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% Tapuscrit & corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du   baccalauréat  ST2S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{16 juin 2016}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~ Corrigé du baccalauréat  ST2S Antilles-Guyane 16 juin 2016~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}   

\medskip
{\footnotesize
Les trois principaux services de soins d’un centre hospitalier sont :
\smallskip

\textbf{le service hématologie, le service diabétologie, le service urologie.}

\smallskip

On s’intéresse aux prises de sang effectuées dans cet hôpital.

Après observation sur une assez longue période, on a constaté que :
\begin{itemize}
\item [$\bullet$]50\,\% des prises de sang sont effectuées dans le service hématologie ;
\item [$\bullet$] 20\,\% des prises de sang sont effectuées dans le service diabétologie ;
\item [$\bullet$] Les autres le sont dans le service urologie.
\end{itemize}

\bigskip
Les seringues utilisées pour effectuer les prises de sang sont fournies soit par le laboratoire Clamex,
soit par le laboratoire Spara :
\begin{itemize}
\item [$\bullet$] dans le service hématologie, 56\,\% des prises de sang sont effectuées avec des seringues fournies
par le laboratoire Clamex ;
\item [$\bullet$] dans le service diabétologie, 80\,\% des prises de sang sont effectuées avec des seringues fournies
par le laboratoire Spara ;
\item [$\bullet$] dans le service urologie, la moitié des prises de sang sont effectuées avec des seringues fournies
par le laboratoire Clamex.
\end{itemize}

\medskip
On choisit au hasard et de manière équiprobable un patient qui a subi une prise de sang dans l’un
des trois services citées précédemment.

\smallskip
On considère les évènements suivants :
\smallskip
\begin{description}
\item $H$ : \og La prise de sang a été effectuée dans le service hématologie \fg{};
\item $D$ : \og La prise de sang a été effectuée dans le service diabétologie \fg{};
\item $U$ : \og La prise de sang a été effectuée dans le service urologie \fg{};
\item $C$ : \og La seringue utilisée pour ce patient a été fournie par le laboratoire Clamex \fg{};
\item $S$ : \og La seringue utilisée pour ce patient a été fournie par le laboratoire Spara \fg.
\end{description}
}
\medskip
\begin{enumerate}
\item   L’arbre des probabilités décrivant la situation est complété sur \textbf{l’annexe 1}.
\item Dans cette question, on s’intéresse à la seringue utilisée pour le patient choisi.
\begin{enumerate}
\item  La probabilité de l’évènement \og le patient choisi a subi une prise de sang dans
le service diabétologie avec une seringue fournie par le laboratoire Spara \fg est noté $p(D\cap S)$.

$p(D\cap S)=p(D)\times p_{D}(S)=\np{0.2}\times \np{0.8}=\np{0.16}$.
\item Calculons la probabilité de l’évènement S.

$p(S)=p(H)\times p_{H}(S)+p(D)\times p_{D}(S)+p(U)\times p_{U}(S)$.

$p(S)=\np{0.5}\times \np{0.44}+\np{0.2}\times \np{0.8}+\np{0.3}\times \np{0.5}=\np{0.22}+\np{0.16}+\np{.15}=\np{.53}$.

\item La probabilité que la seringue utilisée provienne du service diabétologie sachant
qu’elle a été fournie par le laboratoire Spara est notée $p_{S}(D)$.

$p_{S}(D)=\dfrac{p(S\cap D)}{p(S)}=\dfrac{\np{0.16}}{\np{0.53}}\approx \np{0.302}$
\item Un personnel soignant affirme : \og Il est plus probable que la seringue utilisée provienne
du laboratoire Clamex que du laboratoire Spara. \fg

Sachant qu'il n'y a que deux fournisseurs, les événements $S$ et $C$ sont incompatibles, donc $p(S)$ étant strictement supérieure à $\np{0.5}$, nous avons nécessairement $p(C)<\np{0.5}$, par conséquent cette affirmation est fausse.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 7 points}

\medskip
{\footnotesize
Le laboratoire pharmaceutique Clamex fabrique et commercialise un vaccin contre la rougeole. Sa
capacité de production, sur une semaine, lui permet de réaliser entre 0 et 17 litres de ce produit.

