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%Tapuscrit et corrigé : François Kriegk
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\fbox{\begin{minipage} {12cm}
\medskip
\center\Large \textbf{#1}
\smallskip
\end{minipage}}
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	\vspace{0.5cm}}
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\titre{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S $-$ Liban $-$ 11 juin 2009~\decofourright}

\medskip

\textbf{\large {Exercice 1} \hfill 3 points}

\medskip

\emph{Bien que cela ne soit pas demandé dans l'énoncé, les affirmations sont ici démontrées.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $p\left(\overline{A}\right)=\dfrac{3}{5}$, donc $p(A) = \dfrac{2}{5}$. De plus $A$ et $B$ sont indépendants, donc $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$.\\
On a : $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) = p(A) + p(B) - p(A) \times p(B) = p(B) \times \left(1 - p(A)\right) + p(A)$\\
On en déduit : $p(B) = \dfrac{p(A \cup B) - p(A)}{1 - p(A)} = \dfrac{\dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{5}}{1 - \dfrac{2}{5}} = \dfrac{2}{3}$. La réponse correcte est donc \textbf{b.}.

\medskip

\item On a $p(X > 5) = 1 - p(X \leq 5) = 1 - \displaystyle\int_{0}^5 0,04 \text{e}^{- 0,04x}\:\text{d}x = 1 - \left[{-\text{e}^{-0,04x}}\right]^{5}_{0} = 1 - \left({-\text{e}^{-0,04 \times 5}-\text{e}^0}\right) = \text{e}^{-0,2} \approx 0,82$.\\
La bonne réponse est donc la proposition \textbf{d.}.

\medskip

\item Soit $C$ l'événement : \og je sors mon chien \fg{} et $P$ l'événement \og il pleut \fg. $P$ et $\overline{P}$ forment une partition de l'univers, donc j'utilise la formule des probabilités totales : 

$p(C) = p_P(C) \times p(P) + p_{\overline{P}}(C) \times p(\overline{P}) = \dfrac{1}{10}\times \dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{10} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{28}{40} = \dfrac{7}{10}$

On en déduit $p_C\left(\overline {P}\right) = \dfrac{p\left(\overline{P} \cap C\right)}{p(C)} = \dfrac{p_{\overline{P}}(C) \times p(\overline{P})}{p(C)} = \frac{\dfrac{9}{10} \times \frac{3}{4}}{\frac{7}{10}} = \dfrac{27}{28}$. La bonne réponse est donc \textbf{d.}.

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large {Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm, algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-5,-0.3)(5,3.5)
\psgrid[subgriddiv=0,%
 	gridlabels=0,
 	xunit=0.5, yunit=0.25,
 	gridwidth=0.2pt,%
 	gridcolor=gray,
   subgridwidth=0.1pt,%
   subgridcolor=gray](0,0)(-10,0)(10,14)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-0.3)(5,3.5)
\uput[u](4.8,0){$x$} \uput[l](0,3.4){$y$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-5}{5}{ln(1+2.71828^(-x))+1/3*x}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=5000]{-5}{5}{1/3*x}
\psplot[linecolor=green,plotpoints=5000]{-5}{5}{-1/6*x+0.693147}
\uput[u](4,1.4){$\mathcal{C}$}
\uput[d](2.5,0.76){(D)}
\uput[d](-1,0.85){(T)}
\end{pspicture*}
\end{center}
\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On a $\lm{x}{+\infty} \e{-x} = 0$, donc $\lm{x}{+\infty} 1 + \e{-x} = 1$ donc $\lm{x}{+\infty} \ln(1 + \e{-x}) = 0$ donc $\lm{x}{+\infty}f(x)=+\infty$
	\item Comme $f(x) -\dfrac{1}{3}x = \ln \left(1 + \e{-x}\right)$ et que $\lm{x}{+\infty} \ln \left(1 + \e{-x}\right) = 0$, on en déduit que la droite (D) est asymptote à $(\mathcal{C})$ au voisinage de $+\infty$.
	\item Comme $f(x) -\dfrac{1}{3}x = \ln(1 + \e{-x})$ et que $\forall x \in \R, \{-x\} > 0$, on a $1 + \e{-x} >1$ et donc $\ln \left(1 + \e{-x}\right) > 0$, dont on déduit que l'asymptote (D) est en dessous de la courbe $(\mathcal{C})$ sur $\R$.
	\item Soit $x$ un réel. On a $f(x) = \ln \left(1 + \e{-x}\right) + \dfrac{1}{3}x = 
\ln\left({1 + \dfrac{1}{\e x}}\right)+ \dfrac{1}{3}x = 
\ln\left({ \dfrac{\e x + 1}{\e x}}\right)+ \dfrac{1}{3}x =$
 
