\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STG},
pdftitle = {Mercatique Pondichéry juin 2007},
allbordercolors = white}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STG Mercatique}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{12 avril 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG Mercatique ~\decofourright\\Pondichéry 12 avril 2007}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
%\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
%
%\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire a choix multiples (QCM).}
%
%\emph{Pour chaque question, trois réponses sont proposées. Une seule des réponses proposées est exacte.}
% 
%\emph{Une bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n 'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est $0$.}
% 
%Vous reporterez sur votre copie la réponse correcte. Aucune justification n'est demandée.
 
\begin{enumerate}
\item %Le nombre $-3$ est solution de l'équation
Le nombre $-3$ est solution de l'équation $\ln \left(\text{e}^x\right) = - 3$.
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%$\bullet~~\ln x =  - \ln 3$ ;&	$\bullet~~ \ln \left(\text{e}^x\right) = -3$ 	;&	$\bullet~~\text{e}^{\ln x} = 	-3$\\
%\end{tabularx}
\item  %Soit $f$ la fonction dérivable sur $\R$ définie par : $f(x) = (2x + 3)\text{e}^{-x}$.\\
%Sa fonction dérivée $f'$ est donnée par :
$f'(x) = 2\text{e}^{- x} + (2x + 3)\times (- 1)\text{e}^{- x} = \text{e}^{- x}(2 - 2x - 3) = (- 2x - 1)\text{e}^{- x}$.
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%$\bullet~~ f'(x)= 2\text{e}^{-x}$ ;&	$\bullet~~ f'(x) = (-2x-3)\text{e}^{-x}$ ;& $\bullet~~	f'(x)=(-2x-1)\text{e}^{-x}$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
\item 	%La population d'une commune est passée de \np{3000} à \np{6000} habitants en 20 ans. Le taux d'évolution annuel moyen (à 0,01\:\% près) a été de :
Si $t$ est ce taux, on a $\np{3000}(1 + t)^{20} = \np{6000}$ soit $(1 + t)^{20} = 2$ et ensuite : 

$1 + t = 2^{\frac{1}{20}} \approx \np{1,03526}$.

Donc au centième près ce taux moyen est 3,53\,\%. 
%\medskip
 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%$\bullet~~$ 5\:\%; &	$\bullet~~$  3,72\:\% ;&$\bullet~~$ 3,53\:\%.\\
%\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
 
%Dans un club de vacances, deux activités A et B sont proposées aux enfants entre 8 et 10 ans. Les enfants peuvent cumuler les deux activités, choisir une seule de ces deux activités, ou encore ne pratiquer aucune de ces deux activités. On choisit au hasard le nom d'un enfant de cet âge. Tous les enfants ont la même probabilité d'être choisis.
%
%On notera $\mathcal{A}$ l'évènement : \og l'enfant pratique l'activité A \fg{} et $\overline{\mathcal{A}}$ l'évènement contraire de $\mathcal{A}$, 
%$\mathcal{B}$ l'évènement :  \og l'enfant pratique l'activité B \fg{}  et $\overline{\mathcal{B}}$ l'évènement contraire de $\mathcal{B}$.
%
%La situation est représentée à l'aide d'un arbre pondéré donné en annexe I.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Compléter l'arbre et le tableau fournis en annexe 1.
Voir l'annexe 1 à la fin.
\item %Par lecture de l'arbre, donner les probabilités conditionnelles $p_{\mathcal{A}}(\mathcal{B})$ et $p_{\overline{\mathcal{A}}} (\mathcal{B})$.
$p_{\mathcal{A}}(\mathcal{B}) = 0,3$ et $p_{\overline{\mathcal{A}}} (\mathcal{B}) = 0,1$.
\item Démontrer que $p(\mathcal{B}) =  0,22$.
\item %On définit les évènements $E$ et $F$ de la façon suivante :