On note $x$ le volume de production exprimé en litres.

On note $B(x)$ le bénéfice hebdomadaire (en euros) réalisé par le laboratoire pour la vente du volume
$x$ de vaccin.

La courbe représentative de la fonction $B$ définie sur l’intervalle $[0~;~17]$ est donnée en \textbf{annexe 1}.
}
\medskip

\textbf{Partie A : Lecture graphique}

\medskip
{\footnotesize
Les résultats aux questions posées dans cette partie seront donnés en s’aidant du graphique de
l’\textbf{annexe 1}, avec la précision que permet la lecture graphique et en faisant apparaître les traits de
construction utiles.
}
\begin{enumerate}
\item Pour déterminer les volumes hebdomadaires vendus pour lesquels le bénéfice hebdomadaire est égal
à 400~euros, nous lisons les abscisses des points de la courbe d'ordonnée 400.

 Avec la précision permise par le graphique, nous obtenons \np{3.2} ou \np{15.4}.

Pour une fabrication de \np[\ell]{3.2} ou de \np[\ell]{15.4}, le laboratoire réalise un bénéfice de 400~\euro.
\item  Pour déterminer les volumes hebdomadaires vendus, pour lesquels le laboratoire Clamex est bénéficiaire,  nous lisons l'intervalle sur lequel la courbe est située  au-dessus de l'axe des abscisses. Les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses sont  $\alpha\approx 1$ et $\beta \approx \np{16.3}$.

 Le laboratoire réalise un bénéfice lorsqu'il vend une production appartenant à l'intervalle $[\alpha~;~\beta].$
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B : étude du bénéfice hebdomadaire}
\medskip
{\footnotesize

On admet que la courbe donnée en \textbf{annexe 1} est la représentation graphique de la fonction $B$
définie sur l'intervalle $[0~;~17]$ par  \[B(x) = -x^3 + 6x^2 + 180x - 184.\]

On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$.
}
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0~;~17]$, $B'(x)=-(3x^2)+6(2x)+180=$

$-3x^2+12x+180 $.
\item Montrons que $B'(x) = (-3x + 30)(x + 6)$ pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0~;~17]$

Pour ce faire, développons $(-3x+30)(x+6)$.

$(-3x+30)(x+6)=-3x^2-18x+30x+180=-3x^2+12x+180=B'(x)$.
\item Étudions le signe de $B'(x)$ sur l’intervalle $[0~;~17]$.

Pour tout $x\in[0~;~17],\  x+6>0$. Par conséquent le signe de $B'(x)$ est celui  de $ -3x+30$.

Sur $\R,\  -3x+30>0$ est équivalent à $x<10$. Il en résulte :

si $x\in[0~;~10[, \ B'(x)>0$  et si $ x\in ]10~;~17],\ B'(x)<0$.

\item Dressons le tableau de variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0~;~17]$.

Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 

Pour $x\in ]10~;17],\ B'(x)<0$, par conséquent $B$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. 

Pour $x \in[0~;~10[,\ B'(x)>0$ par conséquent $B$ est strictement croissante sur cet intervalle.

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$10$}    \uput[u](7.73,2.45){$17$}
\uput[u](0.5,1.9){$B^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){\scriptsize de $B$}
 \uput[d](1.439,0.45){$-\np{184}$}\uput[d](7.52,0.45){$-\np{303}$}
\psline{->}(1.75,0.5)(4,1.55)\psline{->}(5,1.55)(7.3,0.45)
\uput[u](4.5,1.55){$\np{1216}$}
\end{pspicture}

\end{center}
%On fera apparaître les valeurs de la fonction $B$ aux bornes de l’intervalle.
\end{enumerate}
\item Déterminons le volume hebdomadaire vendu pour obtenir un bénéfice maximal.

