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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\makeatletter
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STG Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise,\\ gestion des systèmes d'information}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG Mercatique ~\decofourright\\Nouvelle-Calédonie novembre 2010}} 

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%\emph{Pour chacune des questions de ce QCM une seule des quatre propositions est exacte.\\ 
%Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ 
%Une réponse exacte vaut $1$ point. Une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.\\ 
%Si le total des points est négatif la note de l'exercice est ramenée à $0$}.
%
%\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item %La valeur d'une imprimante achetée 850~\euro{} se déprécie de 20\,\% par an.
 
%Quelle est sa valeur après trois ans ?
On retranche 20\,\% chaque année, c'est-\`a-dire que l'on multiplie par 0,80.

Au bout de trois ans la valeur sera :

$850 \times 0,8^3 = 435,20$~(\euro)
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X}|}\hline 
%\textbf{a.~~} 340~\euro&\textbf{b.~~} 435,20~\euro	&\textbf{c.~~} 544~\euro & 	\textbf{d.~~} 498,85~\euro\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\item %Les dépenses du service Communication d'une entreprise sont passées de \np{2000}~\euro{} en 2005 à \np{6800}~\euro{} en 2008. 
	\begin{enumerate}
		\item[\textbf{2. 1.}] %Le pourcentage d'augmentation est :
Pourcentage d'augmentation : $\dfrac{ \np{6800} - \np{2000}}{\np{2000}}\times 100 = \dfrac{\np{4800}}{\np{2000}}\times 100 = 240$(\,\%).		
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X}|}\hline		 
%\textbf{a.~~} 3,4\,\% &
%\textbf{b.~~} 340\,\%& 
%\textbf{c.~~} 240\,\%&
%\textbf{d.~~} 48\,\%\\ \hline
%\end{tabularx}

\medskip
 
		\item[\textbf{2. 2.}]  %La meilleure approximation du taux d'évolution annuel moyen est
		
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X}|}\hline		 
%\textbf{a.~~} 60\,\%& 
%\textbf{b.~~} 80\,\% &
%\textbf{c.~~} 62,45\,\% &
%\textbf{d.~~} 50,37\,\%\\ \hline
%\end{tabularx}
Si $t$ est ce taux on a :

$(1 + t)^3 = 1 + 2,4 \iff (1 + t)^3 = 3,4 \iff 1 + t = 3,4^{1/3} \iff t = 3,4^{1/3} - 1 \approx 0,503695$ soit environ 50,37\,\%
\medskip
	\end{enumerate}
\item %Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

%\[f(x) = 3x^2 + \text{e}^{4x+3}.\]
 
%Sa fonction dérivée est définie par : $f'(x) =$

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X}|}\hline		 
%\textbf{a.~~} $6 + \text{e}^4$&
%\textbf{b.~~} $6x + 4\text{e}^{4x+3}$&
%\textbf{c.~~} $6 + 4\text{e}^{4x+3}$&
%\textbf{d.~~} $\text{e}^{4x+3}$\\ \hline
%\end{tabularx}
On a $f'(x) = 2 \times 3x + 4\text{e}^{4x+3} = 6x + 4\text{e}^{4x+3}$.
\medskip
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

%Le service Communication vous remet le bilan des visites par les internautes du site de l'entreprise pour une année.
%
%\bigskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Mois 		&Rang du mois : $x_{i}$& Nombre de visites : $y_{i}$\\ \hline 
%janvier	& 1	& 130\\ \hline 
%février	& 2 & 150\\ \hline 
%mars		& 3	& 160\\ \hline 
%avril		& 4	& 170\\ \hline 
%mai		& 5	& 190\\ \hline 
%juin		& 6	& 200\\ \hline 
%juillet	& 7	& 220\\ \hline 
%août		& 8	& 230\\ \hline 
%septembre	& 9	& 250 \\ \hline
%octobre	& 10& 250\\ \hline 
%novembre	& 11& 270\\ \hline 
%décembre	& 12& 300\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On considère la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ donnée par le tableau ci-dessus.
 
%Représenter graphiquement le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal sur une feuille de papier millimétré à rendre avec la copie.
 
%On prendra pour unités graphiques :
%
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item[ ] 1 cm pour un mois en abscisse, 
%\item[ ] 1 cm pour 10 visites en ordonnée. 
%\item[ ] L'axe des ordonnées sera gradué à partir de 100.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\item %Calculer les coordonnées du point moyen G.
On a G(6,5~;~210) 
%Placer le point G dans le repère précédent. 
Voir plus bas.
\item %À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite $\mathcal{D}$ d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au dixième.
La calculatrice donne comme équation :

$y = 14,4x + 116,4$.
%Tracer la droite $\mathcal{D}$ dans le repère précédent.
Voir plus bas.
\item %En supposant que le modèle précédent reste valide l'année suivante, donner par le calcul le mois au cours duquel le nombre de visiteurs dépasse 350.
Il faut résoudre l'inéquation :

