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\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2002}}
\thispagestyle{empty}
\pagestyle{fancy}

\begin{center}{\Large \textbf{Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2002}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ Exercice 1} \hfill 5 points

\medskip

%Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d'une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges.
%
%On suppose que tous les tirages sont équiprobables.
%
%Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100~\euro~; si exactement deux boules tirées sont rouges, il gagne 15~\euro{} et si une seule est rouge il gagne 4~\euro. Dans tous les autre cas, il ne gagne rien.
%
%Soit $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d'un jeu.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
Il y a $\binom{3}{10} = 120$ façons différentes d'extraire 3 boules parmi 10.

$\bullet~~$On a $p(X = 100) = \dfrac{\binom{3}{4}}{120} = \dfrac{4}{120} = \dfrac{1}{30}$ ;

$\bullet~~$On a $p(X = 15) = \dfrac{\binom{1}{6}\times \binom{2}{4}}{120} = \dfrac{36}{120} = \dfrac{3}{10}$ ;

$\bullet~~$On a $p(X = 4) = \dfrac{\binom{2}{6}\times \binom{2}{4}}{120} = \dfrac{60}{120} = \dfrac{1}{2}$ ;

$\bullet~~$On a $p(X = 0) = \dfrac{\binom{3}{6}}{120} = \dfrac{20}{120} = \dfrac{1}{6}$.
\item %Pour un jeu, la mise est de 10~\euro. Le jeu est-il favorable au joueur, c'est-à-dire l'espérance mathématiques est-elle strictement supérieure à 10 ?
On a $E(X) = 90 \times \dfrac{1}{30} + 5 \times \dfrac{3}{10} - 6 \times  \dfrac{1}{2} - 10 \times \dfrac{1}{6} = - \dfrac{1}{6} < 0$. Le jeu est défavorable au joueur.
\item %Pour l'organisateur, le jeu ne s'avérant pas suffisamment rentable, celui-ci envisage deux solutions :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  soit augmenter la mise de 1 \euro, donc passer à 11~\euro,
%\item  soit diminuer chaque gain de 1 \euro, c'est-à-dire ne gagner que 99 \euro,  14~\euro{}  ou 3~\euro.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Quelle est la solution la plus rentable pour l'organisateur ?
$\bullet~~$Avec une mise à 11 \euro{} l'espérance mathématique passe à :

$89 \times \dfrac{1}{30} + 4 \times \dfrac{3}{10} - 7 \times  \dfrac{1}{2} - 11 \times \dfrac{1}{6} = - \dfrac{7}{6}$.

$\bullet~~$Avec des gains diminués de 1 \euro{} l'espérance est égale à :

$89 \times \dfrac{1}{30} + 4 \times \dfrac{3}{10} - 6 \times  \dfrac{1}{2} - 10 \times \dfrac{1}{6} = - \dfrac{1}{2}$.

La solution la plus rentable pour l'organisateur est donc de mettre la mise à 11~\euro.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}  \hfill 5 points

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On considère le polynôme $P$ de la variable complexe $z$, défini par :

\[P(z) = z^3 + \left(14 - \text{i}\sqrt{2}\right)z^2 + \left(74 - 
14\text{i}\sqrt{2}\right)z - 74\text{i}\sqrt{2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le nombre réel $y$ tel que i$y$ soit solution de l'équation \\$P(z) = 0$.
$P(\text{i}y) = (\text{i}y)^3 + \left(14 - \text{i}\sqrt{2}\right)(\text{i}y)^2 + \left(74 - 
14\text{i}\sqrt{2}\right)\text{i}y - 74\text{i}\sqrt{2} = 0 \iff$

$ -\text{i}y^3 - y^2\left(14 - \text{i}\sqrt{2}\right) +  \left(74 -  14\text{i}\sqrt{2}\right)\text{i}y - 74\text{i}\sqrt{2} = 0 \iff$
 
$ -\text{i}y^3 - 14y^2  - (\text{i}y)^2\sqrt{2} + 74\text{i}y + 14\sqrt{2}y - 74\text{i}\sqrt{2} = 0$.
Il faut donc que 