La fonction $B$ étant strictement croissante sur [0~;~10[ et strictement décroissante sur ]10~;~17], admet donc en 10 un maximum égal à \np{1214}\,\euro.
 %et calculer la valeur de ce bénéfice, en euros.
 
 Le volume hebdomadaire vendu pour obtenir un bénéfice maximal est de dix litres. Le bénéfice sera alors de \np{1214} euros. 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill(7 points)}

\medskip

\begin{itemize}
\item [$\bullet$] La chirurgie ambulatoire concerne les actes chirurgicaux dont la prise en charge hospitalière n’excède pas douze heures.
\item [$\bullet$] La chirurgie non ambulatoire concerne les actes chirurgicaux dont la prise en charge hospitalière excède douze heures.
\end{itemize}

Le tableau suivant donne le nombre de séjours en \og chirurgie ambulatoire \fg et en \og chirurgie non ambulatoire \fg{} 
en France entre l’année 2007 et l’année 2013.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}m{3.cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}
\hline
\centering Année&2007	&2008	&2009	&2010	&2011		&2012	&2013\\\hline
Rang de l’année &0		&1 		&2		&3 		&4			&5		&6\\\hline
Nombre de séjours
en chirurgie ambulatoire
				&\np{1598504}&\np{1672704}&\np{1836437}&\np{1939863}&\np{2086490}	&\np{2138706}&\np{2304617}\\\hline
Nombre de séjours
en chirurgie non
ambulatoire		&\np{3349364}&\np{3299734}&\np{3235356} &\np{3194131} &\np{3198231}&\np{3103220}&\np{3092613}\\\hline
\multicolumn{8}{l}{\footnotesize \emph{Source : ATIH, Agence Technique de l’Information sur l’Hospitalisation }}
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculons l’augmentation, en pourcentage, du nombre de séjours en chirurgie ambulatoire entre
l’année 2007 et l’année 2013.
  
Le taux d'évolution $T$ est défini par $T=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$

$T=\dfrac{\np{2304617}-\np{1598504}}{\np{1598504}}\approx\np{0.4417}$. Le taux d'évolution global est de \np{44.17}\,\%.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons la part, en pourcentage, de la chirurgie ambulatoire dans l’activité totale de
chirurgie en 2013.

En 2013, l'activité totale de chirurgie est de \np{2304617}+\np{3092613} soit \np{5397230}.

 La part  de l'activité de chirurgie ambulatoire  dans l'activité totale de chirurgie  en 2013 est donc 

$\dfrac{\np{2304617}}{\np{5397230}}\approx \np{0.4270}$  c'est-à-dire de \np{42.70}\,\%.
		\item Dans un rapport de l’inspection générale des finances publié en 2014 et portant sur une
étude des actes chirurgicaux entre 2007 et 2013 on peut lire :

\og \emph{Depuis 2007, la part de l’ambulatoire dans l’activité totale de chirurgie a progressé de
plus de 10 points pour atteindre 42,7\,\% en 2013.} \fg

Pour justifier la progression \og de plus de 10 points \fg énoncée dans ce rapport à partir des
données du tableau ci-dessus, calculons cette part en 2007.

$\dfrac{\np{1598504}}{\np{1598504}+\np{3349364}}\approx \np{0.3231}$ c'est-à-dire environ \np{32.31}\,\%

Nous avons bien $\np{42.7}-\np{32.3}=\np{10.4}>10$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}


\begin{enumerate}
\item  Sur le graphique donné en \textbf{annexe 2}, on a commencé à représenter le nuage de points de
coordonnées $(x~;~y)$ où $x$ représente le rang de l’année et $y$ représente le nombre de séjours
en chirurgie ambulatoire.