$14,4x + 116,4 > 350 \iff 14,4x > 233,6 \iff x > \dfrac{233,6}{14,4}$

Or $\dfrac{233,6}{14,4} \approx 16,2$, donc il faudra attendre le 17\up{e}  mois soit le mois de mai de l'année suivante>.
\end{enumerate} 

\medskip
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(12,210)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=100,Dy=10]{->}(0,0)(12,210)
\psdots(1,30)(2,50)(3,60)(4,70)(5,90)(6,100)(7,120)(8,130)(9,150)(10,150)(11,170)(12,200)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](6.5,110)\uput[dr](6.5,110){G}
\psplot[linecolor=blue]{0}{12}{14.4 x mul 16.4 add}\uput[r](11.5,180){$\mathcal{D}$}
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,210)}
\multido{\n=0+10}{22}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

%Face à la menace d'une épidémie frappant les troupeaux de bovins, les services sanitaires décident d'organiser une vaccination de masse.
%
%\medskip
% 
%40\,\% des animaux ont été vaccinés.
% 
%Les experts considèrent que 30\,\% des animaux non vaccines contracteront la maladie tandis que 1\,\% des animaux vaccinés contracteront quand même la maladie. 
%
%\medskip
%
%On note V l'évènement \og l'animal a été vacciné \fg{} et M l'évènement \og l'animal a contracté la maladie \fg.
% 
%On note $\overline{\text{V}}$ et $\overline{\text{M}}$ les évènements contraires respectifs de V et M.
%
%\medskip
 
%\emph{Les probabilités seront, si nécessaire, arrondies au millième.}
%
%\medskip
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Réaliser un arbre illustrant les données de cet énoncé.
\begin{center}\psset{nodesep=1ex}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{V}\taput{0,40}}
	  { 
		  \TR{E}\taput{0,01}
		  \TR{F}\tbput{0,99}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{\text{V}}$}\tbput{0,60}}
	  {
		  \TR{E}\taput{0,30}
		  \TR{F}\tbput{0,70}	  
	  }	
}
\end{center}
\medskip
 
%Quelle est la probabilité P(V) de l'évènement V ?
P(V) = 0,4. 
%Quelle est la probabilité $\text{P}_{\text{V}}(\text{M})$ de l'évènement M, sachant V ?
$\text{P}_{\text{V}}(\text{M}) = 0,01$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer par une phrase l'évènement V $~\cap~$ M . Calculer sa probabilité.
V $~\cap~$ M désigne l'évènement : \og l'animal a été vacciné et malade.

P(V $~\cap~$ M) $= 0,4 \times 0,01 = 0,004$.
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement \og l'animal n'a pas été vacciné et a contracté la maladie \fg.
$\text{P}\left(\overline{\text{V}} \cap \text{M}\right) = 0,6 \times 0,3 = 0,18$.
		\item %En déduire la probabilité P(M) de l'évènement M.
		On a $\text{P}(\text{M}) = \text{P}(\text{V} \cap \text{M}) +  \text{P}\left(\overline{\text{V}} \cap \text{M}\right) = 0,004 + 0,18 = 0,184$.
	\end{enumerate} 
\item %La vache B a contracté la maladie.
 
%Quelle est la probabilité qu'elle ait été vaccinée ?
Il faut calculer : 

$\text{P}_{\text{M}}(\text{V}) = \dfrac{\text{P}(\text{M} \cap \text{V}}{\text{P}(\text{M})} = \dfrac{0,004}{0,184}\approx \np{0,0217}$ soit au millième 0,022.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points}

\medskip

%Une entreprise fabrique $x$ tonnes d'un certain produit, $0 \leqslant  x \leqslant 12$.
% 
%Le bénéfice, exprimé en milliers d'euros, pour produire $x$ tonnes est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~12] par 
%
%\[f(x) = 0,5 x^2 - 13x - 60 + 55 \ln (x + 3).\]

\begin{center} 
\textbf{Partie A : étude d'une fonction} \end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %$f'$ désigne la dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$. Vérifier que $f'(x)= \dfrac{(x - 2)(x - 8)}{(x + 3)}$.
$f$ est dérivable sur $\R$, donc sur [1~ ;~12] et sur cet intervalle :

$f'(x) = 2 \times 0,5x - 13 + \dfrac{55}{x + 3} = x - 13 +  \dfrac{55}{x + 3} = \dfrac{(x - 13)(x + 3) + 55}{x + 3}= \dfrac{x^2 +3x - 13x - 39 + 55}{x + 3} = \dfrac{x^2 - 10x + 16}{x + 3}$.

Or $x - 2)(x - 8) = x^2 - 2x - 8x + 16 = x^2 - 10x + 16$.