%$E$ : \og l'enfant choisi ne pratique aucune des deux activités \fg{} ;
%
%$F$ : \og l'enfant choisi pratique au moins l'une des activités \fg.
	\begin{enumerate}
		\item  %Exprimer $E$ en fonction de $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ puis, en s'appuyant sur les résultats contenus dans le tableau du 1, déterminer $p(E)$.
$E = \mathcal{A} \cap \mathcal{B}$. Donc $p(E) = 0,18$.
		\item  %Calculer $p(F)$.
		On a $F = \mathcal{A} \cap \mathcal{\overline{B}} \cup \mathcal{\overline{A}} \cap \mathcal{B}$ ; donc $p(F) = 0,42 + 0,04 = 0,46$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip
 
%On se propose dans cet exercice, d'étudier l'évolution de la consommation d'eau minérale  des Français depuis 1970.
%
%\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%La feuille de calcul suivante, extraite d'un tableur, donne la consommation moyenne d'eau minérale en en litres par Français sur une année
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%		&A 		&B		&C \\ \hline
%1		& Année	&consommation (en l) arrondie au litre près&Taux d'évolution décennal exprimé en pourcentage à 0,1\\ \hline
%2		&1970	&40 	& \\ \hline
%3		&1980 	&55		&37,5\\ \hline
%4		&1990	&90		&63,6 \\ \hline
%5		&2000	&149	&65,6\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Que signifie le nombre 37,5 obtenu dans la case C3 ? 
Cela signifie que sur la décennie 1970-1980 la consommation a été multipliée par 1,375. En effet $\dfrac{55}{40} = 1,375$.		
%\emph{On attend une explication en français et  la justification de ce nombre à l'aide d'un calcul.} 
		\item  %Quelle formule faut-il écrire dans la case C3 pour compléter la colonne C en recopiant cette formule vers le bas ?
=(B3/B2-1)*100
 	\end{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le taux d'évolution global de la consommation d'eau minérale entre les armées 1970 et 2000.
De 1970 à 2000 : $\dfrac{149}{40}\times 100  = 3,725 \times 100 = 372,5$. 
		\item %En déduire que le taux d'évolution décennal moyen entre les années 1970 et 2000 est de 55\:\% (à 1\:\% près).
		Si $d$ est le taux d'évolution décennal,on doit avoir :
		
		$(1 + d)^3 = 3,725$, d'où $1 + d =  3,725^{\frac{1}{3}} \approx \np{1,55016}$ soit $d \approx 0,551$ ou enfin à 1\,\% près 55\,\%.
		\item %Si l'on fait l'hypothèse que la consommation d'eau minérale continue à évoluer en suivant le taux décennal de 55\:\% au delà de l'an 2000, quelle consommation, à un litre près, peut-on prévoir pour l'année 2010 puis pour l'année 2040 ?
Avec la même évolution sur les 40 années suivantes :

$\bullet~~$en 2010 : $149 \times 1,55 = 230,95 \approx 231~(\ell)$ ;

$\bullet~~$en 2040 : $149 \times 1,55^4 = 860,029 \approx 860~(\ell)$ ;
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Le tableau suivant donne l'évolution de cette consommation, en litre par personne entre 1995 et 2004. Le nuage de points correspondant est donné en annexe 2. Le but est de rechercher un ajustement affine de ce nuage de points.
% 
%\vspace{0,25cm}
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline
%Année					&1995&1996&1997&1998&1999&2000&2001&2002&2003&2004\\ \hline
%Rang $x_{i}$ de l'année &0	 &1	  &2   &3   &4	 &5	  &6   &7   &8	 &9\\ \hline
%Consommation $y_{i}$ (en litres)&117&115&122&134&142&149&152&150&168&169\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\vspace{0,25cm}
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées du point moyen G de cette série et placer ce point sur le graphique.
G(4,5~;~141,8)
\item %Déterminer, à l'aide de la calculatrice, par la méthode des moindres carrés, une équation la droite ($\Delta$) d'ajustement affine de $y$ en $x$ sous la forme 