$\ln(\e x + 1) - \ln(\e {x}) + \dfrac{1}{3}x = \ln(\e x + 1) - x + \dfrac{1}{3}x$
soit $f(x) = \ln(\e x + 1) - \dfrac{2}{3}x $
	\item On a $\lm{x}{-\infty} \e x = 0$ donc $\lm{x}{-\infty}\e x + 1 = 1$, donc $\lm{x}{-\infty} \ln \left(\e x + 1\right) = 0$ et comme par ailleurs, 
	
$\lm{x}{-\infty} -\dfrac{2}{3}x = +\infty$, on en déduit $\lm{x}{-\infty} f(x) = +\infty$
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  $f$ est dérivable en tant que composée d'une fonction $x \longmapsto \e x + 1$, définie et dérivable sur $\R$ et à valeurs dans $\R^+$,où la fonction $\ln$ est dérivable : cette composée est donc dérivable sur $\R$, la fonction linéaire que l'on y ajoute pour obtenir $f(x)$ étant elle même dérivable sur $\R$, la fonction $f$ est bien dérivable sur $\R$.
		
Sa dérivée est : $f'(x) = \dfrac{\e x}{\e x + 1} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{3\e x}{3(\e x + 1)} - \dfrac{2(\e x + 1)}{3(\e x + 1)} = \dfrac{3 \e x - 2(\e x + 1)}{3(\e x + 1)} = \dfrac{\e x - 2}{3(\e x + 1)}$.
	\item Le dénominateur de $f'$ est strictement positif, donc $f'$ est du signe de son numérateur, et $\e x - 2 > 0 $
	
$\iff x > \ln(2)$.
	On en déduit donc que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty~;~\ln 2]$ puis strictement croissante sur $[\ln 2~;+\infty[$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B }

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a démontré dans la \textbf {partie A} que $f(x) - \dfrac{1}{3} = \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right) > 0$ pour tout $x$ réel, donc l'aire entre $(\mathcal C)$ et (D) et les droites d'équation $x = 0$ et $x = n$, pour $n$ entier naturel non nul, est $d_{n} = \displaystyle\int_{0}^n \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right)\:\text{d}x$. 
\item Si on a $\forall x \in \R,~ \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right) \leqslant  \text{e}^{-x}$, alors $d_{n} = \displaystyle\int_{0}^n \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{0}^n \text{e}^{-x}\text{d}x = \left[{- \text{e}^{-x}}\right]^{n}_{0} = 1 - \e{-n}$\\
Comme pour tout $n$ on a $\e {-n} \geqslant 0$, on a bien, pour tout $n$ naturel $d_n \leqslant 1$\\
La suite $(d_n)_{n \geqslant 1}$ est donc majorée.
De plus :\\
\begin{tabular}{l l}
$\forall n \in \N^*, d_{n+1} - d_n$&$= \displaystyle\int_{0}^{n+1} \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right)\:\text{d}x - \displaystyle\int_{0}^n \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right)\:\text{d}x$\\
&$= \displaystyle\int_{n}^{n + 1} \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right)\:\text{d}x$\\
\end{tabular}\\
et l'intégrale entre $n$ et $n+1$ d'une fonction positive (comme établi à la partie A) étant positive, on a pour tout $n$ non nul $d_{n + 1} - d_n \geqslant 0$ donc $d_{n+1} \geqslant d_n$ et donc la suite est croissante.\\
Une suite croissante et majorée étant nécessairement convergente, on en déduit que c'est le cas de $(d_n)_{n \geqslant 1}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le coefficient directeur de (T) est donné par $f'(0)$. C'est donc $f'(0) = \dfrac{\e 0 - 2}{3(\e0 + 1)} = \dfrac{-1}{6}$.
\item Soit $x$ un réel non nul, considérons $M$ et $N$ les deux points de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisses respectives $x$ et $-x$.\\
L'ordonnée de M est donc $y_M = f(x) = \ln\left({\e x + 1}\right) - \dfrac{2}{3}x$.\\
Pour calculer celle de N, on va utiliser l'autre forme de $f$ : $y_N = f(-x) = \ln\left({1 + \e{-(-x)}}\right) + \dfrac{1}{3}(-x) = \ln\left({\e x + 1}\right) - \dfrac{1}{3}x$.\\
Le coefficient directeur de $(MN)$ est donc : $\dfrac{y_M - y_N}{x_M-x_N}=\dfrac{\left[{\ln\left({\e x + 1}\right) - \dfrac{2}{3}x}\right] - \left[{\ln\left({\e x + 1}\right) - \dfrac{1}{3}x}\right] }{x - (-x)} =$