 Le graphique a été complété par les points manquants.
\item On admet que la droite $\mathcal{D}$ d’équation $y = \np{117 871}x + \np{1 586 000}$ réalise un ajustement affine
de ce nuage de points.
	\begin{enumerate}
		\item   La droite $\mathcal{D}$ est tracée sur le graphique de l’\textbf{annexe 2}.
		\item En supposant que cet ajustement affine soit fiable jusqu’en 2020, déterminons l’année à
partir de laquelle le nombre de séjours en chirurgie ambulatoire sera supérieur à \np{2 500 000}.
\begin{description}
\item[Graphiquement,] nous traçons la droite d'équation $y=\np{2500000}$. Nous prenons le plus petit entier  supérieur à l'abscisse du point d'intersection de cette droite avec $\mathcal{D}$.

 Le rang de l'année est donc 8 ce qui correspond à 2015.
\item [Par le calcul,]résolvons l'inéquation $\np{117 871}x + \np{1 586 000}>\np{2500000}$
\begin{align*}
\np{117 871}x + \np{1 586 000}	&>\np{2500000}\\
\np{117 871}x  					&>\np{2500000}-\np{1 586 000}\\
\np{117 871}x  					&>\np{914000}\\
x  								&>\dfrac{\np{914000}}{\np{117 871}}\\
\end{align*}

or $\dfrac{\np{914000}}{\np{117 871}}\approx \np{7.754}$. Il en résulte que le rang de l'année est 8.

D'après ce modèle, en 2015  le nombre de séjours en chirurgie ambulatoire sera supérieur à \np{2 500 000}.
\end{description}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C :}

\medskip
Le nuage de points de coordonnées $(x~;~y)$ où $x$ représente le rang de l’année et $y$ le nombre de séjours en chirurgie non ambulatoire a été ajusté par la droite $\Delta$ d’équation $y = -\np{42 872}x + \np{3339000}$.

Ce nuage de points ainsi que la droite $\Delta$ sont représentés sur le graphique de l’\textbf{annexe 2}.

On suppose dans cette partie que les ajustements affines des deux nuages de points précédents sont
fiables jusqu’en 2020.

\begin{enumerate}
\item  On peut lire dans le rapport de l’inspection générale des finances publié en 2014 :

\emph{\og Malgré des résultats encourageants, la tendance de progression n’est pas suffisante pour
atteindre l’objectif d’une pratique ambulatoire majoritaire à l’horizon 2016. \fg}

%Justifier cette prévision de l’inspection générale des finances.
En 2016, le rang de l'année est 9, nous pouvons constater sur le graphique que l'ordonnée du point de $\Delta$ est supérieure à celle du point de $\mathcal{D}$, ce que nous pouvons vérifier par le calcul :

l'ordonnée du point de $\mathcal{D}$ est $y= \np{117 871}\times 9 + \np{1 586 000}=\np{2646839}$.

l'ordonnée du point de $\Delta$ est $y= -\np{42872}\times 9 + \np{3339 000}=\np{2953152}$.

Par conséquent, la prévision de l'inspection générale des finances est correcte.

\item Déterminons à partir de quelle année, le nombre de séjours en chirurgie ambulatoire sera plus important
que celui en chirurgie non ambulatoire. Résolvons $\np{117 871}x + \np{1 586 000}-\np{42 872}x + \np{3 339 000}$
\begin{align*}
\np{117 871}x + \np{1 586 000}&>-\np{42 872}x + \np{3 339 000}\\
\np{117 871}x+\np{42 872}x &> \np{3 339 000}-\np{1 586 000}\\
\np{160743}x& > \np{1753 000}\\
x &> \dfrac{\np{1753 000}}{\np{160743}}
\end{align*}

Or $\dfrac{\np{1753 000}}{\np{160743}}\approx \np{10.91}$. Le rang de l'année est donc 11.
\end{enumerate}
D'après ce modèle, en 2018  le nombre de séjours en chirurgie ambulatoire sera supérieur   au nombre de séjours en chirurgie non ambulatoire.

