
\item% Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[-2~;~4]$, on a $f'(x) = -(x + 1)\mathrm{e}^{-x+1}$.
$f'(x)=1\times \e^{-x+1}+ (x+2)\times (-1)\e^{-x+1}=(1-x-2)\e^{-x+1} = -(x+1)\e^{-x+1}$

\item% Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[-2~;~4]$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.
Pour tout réel $x$, $\e^{-x+1}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-(x+1)$ qui s'annule et change de signe pour $x=-1$.

$f(-2)=0$; $f(-1)=\e^{2}$ et $f(4)= 6\e^{-3} \approx 0,3$

On établit le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\cd -2~;~4 \cg$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & -2  & \esp & -1 & \esp\esp & 4 \\ 
\hline
-(x+1)  &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\e^{2}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{6\e^{-3}} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}
\end{center}

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|@{\hspace{1em}}c@{\hspace{1em}}|Xr|}\hline     
 \multirow{2}{*}{1} & \multicolumn{2}{l|}{factoriser(dériver $\left[-(x + 1)*\exp(-x + 1)\right]$}\\ \cline{2-3} 
					& &$x*\exp(-x + 1)$\\ \hline   
\multirow{2}{*}{2} 	& \multicolumn{2}{l|}{intégrer $\left((x + 2)*\exp(-x+1)\right)$}\\ \cline{2-3} 
					& &$-(x + 3)*\exp(-x + 1)$\\ \hline  
\end{tabularx}
}
\end{center}   

%En utilisant ces résultats, répondre aux questions suivantes.

\begin{enumerate}
\item% Déterminer un intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe. justifier.
La fonction $f$ est convexe sur les intervalles sur lesquels sa dérivée est croissante, c'est-à-dire sur lesquels sa dérivée seconde est positive.

D'après le logiciel de calcul formel, $f''(x)=x \e^{-x+1}$ qui est positive pour $x>0$.

La fonction $f$ est donc convexe sur $\cg 0~;~4\cg$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $\displaystyle \int_{-2}^{1} f(x)\mathrm{d}x = - 4 + \mathrm{e}^3$.
D'après le logiciel de calcul formel, la fonction $f$ a pour primitive la fonction $F$ définie par $F(x)=-(x+3)\e^{-x+1}$.

Donc 
$\displaystyle \int_{-2}^{1} f(x)\d x 
= F(1) - F(-2)
= \left ( -4\e^{0} \right ) - \left ( -1\e^{3} \right ) = -4+\e^{3}$.

		\item La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\cd -2~;~1\cg$ est donc
		
$\dfrac{1}{1-(-2)} \ds\int_{-2}^{1} f(x) \d x = \dfrac{-4+\e^{3}}{3} \approx 5,362$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}