$\left\{\begin{array}{l c l}
- 14y^2 + 14\sqrt{2}y&=&0\\
- y^3 + y^2\sqrt{2} + 74y - 74\sqrt{2}&=&0
\end{array}\right. \iff$
 
$\left\{\begin{array}{l c l}
14y(\sqrt{2} - y)&=&0\\
- y^3 - y^2\sqrt{2} + 74y - 74\sqrt{2}&=&0
\end{array}\right.$

$y = 0$ ne peut être solution donc $y = \sqrt{2}$ et en reportant dans la deuxième équation on a :

$- 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 74\sqrt{2}  - 74\sqrt{2} = 0$ qui est vraie.
		\item %Trouver deux nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe  $z$, on ait $P(z) = \left(z - \text{i}\sqrt{2}\right)\left(z^2 + az + b\right)$
En développant on a 

$P(z) = z^3 + az^2 + bz - z^2\text{i}\sqrt{2}- az\text{i}\sqrt{2} - b\text{i}\sqrt{2} =  z^3 + \left(14 - \text{i}\sqrt{2}\right)z^2 + \left(74 - 
14\text{i}\sqrt{2}\right)z - 74\text{i}\sqrt{2}$ d’où en identifiant les termes de même degré :

$\left\{\begin{array}{l c l}
a - \text{i}\sqrt{2}&=&14 - \text{i}\sqrt{2}\\
b - a \text{i}\sqrt{2}&=&74 - 14\text{i}\sqrt{2}\\
- b\text{i}\sqrt{2}&=&- 74\text{i}\sqrt{2}
\end{array}\right.$

La première équation donne $a = 14$ et la troisième  $b = 74$.

On a donc $P(z) = \left(z - \text{i}\sqrt{2}\right)\left(z^2 + 14z + 74\right)$.
		\item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation $P(z)=0$.
		D’après le résultat précédent :
		
$P(z)=0 \iff  \left(z - \text{i}\sqrt{2}\right)\left(z^2 + 14z + 74\right) = 0 \iff z = \text{i}\sqrt{2} \quad \text{ou} \quad$

$ z^2 + 14z + 74 = 0$.

$z^2 + 14z + 74 = 0 \iff (z + 7)^2 - 49 + 74 = 0 \iff (z + 7)^2 + 25 = 0 \iff (z + 7)^2 - (5\text{i})^2 = 0 \iff (z + 7 + 5\text{i})(z + 7 - 5\text{i}) = 0 \iff z  = - 7 - 5\text{i} \quad \text{ou}\quad z =  - 7 + 5\text{i}$.

L’équation a donc trois solutions : $\text{i}\sqrt{2},\: - 7 - 5\text{i}$ et $- 7 + 5\text{i}$.
	\end{enumerate}

\item %Le plan complexe est rapporté à  un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 1 cm pour unité graphique.
	\begin{enumerate}
		\item ~%Placer les points A, B et I d'affixes respectives  $z_{\text{A}} = - 7 + 5\text{i}~;~ z_{\text{B}} = - 7 - 5\text{i}$ et $z_{\text{I}} = \text{i}\sqrt{2}$.
		
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-8,-5.5)(2,11.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-8,-5.5)(2,11.5)
\psdots(-7,-5)(-7,5)(0,1.414)(-1,1)(1,1)(1,11)%BAII'CN
\uput[dl](-7,-5){B} \uput[ul](-7,5){A} \uput[ur](0,1.414){I} \uput[dr](0,0){O}\uput[r](1,1){C}
\uput[dl](-1,1){I$'$}\uput[ul](1,11){N}\uput[r](1,11){D}
\pspolygon(-7,-5)(-7,5)(1,11)(1,1)(-7,5)(1,11)(-7,-5)
\psline(-7,-5)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center}

		\item %Déterminer l'affixe de l'image du point I par la rotation de centre 
%O et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$.
La rotation est définie par $z' - 0 = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}(z - 0)$.