$ \dfrac{-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}x}{2x} = \dfrac{-\dfrac{1}{3}x}{2x} = -\dfrac{1}{6}$

Les droites $(MN)$ et $(T)$ ayant le même coefficient directeur, elles sont donc parallèles.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large {Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Le point I a pour coordonnées $\left({\dfrac{1}{2}~;~0~;~1}\right)$, car $\vect{\text{AI}} = \vect{\text{AE}} + \vect{\text{EI}} = \vect{\text{AE}} + \dfrac{1}{2}\vect{\text{EF}}  = \vect{\text{AE}} + \dfrac{1}{2}\vect{\text{AB}}$\\
		Le point J a pour coordonnées $(2~;~0~;~1)$
	\item On a les coordonnées suivantes : $\vect{\text{DJ}} : (2~;~-1~;~1)$; $\vect{\text{BG}} : (0~;~1~;~1)$ et $\vect{\text{BI}} : \left({\dfrac{1}{2}~;~0~;~1}\right)$.\\
	Les vecteurs $\vect{\text{BG}}$ et $\vect{\text{BI}}$ sont clairement non colinéaires.\\
	On a finalement $\vect{\text{DJ}} \cdot \vect{\text{BG}} = 0 - 1 + 1 =0$ et $\vect{\text{DJ}} \cdot \vect{\text{BI}} = 2 \times \dfrac{-1}{2} + 0 + 1 = 0$\\
	Le vecteur $\vect{\text{DJ}}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BGI), donc il est normal au plan.
	\item On en déduit que le plan (BGI) a une équation cartésienne de la forme : $2x-y+z+d=0, d \in \R$. $d$ étant tel que l'équation du plan est vérifiée par les coordonnées de B (car B est un point du plan).
	
Donc $2 \times 1 - 0 + 0 + d = 0$ soit $d = -2$, l'équation du plan est donc $2x - y + z - 2 = 0$. 
	\item On applique la formule du cours : la distance $\delta$ est $\delta = \dfrac{\left|{2 \times 1 - 0 + 1 - 2}\right|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt 6}{6}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La droite ($\Delta$) est dirigée par $\vect{\text{DJ}}$, de coordonnées $(2~;~ -1~ ;~ 1)$ et passant par F, de coordonnées $(1~;~ 0 ~;~ 1)$, elle admet donc pour représentation paramétrique :
		$\left\{
	\begin{tabular} {c c r}
		$x$&$=$&$1 + 2t$\\
		$y$&$=$&$-t$\\
		$z$&$=$&$1 + t$\\
	\end{tabular}\right. t \in \R$.
	\item Le plan de la face ADHE est le plan d'équation $x = 0$, et le point de ($\Delta$) d'abscisse $0$ est le point de paramètre $-\dfrac{1}{2}$, ce point a pour coordonnées $\left({0 ~;~ \dfrac{1}{2} ~;~ \dfrac{1}{2}}\right)$, c'est bien le centre de la face ADHE, car c'est le milieu du segment [AH] H étant le point de coordonnées $(0 ; 1 ; 1)$ et A l'origine du repère. L'intersection de ($\Delta$) et de la face ADHE est bien le centre de celle ci, le point K.
	\item Le point L, de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}~;~ \dfrac{1}{6}~;~ \dfrac{5}{6}  \right)$ est le point de ($\Delta$) de paramètre  $-\dfrac{5}{6}$.\\
De plus, on a $2 \times \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{6} - 2 = \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{6} - 2 = \dfrac{4}{3} + \dfrac{2}{3} - 2 = \dfrac{6}{3} - 2 = 0$ les coordonnées de L sont donc sont solutions de l'équation de (BGI) le point L est aussi sur (BIG), c'est donc bien l'intersection de la droite et du plan.
	\item On a $\vect{\text{LB}}$ de coordonnées $\left(\dfrac{1}{3}~;~-\dfrac{1}{6}~;~ -\dfrac{5}{6}  \right)$ et $\vect{\text{GI}}$ de coordonnées $\left(-\dfrac{1}{2}~;~-1~;~0\right)$.
	