%$y = ax + b$   où $a$ et $b$ seront arrondis à $0,1$ près.
La calculatrice livre $y = 6,3x + 113,4$.
\item  %Tracer la droite ($\Delta$) sur le graphique de l'annexe 2.
Voir l'annexe.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de l'équation précédente, estimer la consommation d'eau minérale par Français en	2010 (arrondie au litre près).
		2010 correspond au rang $x = 15$, d'où $y = 6,3\times 15 + 113,4 = 207,9\approx 208$.
		\item  %Retrouver graphiquement le résultat précédent.
Voir le graphique  ; on lit effectivement $y \approx 208$.
		\item  %Le résultat obtenu en 4 a  est différent du résultat obtenu dans la partie A  question 2.
		
%Pouvait-on s'y attendre ?
Oui dans la question 4. on a envisagé une progression assez forte de 55\,\% par décennie, donc la prévision était supérieure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip
 
%On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2~;~2]$.
%
%\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%La figure ci-dessous donne une partie de la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal du plan, ainsi que la droite D, tangente à la courbe au point d'abscisse $0$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[-2~;~2]$.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=2cm}
%\begin{pspicture}(-2.2,-2.2)(2.2,3.2) 
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-2,-2)(2,3)
%\psline(-2,1)(1,-2)
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=4000]{-2}{1.33}{2.71828 x 2 mul exp 2 div x 2 mul sub 1.5 sub}
%\uput[d](1.9,0){$x$}\uput[l](0,2.9){$y$} \uput[dl](0,0){O} \uput[u](-1.8,0.8){D}\uput[r](1.3,2.2){$\mathcal{C}$}
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(2,3)
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item   %Par lecture graphique et sans donner de justification :
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $f(0)$.
On lit $f(0) = - 1$.
		\item %Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$. Aucune valeur approchée de la (ou des) solution(s) n'est demandée.
Il y a deux solutions à l'équation $f(x) = 0$.
		\item %Donner le nombre de solutions de l'équation $f'(x) = 0$. Aucune valeur approchée de la (ou des) solution(s) n'est demandée.
La dérivée s'annule quand la tangente à la courbe est horizontale : il y a une seule solution.
	\end{enumerate}
\item %Par lecture graphique et en justifiant votre réponse, déterminer $f'(0)$.
La droite D est tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ ; son coefficient directeur est égal à $\dfrac{- 1}{1} = - 1$ qui est le nombre dérivé $f'(0)$.
\item %L'une des trois courbes C$_{1}$, C$_{2}$, C$_{3}$ ci-après est la courbe de la fonction $f'$, fonction dérivée de la fonction $f$. En justifiant votre réponse, éliminer les deux courbes qui ne peuvent pas représenter $f'$.
On peut éliminer C$_{3}$ puisque la fonction s'annule deux fois et on a vu que $f'$ ne s'annulait qu'une fois.

On a vu aussi que $f'(0) = - 1$ ; or ceci n'est pas le cas pour la courbe C$_{1}$.

Conclusion : seule la courbe C$_{2}$ peut être la représentation de la fonction dérivée $f'$.
\end{enumerate}