Donc $z_{\text{I}'} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\times \sqrt{2}\text{i} = \sqrt{2}\text{i}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = - 1 + \text{i}$.
		\item %Placer le point C d'affixe $z_{\text{C}} =  1 + \text{i}$. Déterminer l'affixe du point N tel que ABCN soit un parallélogramme.
On doit avoir $\vect{\text{AB}} = \vect{\text{NC}}$. Avec N$(x + \text{i}y)$, on a donc :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
0	&=&1 - x\\
-10	&=&y + 1 
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
0&=&1 \\
y&=&11
\end{array}\right.$

L'affixe de N est $1 + 11\text{i}$.
		\item %Placer le point D d'affixe $z_{\text{D}} =  1 + 11\text{i}$. Calculer $Z = \dfrac{z_{\text{A}}  - z_{\text{C}}}{z_{\text{D}}  - z_{\text{B}}}$ sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. Justifier que les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires et en déduire la nature du quadrilatère ABCD.
Le point D est le point N précédent.

$Z = \dfrac{z_{\text{A}}  - z_{\text{C}}}{z_{\text{D}}  - z_{\text{B}}} = \dfrac{- 7 + 5\text{i} - 1 - \text{i}}{1 + 11\text{i} + 7 + 5\text{i}} = \dfrac{- 8 + 4\text{i}}{8 + 16\text{i}} = \dfrac{- 2 +\text{i}}{2 + 4\text{i}} = \dfrac{(- 2 +\text{i})(2 - 4\text{i})}{(2 + 4\text{i})(2 - 4\text{i})} = $

$\dfrac{ - 4  + 4 + 8\text{i} + 2\text{i}}{4  + 16} = \dfrac{10\text{i}}{20} = \dfrac{1}{2}\text{i}$.

On a donc $|Z| = \dfrac{1}{2}$ et arg$(Z) = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ ($k \in \Z$).

Or arg$(Z) = \left(\vect{\text{BD}},~\vect{\text{CA}} \right) = \dfrac{\pi}{2}$ montre que les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires.

Conclusion : la parallélogramme ABCD a ses diagonales perpendiculaires : c'est un losange
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2} \hfill  5 points

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de  spécialité}

\medskip

On considère deux entiers naturels, non nuls, $x$ et $y$ premiers entre eux.

On pose $S = x + y$ et $P = xy$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $x$ et $S$ sont premiers entre eux, de même que $y$ et $S$.
$\bullet~~$Par l'absurde : si $x$ et $x + y$ ont un diviseur commun celui-ci-ci divise $x$ et leur  différence $x + y - x$ c'est-à-dire $x$ et $y$. Ce n'est pas vrai, donc $x$ et $S$ sont premiers entre eux.

$\bullet~~$Même démonstration pour $x$ et $S$.
		\item %En déduire que $S = x+y$ et $P =xy$ sont premiers entre eux.
D'après la question précédente : puisque $x$ et $S$ sont premiers entre eux, il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $ux + vS = 1$.
		
De même puisque $y$ et $S$ sont premiers entre eux, il existe deux entiers $u'$ et $v'$ tels que $u'y + v'S = 1$.

En faisant le produit membre à membre on a :

$(ux + vS)(u'y + v'S) = 1 \iff uu'xy + uv'xS + u'vyS + vv'S^2 = 1 \iff uu'P + \left(uv'x + uv'x + vv'S \right)S = 1$, ce qui montre par réciproque du théorème de Bezout que $P$ et $S$ sont premiers entre eux.	
		\item %Démontrer que les nombres $S$ et $P$ sont de parités différentes (l'un pair, l'autre impair).
Si $x$ et $y$ sont pairs ils ne sont pas premiers entre eux : impossible.
		
Si $x$ et $y$ sont impairs, leur somme $S$ est paire et leur produit $P$ est impair.

Si $x$ et $y$ sont de parités différentes, $S$ est impaire et $P$ est paire.

Donc $S$ et $P$ sont de parités différentes. 
	\end{enumerate}
\item %Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant.
$84 = 7 \times 12  = 7\times 4 \times 3 = 2^2 \times 3 \times 7$.