\emph{Remarque \footnotesize Nous pouvons constater ceci en utilisant le graphique. Les droites de régression se coupent en un point d'abscisse comprise entre 10 et 11.} 
\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1}

\textbf{à rendre avec la copie}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\vspace{0.25cm}


\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$H$~}\taput{0,5}}
	  { 
		  \TR{$C$}\taput{0,56}
		  \TR{$S$}\tbput{0,44}	   
	  }
	\pstree{\TR{$D$~}\tbput{0,2}}
	  {
		  \TR{$C$}\taput{\np{0.2}}
		  \TR{$S$}\tbput{\np{0.8}}
	  }
	\pstree{\TR{$U$~}\tbput{\np{0.3}}}
	  {
		  \TR{$C$}\taput{\np{0.5}}
		  \TR{$S$}\tbput{\np{0.5}}
	  }	
}
\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\end{center}
\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.0075cm}
\begin{pspicture}(-.05,-300)(18.5,1350)
\multido{\n=0+1}{18}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=orange](\n,-300)(\n,1300)}
\multido{\n=0+0.1}{170}{\psline[linewidth=0.05pt,linecolor=orange](\n,-300)(\n,1300)}
 \multido{\n=-300+100}{17}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=orange](0,\n)(17,\n)}
 \multido{\n=-300+10}{160}{\psline[linewidth=0.05pt,linecolor=orange](0,\n)(17,\n)}
 \psaxes[linewidth=1.05pt,Dy=100]{->}(0,0)(-0.5,-300)(16.8,1350)
 \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{17}{x 3 exp neg x x mul 6 mul add x 180 mul add 184 sub}
  \uput[ur](0,1300){\scriptsize Bénéfice en euros}
  \uput[u](16.5,25){\scriptsize volume $x$}
\uput[u](16.5,0){\scriptsize  en litres}
\psset{arrowscale=2}
\def\Func{x 3 exp neg x x mul 6 mul add x 180 mul add 184 sub}
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 15.27917 def \Func)(!15.27917 /x 15.27917 def \Func)(15.27917,0)
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 3.0901 def \Func)(!3.0901 /x 3.0901 def \Func)(3.0901,0)
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{->}(16.331675,-100)(16.331675,0)
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{->}(0.99471,-100)(0.99471,0)
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=red]{<->}(16.331675,-90)(0.99471,-90)
\uput[d](8.5,-90){\footnotesize \red{intervalle sur lequel l'entreprise réalise un bénéfice}}
\end{pspicture}

\newpage 

\begin{center}
\textbf{Annexe 2}

\textbf{à rendre avec la copie}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
\textbf{\textsc{Exercice 3}}
\end{center}
\vspace{0.5cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.00005cm,labelFontSize=\scriptscriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(11.5,400000)
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,390000)}
\multido{\n=0+10000}{40}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(11,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=x,Dy=10000]{->}(0,0)(-0.1,-1000)(11.5,400000)
\multido{\n=0+50000,\na=0+500000}{8}{\uput[l](0,\n){\scriptsize \na}}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{11}{x 4287.2 neg mul 333900 add}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=blue](0,334936.4)(1,329973.4)(2,323535.6)(3,319413.1)(4,319823.1)(5,310323)(6,309261.3)
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=blue](0,159859.4)(1,167270.4)(2,183643.7)%(3,193986.3)(4,208649)(5,213870.6)(6,230461.7)
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=cyan](3,193986.3)(4,208649)(5,213870.6)(6,230461.7)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{11}{x 11787.1 mul 158600 add}
\psline[linecolor=red,linewidth=0.75pt](0,250000)(10,250000)
\uput[r](6.35,310000){$\Delta$}\uput[d](6.35,230000){$\mathcal{D}$}
\uput[ur](0,400000){\footnotesize Nombre de séjours}
\uput[d](11,-10000){\footnotesize Rang de l'année}
\end{pspicture}
\end{document}