%\begin{center}
%\psset{unit=1.5cm}
%\begin{pspicture}(-2,-1)(2,3)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-2,-1)(2,3)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2,-1)(2,2.5)
%\uput[d](1.9,0){$x$}\uput[l](0,2.4){$y$} \uput[dl](0,0){O} \uput[r](1,1.75){$\mathcal{C}_{1}$}
%\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-2,-0.3)(-1.5,-0.4)(-1,-0.47)(-0.5,-0.5)(0,-0.375)(0.5,0.25)(1,1.75)(1.125,2.5)
%\end{pspicture}
%
%\vspace{1cm}
%\psset{unit=1.5cm}
%\begin{pspicture}(-3,-2.5)(2,6.5)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-3,-2)(2,6)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-2.5)(2,6)
%\uput[d](1.9,0){$x$}\uput[l](0,5.9){$y$} \uput[dl](0,0){O} \uput[r](0.9,3){$\mathcal{C}_{2}$}
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-3}{1.04}{2.71828 x 2 mul exp 2 sub}
%\end{pspicture}
%
%\vspace{1cm}
%\psset{unit=1.5cm}
%\begin{pspicture}(-3,-2)(2,4.5)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-3,-2)(2,4)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-2)(2,4)
%\uput[d](1.9,0){$x$}\uput[l](0,3.9){$y$} \uput[dl](0,0){O} \uput[r](0.9,3){$\mathcal{C}_{3}$}
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-2}{1.04}{ x 2  exp 2.15 mul x 2.15 mul  add 1 sub}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}
 
%La fonction $f$ étudiée dans la première partie est définie sur $[-2~;~2]$ par :

\[f(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - 2x - 1,5\]

\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(0)$.
$f(0) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times 0} - 2 \times 0 - 1,5 = \dfrac{1}{2} - 1,5 = - 1$.
\item %On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$.
$f'(x) = \dfrac{1}{2}\times 2 \text{e}^{2x} - 2 = \text{e}^{2x} - 2$.		
		\item %Résoudre dans $[- 2~;~2]$, l'inéquation $\text{e}^{2x} - 2 \geqslant 0$.
$\text{e}^{2x} - 2 \geqslant 0$ si $\text{e}^{2x}  \geqslant 2$ d'où en prenant le logarithme néprien : $2x \geqslant \ln 2$ et enfin $x \geqslant \dfrac{\ln 2}{2}$
		\item %En déduire l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est croissante.
		On a en fait résolu dans la question précédente $f'(x) \geqslant 0$ ; donc la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[\dfrac{\ln 2}{2}~;~2 \right]$.
		
\emph{Rem.} On a ainsi trouvé le nombre $x$ tel que $f'(x) = 0$ ; c'est $\dfrac{\ln 2}{2} \approx 0,347$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1 (exercice 2)}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline
 	& probabilité du résultat\\ \hline
	~&~ \\
\multirow{4}{6cm}
{
	\pstree[treemode=R]{\Tdot}
	{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$\mathcal{A}$}\taput{$0,6$}}
		{
		\Tdot~[tnpos=r]{$\mathcal{B}$}\taput{$0,3$}
 		\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\mathcal{B}}$}\tbput{$0,7$}
 		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline{\mathcal{A}}$}\tbput{$0,4$}}
		{
		\Tdot~[tnpos=r]{$\mathcal{B}$}\taput{$0,1$}
 		\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\mathcal{B}}$}\tbput{$0,9$}
 		}
	}
} 
	&$p(\mathcal{A} \cap \mathcal{B}) = 0,18$\\
	&\\
	& $p(\mathcal{A} \cap \overline{\mathcal{B}}) = 0,42$\\
	&\\
	&$p(\overline{\mathcal{A}} \cap \mathcal{B}) = 0,04$\\
	&\\
	&$p(\overline{\mathcal{A}} \cap \overline{\mathcal{B}}) = 0,36$ \\ 
~	& ~\\\hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{ANNEXE 2 (exercice 3)}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(0,110)(25,220)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=10,Oy=110]{->}(0,110)(25,220)
\uput[d](22.5,105){rang $x_{i}$ de l'année}
\uput[r](0,215){en litre}\uput[l](0,220){$y$}
\multido{\n=0+1}{26}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,110)(\n,220)}
\multido{\n=110+5}{23}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(25,\n)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,117)(1,115)(2,122)(3,134)(4,142)(5,149)(6,152)(7,150)(8,168)(9,169)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=red](4.5,141.8)\uput[dr](4.5,141.8){\red G}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{17}{6.3 x mul 113.4 add}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](15,110)(15,207.9)(0,207,9)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}