Les diviseurs positifs de 84sont donc : $1~;~2~;~3~;~4~;~6~;~7~;~12~;~14~;~21~;~28~;~42~;~84$.
\item %Trouver les nombres premiers entre eux $x$ et $y$ tels que : $SP = 84$.
Il suffit de trouver dans la liste deux  diviseurs de 84 premiers entre eux.

On en peut prendre $x = 2$ puisqu'alors $y$ serait pair (42) ; pour la même raison on ne peut pas prendre $S = 6$ ou $S = 14$ ou $S = 42$.

$S = 3$, n'est pas possible car les nombres seraient trop petits ; idem pour $S = 4$, $S = 6$ ;

$S = 42$ ne peut être obtenu qu'avec 28 et 14 dont le produit est trop grand.

$S = 21$ ne peut provenir que de 7 et 14 dont le produit est 98 ; impossible.

Reste $S = 7$ qui peut provenir de $x = 3$ et $y = 4$ ou $x = 4$ et $y = 3$, le produit étant égal à $P = 12$. Ce sont les deux solutions.
\item %Déterminer les deux entiers naturels $a$ et $b$ vérifiant les conditions suivantes :

%\[ \left\{ \begin{array}{l c l}
%a + b &=& 84\\
%ab& =& d^3 \\
%\end{array}\right. ~\text{avec}~ d = \text{pgcd}(a ; b)\]

%(On pourra poser $a = dx$ et $b = dy$ avec $x$ et $y$ premiers entre eux)
En posant $a = dx$ et $b = dy$ avec $x$ et $y$ premiers entre eux, donc $d = \text{pgcd}(a ; b)$, on a donc :

$a + b = 84 \iff dx + dy = 84 \iff d(x + y) = 84 \iff dS = 84$ et d'autre part :

$ab = d^2 \iff dx\times dy = d^3 \iff xy = d \iff P = d$, soit en reportant dans la première équation :

$PS = 84$ : on est donc ramené à la question précédente, donc $xy = 3 \times 4 = 12 = d$, d'où les deux nombres sont $a = 12 \times 3 = 36$ et $b = 12\times 4 = 48$.

On a bien $36 + 48 = 84$ et  $36 \times 48 = 12 \times 3\times12\times 4 = 12 \times 12\times 12 = 12^3$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème} \hfill 10 points

%Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à   un repère orthonormal direct  \Oij. (Unités graphiques : 2 cm).

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) =  (3 + x)\text{e}^{-\frac{x}{2}}.\]

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$, puis en $+ \infty$.
$\bullet~~$En plus l'infini : $f(x) = 3\text{e}^{-\frac{x}{2}} + x\text{e}^{-\frac{x}{2}}$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-\frac{x}{2}} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-\frac{x}{2}} = 0$, donc par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. Donc l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la représentation graphique de $f$.

$\bullet~~$En moins l'infini : on a :

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} (3 + x) = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{-\frac{x}{2}} = + \infty$, donc par produit de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
\item %Étudier les variations de $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \text{e}^{-\frac{x}{2}} + (3 + x) \times \left(- \frac{1}{2} \right)\text{e}^{-\frac{x}{2}} = \text{e}^{-\frac{x}{2}}\left(1 - \frac{3}{2} - \frac{x}{2} \right) = -\text{e}^{-\frac{x}{2}}\left(\frac{x + 1}{2} \right)$.

2 et $\text{e}^{-\frac{x}{2}}$ étant supérieurs à zéro quel que soit $x$, le signe de 
$f'(x) $ est celui de $-(x + 1)$.

$\bullet~~$$-(x + 1) > 0 \iff - 1 > x$, donc $f'(x) > 0$ sur $]- \infty~;~- 1[$ ;

$\bullet~~$$-(x + 1) < 0 \iff - 1 < x$, donc $f'(x) < 0$ sur $]- 1~;~+ \infty[$ ;

$\bullet~~$$-(x + 1) = 0 \iff - 1 = x$, donc $f'(- 1) = 0$.