Donc $\vect{\text{LB}} \cdot \vect{\text{GI}} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{-1}{2} + \dfrac{-1}{6} \times (-1) + \dfrac{-5}{6} \times 0 = \dfrac{-1}{6} + \dfrac{1}{6} = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux, donc (BL) et (GI) sont perpendiculaires (orthogonales et coplanaires) donc (BL) est la hauteur issue de B dans BIG.

$\vect{\text{BG}}$ a pour coordonnées $(0~;~1~;~1)$ et $\vect{\text{IL}}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{6}~;~\dfrac{1}{6}~;~ -\dfrac{1}{6}  \right)$.

Donc $\vect{\text{IL}} \cdot \vect{\text{BG}} = \dfrac{1}{6} \times 0 + \dfrac{1}{6} \times 1 + \dfrac{-1}{6} \times 1 = \dfrac{-1}{6} + \dfrac{1}{6} = 0$ là encore les vecteurs sont orthogonaux, donc (IL) et (BI) sont perpendiculaires (orthogonales et coplanaires) donc (IL) est la hauteur issue de I dans BIG.

L est donc l'intersection de deux des hauteurs du triangle BIG, c'est bien l'orthocentre de BGI.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large {Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $z_{\text{A}} = 
-\dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}
= \sqrt 3 \times \left(\dfrac{-\sqrt 3}{2} + \i\dfrac{1}{2}\right) 
= \sqrt{3}\left[-\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + \i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right] 
= \sqrt{3}\left[\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) + \i\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\right]$. 

On a donc $z_{\text{B}} = \overline{\sqrt{3}\text{e}^{\i \frac{5\pi}{6}}} =  \sqrt{3}\text{e}^{\i \frac{-5\pi}{6}}$

Enfin, $z_{\text{C}} = 3 \text{e}^{\i \pi}$
\item Voici la figure :

\begin{center}
\begin{minipage}{17cm}
\psset{unit=1.75cm, algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-4.15,-2.05)(4.15,3)
\psgrid[subgriddiv=4,
		gridlabels=0,
 	gridwidth=0.4pt,%
 	gridcolor=gray,
   subgridwidth=0.3pt,%
   subgridcolor=gray](0,0)(-4,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-4,-2)(4,2.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect u$} \uput[l](0,0.5){$\vect v$} \uput[dl](0,0){O}
\psdots[dotstyle=x ](-1.5,0.86602)(-1.5,-0.86602)(-3,0) (0.86602,0.5)(-0.86602,0.5) (0,3) (0,0.75)(-1.5,0)
\psplot [linecolor=red,plotpoints=5000]{-4}{4}{-0.3333333*x^2+0.75}
\uput[u] (-1.5,0.86602) {A}
\uput[d] (-1.5,-0.86602) {B}
\uput[dl] (-3,0) {C}
\uput[d] (0.86602,0.5) {A'}
\uput[d] (-0.86602,0.5) {B'}
\uput[dr] (0,3) {C'}
\uput[d] (-1.5,0) {G}
\uput[r] (0,0.75) {G'}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\end{center}
\medskip
\item Posons $Z = \dfrac{z_{\text C} - z_{\text B}}{z_{\text A} - z_{\text B}}
= \dfrac{-3 - \left({\frac{-3} 2 - \i \frac{\sqrt 3} 2}\right)}{\left({\frac{-3} 2 + \i \frac{\sqrt 3} 2}\right)- \left({\frac{-3} 2 - \i \frac{\sqrt 3} 2}\right)}
= \dfrac{-\frac{3}{2}+ \i \frac{\sqrt 3} 2}{\i \sqrt 3}
= \dfrac{\i \sqrt 3 \times \left({\i\frac{\sqrt{3}}{2}+ \frac{1} 2}\right)}{\i \sqrt 3} 
= \frac{1} 2 + \i \frac{\sqrt{3}}{2}
= \text{e}^{\i \frac{\pi}{3}}$.