Donc $f'(x) = \dfrac{(x - 2)(x - 8)}{(x + 3)}$.
\item %Étudier, à l'aide d'un tableau, le signe de $f'(x)$ dans l'intervalle [0~;~12].
Comme $x \geqslant 1,~x + 3 \geqslant 4 > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de son numérateur que l'on trouve en faisant un tableau de signes :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(11,2)
\psframe(11,2)\psline(0,1)(11,1)\psline(0,1.5)(11,1.5)\psline(0,0.5)(11,0.5)\psline(2,0)(2,2)
\uput[u](1,1.5){$x$} \uput[u](2.1,1.5){$1$} \uput[u](5,1.5){$2$} \uput[u](8,1.5){$8$} \uput[u](10.8,1.5){$15$}
\rput(1,1.25){$x - 2$}\rput(3.5,1.25){$-$}\rput(5,1.25){$0$}\rput(6.5,1.25){$+$} \rput(9.5,1.25){$+$}  
\rput(1,0.75){$x - 8$} \rput(3.5,0.75){$-$}\rput(6.5,0.75){$-$}\rput(8,0.75){$0$}\rput(9.5,0.75){$+$}
\rput(1,0.25){$f'(x)$} \rput(3.5,0.25){$+$}\rput(5,0.25){$0$}\rput(6.5,0.25){$-$}\rput(8,0.25){$0$} \rput(9.5,0.25){$+$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %En déduire le tableau de variations de $f$ dans l'intervalle [0~;~12].
Le signe de la dérivée donne les variations de $f$ :

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(11,2)
\psframe(11,2)\psline(0,1)(11,1)\psline(0,1.5)(11,1.5)\psline(2,0)(2,2)
\uput[u](1,1.5){$x$} \uput[u](2.1,1.5){$1$} \uput[u](5,1.5){$2$} \uput[u](8,1.5){$8$} \uput[u](10.8,1.5){$15$}
\rput(1,1.25){$f'(x)$}\rput(3.5,1.25){$3,$}\rput(5,1.25){$0$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,0.75)\psline{->}(5.5,0.75)(7.5,0.5)\psline{->}(8.5,0.5)(10.,0.75)
\rput(1,0.5){$f(x)$}
\uput[u](2.35,0){$\approx 3,75$}\uput[d](5,1){$\approx 4,52$}\uput[u](8,0){$\approx - 0,12$} \uput[d](10.5,1){$\approx 16,47$} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\end{enumerate}

\bigskip
 
\begin{center} 
\textbf{Partie B : application économique}
\end{center}

%À l'aide d'une feuille automatisée de calcul dont un extrait est donné en annexe, on a créé un tableau de valeurs de la fonction $f$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Expliquer comment remplir toutes les cellules de la colonne A sans avoir à saisir toutes les valeurs de la colonne.
On saisit dans la cellule A3 la formule : \fbox{~=A2+0,5~} et l'on recopie vers le bas cette formule. 
\item %Donner une formule à recopier vers le bas et à saisir dans la cellule B2 pour obtenir les valeurs de la colonne B.
Formule : \fbox{~=0,5*A2$\widehat{}$2-13*A2-60+55*$\ln$(A2)~} 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
%En s'appuyant sur le tableau fourni en annexe et sur l'usage de la calculatrice, que peut-on affirmer au sujet des productions pour lesquelles l'entreprise est déficitaire? 
Il y a perte d'après le tableau pour une production entre 7,5 et 8,5 tonnes. Si la modélisation est bonne il faut donc éviter de produire dans ce créneau [7,5~ ;~8,5].
\end{enumerate}

%\newpage
%
%\begin{center} \textbf{Annexe de l'exercice 4}
%
%\vspace{1cm}
%
%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B\\ \hline
%1	&$x$	&$f(x)$\\ \hline
%2	&0		&0,42\\ \hline
%3	&0,5	&2,53\\ \hline
%4	&1		&3,75\\ \hline
%4	&1,5	&4,35\\ \hline
%6	&2		&4,52\\ \hline
%7	&2,5	&4,39\\ \hline
%8	&3		&4,05\\ \hline
%9	&3,5	&3,57\\ \hline
%10	&4		&3,03\\ \hline
%11	&4,5	&2,44\\ \hline
%12	&5		&1,87\\ \hline
%13	&5,5	&1,33\\ \hline
%14	&6		&0,85\\ \hline
%15	&6,5	&0,45\\ \hline
%16	&7		&0,14\\ \hline
%17	&7,5	&$- 0,05$\\ \hline
%18	&8		&$- 0,12$\\ \hline
%19	&8,5	&$- 0,05$\\ \hline
%20	&9		&0,17\\ \hline
%21	&9,5	&0,54\\ \hline
%22	&10		&1,07\\ \hline
%23	&10,5	&1,77\\ \hline
%24	&11		&2,65\\ \hline
%25	&11,5	&3,70\\ \hline
%26	&12		&4,94\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center} 
\end{document}