La fonction est donc croissante sur $]- \infty~;~- 1[$ puis croissante sur $]- 1~;~+ \infty[$, $f(- 1 ) = 2\text{e}^{- \frac{1}{2}} \approx 3,297$ étant le maximum de $f$ sur $\R$.
\item ~%Construire la courbe $(\Gamma)$ représentative de $f$ dans \Oij.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-5.04)(5.02,5.02)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(5,5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.76}{5}{3 x add 2.71828 x 2 div exp div}
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{5}{x  2.71828 x 2 div exp div}
\psline{<->}(-2.5,3.297)(0.5,3.297)
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3.297)\uput[dr](0,0){O}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgrididiv=1,griddots=5,gridcolor=red](-3,0)(0,3)
\end{pspicture}
\end{center}

\item %À l'aide d'une intégration par parties, calculer I = 
%$\displaystyle\int_{-3}^0  x\text{e}^{-\frac{x}{2}}\: \text{d}x$ et en déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine défini par les couples $(x,~y)$ tels que \\$0 \leqslant y \leqslant f(x)$ et $x \leqslant 0$.
On pose $u(x) = x$ et $v'(x) = \text{e}^{-\frac{x}{2}}$, d'où :

$u'(x) = 1$ et $v(x) = - 2\text{e}^{-\frac{x}{2}}$.

Toutes ces fonctions sont continues car dérivables  ; on peut donc intégrer par parties:

I = $\left[- 2x\text{e}^{-\frac{x}{2}} \right]_{-3}^0 + \displaystyle\int_{-3}^0  2\text{e}^{-\frac{x}{2}}\: \text{d}x = \left[- 2x\text{e}^{-\frac{x}{2}} - 4\text{e}^{-\frac{x}{2}} \right]_{-3}^0 = - 4  - 6\text{e}^{\frac{3}{2}}+ 4\text{e}^{\frac{3}{2}} =$

I $ =  - 2\text{e}^{\frac{3}{2}} - 4 \approx - 12,96$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que l'équation $f(x) = 3$ admet deux solutions dans $\R$. 		
%Soit $\alpha$ la solution non nulle, montrer que : $-2 < \alpha < - \dfrac{3}{2}$.
$\bullet~~$Sur $]- 3~;~- 1[,\:f$ est croissante de $f(- 3) = 0$ à $f(- 1) > 3,2$ ; la fonction $f$ étant continue il existe donc un réel unique $\alpha \in ]-3~;~- 1[$ tel que $f(\alpha) = 3$.

La calculatrice donne $f(- 2) \approx 0,368$ et $f(- 1,5) \approx 0,7$, donc  $-2 < \alpha < - \dfrac{3}{2}$.

$\bullet~~$Sur $]- 1~;~2[,\: f$ est décroissante de $f(- 1) \approx 3,2$ à $f(2) \approx  1,8$ ; la fonction $f$ étant continue il existe donc un réel unique $\beta \in ]-1~;~2[$ tel que $f(\beta) = 3$.
		\item %Plus généralement, déterminer \textbf{graphiquement} suivant les valeurs du nombre réel $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$.
\textbf{graphiquement :}

$\bullet~~$si $m < 0$, on voit que l'équation $f(x) = m$ a une  solution (inférieure à $- 3$) ;

$\bullet~~$si $0< m < 2\text{e}^{- \frac{1}{2}}$, on voit que l'équation $f(x) = m$ a deux solutions ;

$\bullet~~$si $m = 2\text{e}^{- \frac{1}{2}}$, on voit que l'équation $f(x) = m$ a une solution $- 1$ ;

$\bullet~~$si $m > 2\text{e}^{- \frac{1}{2}}$, on voit que l'équation $f(x) = m$  n'a pas de solution.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