On a $|Z| = \left|\text{e}^{\i \frac{\pi}{3}}\right| = 1$ et $|Z| = \dfrac{\text{BC}}{\text{BA}}$, donc BA = BC : le triangle est isocèle en B.

De plus $\arg(Z) = \arg \left(\text{e}^{\i \frac{\pi}{3}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{3} (2 \pi)$, donc l'angle $\left(\vect{\text {BC}}~;~\vect{\text{BA}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{3} (2 \pi)$ : le triangle BAC, isocèle en B a $\dfrac{\pi}{3}$  pour angle principal : le triangle est donc équilatéral.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On a  $\dfrac{1}{3}\i =  \dfrac{1}{3} \e{\i \frac{\pi} 2}$, donc :
		
$z_{\text{A'}} = \dfrac{1}{3} \e{\i \frac{\pi} 2} \times z_{\text{A}}^2 
		= \dfrac{1}{3} \e{\i \frac{\pi} 2} \times {\left({\sqrt {3} \e{\i \frac{5\pi}{6}}}\right)}^ 2 
		= \dfrac{1}{3} \text{e}^{\i \frac{\pi} 2} \times 3 \e{\i \frac{5\pi}{3}} 
		= \text{e}^{\i \frac{13\pi}{6}} 
		= \e {\i \frac{\pi}{6}}$
		
$z_{\text{B'}} = \dfrac{1}{3} \text{e}^{\i \frac{\pi} 2} \times z_{\text{B}}^2 
		= \dfrac{1}{3} \e{\i \frac{\pi} 2} \times {\left({\sqrt {3} \e{\i \frac{-5\pi}{6}}}\right)}^2 
		= \dfrac{1}{3} \text{e}^{\i \frac{\pi} 2} \times 3 \text{e}^{\i \frac{-5\pi}{3}} 
		= \e {\i \frac{-7\pi}{6}}
		= \e {\i \frac{5\pi}{6}}$
		
$z_{\text{C'}} = \dfrac{1}{3} \text{e}^{\i \frac{\pi} 2} \times z_{\text{C}}^2 
		= \dfrac{1}{3} \text{e}^{\i \frac{\pi} 2} \times (-3)^2
		= 3\text{e}{\i \frac{\pi} 2}$
		
	\item Voir la figure.
	\item A et B$'$ ont le même argument, donc O, A et B$'$ sont alignés (O est à l'extérieur du segment [AB$'$]).
	
B et A$'$ ont des arguments dont la différence est $\pi$, donc les points O, B et A$'$ sont alignés (O étant cette fois un point du segment [A$'$B]) 
\item $z_{\text G} = \dfrac{0 + z_{\text A} + z_{\text B} + z_{\text C}} 4 = \dfrac{-\frac{3} 2 + \i\frac{\sqrt 3} 2 - \frac{3} 2 - \i\frac{\sqrt 3} 2 - 3} 4 = - \dfrac{6} 4 = - \dfrac{3} 2.$

Et donc : $z_{\text{G'}} = \dfrac{1}{3} \i \times z_{\text{G}}^2
= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{9}{4} \i = \dfrac{3}{4} \i$\\

Le point G$'$ n'est pas l'isobarycentre des points O$'$ A$'$, B$'$ et C$'$, car O$'$ = O et $\dfrac{0 + z_{\text {A$'$}} + z_{\text {B$'$}} + z_{\text {C$'$}}} {4} =$