%On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par 

$\varphi(x) = 3\text{e}^{\frac{x}{2}} - 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $f(x) = 3$ si et seulement si  $\varphi(x) = x$
$f(x) = 3 \iff (x + 3)\text{e}^{- \frac{x}{2}} = 3 \iff x + 3 = 3\text{e}^{\frac{x}{2}} \iff x = 3\text{e}^{\frac{x}{2}} - 3 \iff x = \varphi(x)$.
\item  %Soit $\varphi'$ et $\varphi ''(x)$ les dérivées première et seconde  de la fonction $\varphi$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer, pour tout réel $x,~ \varphi'(x)$ et $\varphi ''(x)$. Justifier que $\varphi' (\alpha) = \dfrac{\alpha +3}{2}$.
$\varphi'(x) = 3 \times \frac{1}{2}\text{e}^{\frac{x}{2}} = \frac{3}{2}\text{e}^{\frac{x}{2}} > 0$ car produit de deux nombres supérieurs à zéro ;

$\varphi''(x) = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2}\text{e}^{\frac{x}{2}} = \frac{3}{4} \times \text{e}^{\frac{x}{2}} > 0$.

$\alpha$ est défini par $f(\alpha) = 3 \iff \varphi(\alpha) = \alpha \iff 3\text{e}^{\frac{\alpha}{2}} = \alpha + 3$.

Donc $\varphi'(\alpha) = \dfrac{3\text{e}^{\frac{\alpha}{2}}}{2} = \dfrac{\alpha + 3}{2}$.
		\item %Étudier le sens de variation de $\varphi'$, puis celui de $\varphi$.
Comme $\varphi''(x) > 0$, la fonction $\varphi'$ est croissante sur $\R$.

Comme $\varphi'(x) > 0$, la fonction $\varphi$ est croissante sur $\R$.
%On se place désormais dans l'intervalle I = $[-2~;~\alpha]$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à I ;
	\begin{enumerate}
		\item %$\varphi(x)$ appartient à I.
Sur $[-2~;~\alpha]$, la fonction $\varphi$ est croissante de $f(- 2) = \dfrac{3}{\text{e} - 3 \approx 1,8 > - 2$ à $\varphi(\alpha) = \alpha$, donc $\varphi(x) \in \text{I}$.
		\item %$\dfrac{1}{2} \leqslant \varphi'(x) \leqslant \dfrac{3}{4}$
$\varphi'$ est croissante sur $[-2~;~\alpha]$, donc 

$\varphi'(- 2) \leqslant \varphi'(x) \leqslant \varphi'\left(\alpha \right) \iff 3 \times \frac{1}{2}\text{e}^{- 1} \leqslant \varphi'(x) \leqslant \dfrac{\alpha + 3}{2}$.

Or $\dfrac{3}{2\text{e}} > \dfrac{1}{2}$ et $\alpha \leqslant  - \dfrac{3}{2} \Rightarrow	\dfrac{\alpha + 3}{2} \leqslant \dfrac{3}{4}$.

Donc $\dfrac{1}{2} < \varphi'(x) \leqslant \dfrac{3}{4}$. 	
		\item %En déduire, à l'aide d'une intégration, que pour tout $x$ de l'intervalle I, on a :

%\[0  \leqslant \dfrac{1}{2}(\alpha - x) \leqslant \varphi(\alpha) -  \varphi(x) \leqslant \dfrac{3}{4}(\alpha - x).\]
On intègre l'encadrement précédent sur l'intervalle $[x~;~\alpha]$ \: ($x \leqslant \alpha$) :

$\displaystyle\int_x^{\alpha} \dfrac{1}{2}\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_x^{\alpha} \varphi'(t)\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_x^{\alpha}\dfrac{3}{4}\:\text{d}t$.

La premiere intégrale est bien entendue positive. On peut donc écrire :

$0 < \left[\dfrac{1}{2}t  \right]_x^{\alpha} \leqslant \varphi(\alpha) - \varphi(x) \leqslant \left[\dfrac{3}{4}t  \right]_x^{\alpha}$ ou encore 

$0 \leqslant \dfrac{1}{2}(x - \alpha) \leqslant \varphi(\alpha) - \varphi(x) \leqslant \dfrac{3}{4}(x - \alpha)$
	\end{enumerate}
\item %On considère la suite $(u_{n})$ définie sur $\N$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0} & = & - 2\\
u_{n+1} & = & \varphi\left(u_{n}\right)\\
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n,~u_{n}$  appartient à l'intervalle I.
\emph{Initialisation} : $u_{0} 	 =  - 2 \in \text{I}$. La relation est vraie au rang $0$.

\emph{Hérédité} : supposons que pour  $n \in \N$ on ait  $u_n \in \text{I}$. On a montré à la question 3. a. que si $u_n \in \text{I}$, alors $\varphi\left(u_n\right) \in \text{I}$, donc $u_{n+1} \in \text{I}$.

La relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n \in \N$, elle est vraie au rang $n + 1$.

On a donc montré par le principe de récurrence que pour tout $n \in \N, \: u_n \in \text{I}$.
		\item %Justifier que, pour tout entier $n$,

%\[0 \leqslant \alpha - u_{n+1} \leqslant \dfrac{3}{4} \left(\alpha - 
%u_{n}\right) \qquad \text{puis que}\qquad 0 \leqslant \alpha - u_{n} 
%\leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^n.\]
En utilisant l'encadrement de la question 3. c. avec $u_n \in \text{I}$, on obtient :

$0 \leqslant \varphi(\alpha) - \varphi(u_n) \leqslant \dfrac{3}{4}\left(\alpha - u_n \right) \iff 0 \leqslant \alpha - u_{n+1} \leqslant \dfrac{3}{4}\left(\alpha - u_n \right)$.

Or $- 2 < \alpha < - \dfrac{3}{2} $ et $u_0 = - 2$ entraînent que :

$0 \leqslant \alpha - u_0 \leqslant \dfrac{1}{2} \leqslant \left(\dfrac{3}{4} \right)^0 \quad (1)$.

Supposons qu'il existe un entier $p$ tel que $0 \leqslant \alpha - u_p \leqslant \left(\dfrac{3}{4} \right)^p$.

En utilisant l'encadrement (1), on peut donc écrire :

$0 \leqslant \alpha - u_{p+1} \leqslant \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{3}{4} \right)^p$ ou encore 
$0 \leqslant \alpha - u_{p+1} \leqslant \left(\dfrac{3}{4} \right)^{p+1}$.

On a donc montré par récurrence que pour tout naturel $n$,

$0 \leqslant \alpha - u_n \leqslant  \left(\dfrac{3}{4} \right)^{n}$.
		\item %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et donner sa limite.
		Comme $- 1 < \dfrac{3}{4} < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{3}{4} \right)^{n} = 0$, donc par application du théorème des \og gendarmes \fg{}, 
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \alpha - u_n = 0$, soit $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = \alpha$
		\item %Déterminer le plus petit entier $p$ tel que : $\left(\dfrac{3}{4}\right)^p \leqslant 10^{-2}$.
On a $\left(\dfrac{3}{4}\right)^p \leqslant 10^{-2}\Rightarrow p \ln \left(\dfrac{3}{4}\right) \leqslant - 2 \ln 10$, par croissance de la fonction logarithme népérien, d'où puisque $\ln \left(\dfrac{3}{4}\right) < 0$, 

$p \geqslant \dfrac{- 2 \ln 10}{\ln \left(\frac{3}{4} \right)}$.

Or $\dfrac{- 2 \ln 10}{\ln \left(\frac{3}{4} \right)} \approx 16,008$.

Il faut donc prendre $p = 17$.
%Donner une approximation décimale  $10^{-2}$ près de $u_p$, à l'aide d'une calculatrice, puis une valeur approchée de $\alpha$ à $2 \times 10^{-2}$ près.
La calculatrice donne $u_{17} \approx - 1,75$ au centième près.

L'encadrement $- 1,75 < u_{17} < -1,74$ et celui de $\alpha$, \: $u_{17} < \alpha < u_{17} + 10^{-2}$ permet de conclure :

$$-1,75 < \alpha - 1,73$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 \end{document}