$ \dfrac{\e {\i \frac{\pi}{6}} + \e {\i \frac{5\pi}{6}} + 3\i} 4 = \dfrac{4\i} 4 = \i \neq z_{\text G}$
	\end{enumerate} 
\item Si $M$ appartient à la droite (AB) alors son affixe $z$ est de la forme $z = - \dfrac{3} 2 + \i x, x \in \R$ et donc son image $M'$ aura pour affixe $z' = \dfrac {1} 3 \i \times \left({- \dfrac{3} 2 + \i x}\right)^2 = \dfrac {1} 3 \i \times \left({\dfrac{9} 4 - 3 \i x - x^2}\right) = x + \i \times \left({\dfrac{3} 4 - \dfrac{1} 3 x^2}\right)$
On a donc $\Re(z') = x$ et $\Im(z') = \dfrac{3} 4 - \dfrac{1} 3 x^2$, donc $M'$ est bien sur la parabole d'équation  $y = - \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{3}{4}$.

\end{enumerate} 

\textbf{\large {Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier naturel $n$ dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009, c'est-à-dire tel que $n^3 \equiv  2009 \pmod{\np{10000}}$.}

On peut préciser ce point : Si $n^3 \equiv  2009 \pmod{\np{10000}}$, cela équivaut à dire que $n^3 - 2009$ est divisible par \np{10000}, et donc ce nombre se termine par quatre \og $0$ \fg, donc $n^3$ est donc la somme d'un nombre se terminant par quatre $0$ et de $2009$ : ce nombre se termine donc bien par $2009$.

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\textbf{Partie A}

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\begin{enumerate}
\item On a : $2009^2 = \np{4036081} = \np{252255} \times 16 + 1$, le reste de la division euclidienne de $\np{2009}^2$ par $16$ est donc $1$.
\item On en déduit que $\np{2009}^2 \equiv 1 \pmod {16}$, et donc puisque les congruences sont compatibles avec les puissances :

\begin{tabular}{l c l l}\
$2009^{\np{8001}}$ & $\equiv$ & $\left(2009^2\right)^{\np{4000}} \times 2009$ &$\pmod{16}$\\
		 			& $\equiv$ & $1^{\np{4000}} \times 2009 $&$\pmod{16}$\\
		 			& $\equiv$ &$ 1 \times 2009$ &$\pmod{16}$\\
		 			& $\equiv$ & $2009$ &$\pmod{16}$\\
	\end{tabular}
\end{enumerate}

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\textbf{Partie B}

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On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : 
$u_{0} = \np{2009}^2 - 1$ et, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} = \left(u_{n} + 1\right)^5 -1$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $u_{0} = \np{4036081} - 1 = \np{4036080} = \np{807216} \times 5$,\: $u_0$ est donc bien divisible par 5. 
		\item Grâce au binôme de Newton, on sait : 
		$(a + b)^5 = \displaystyle\sum_{i=0}^{5} \binom{5}{i}\times a^i \times b^{5 - i} = $
		
$a^5 + 5a^4 b + 10a^3 b^2 + 10a^2 b^3 + 5a b^4 + 1b^5$.
	
	Avec $a = u_n$ et $b=1$, alors on obtient : $(u_n + 1)^5 = u_n^{~5} + 5u_n^{~ 4} + 10u_n^{ ~3} + 10u_n^{ ~2} + 5u_n^{~ 1} + 1$\\
	
\begin{tabular} {l l c l}
On a alors :& $u_{n + 1}$ &= &$(u_n + 1)^5 - 1$\\
			&&=& $u_n^{ ~5} + 5u_n^{ ~4} + 10u_n^{ ~3} + 10u_n^{ ~2} + 5u_n$\\
			&& =&$u_n \times \big({u_n^{ ~4} + 5u_n^{ ~3} + 10u_n^{ ~2} + 10u_n + 5}\big)$\\
			&&=&$ u_n \times \Big[{u_n^{ ~4} + 5 \times \big( u_n^{ ~3} + 2u_n^{ ~2} + 2u_n + 1} \big)\Big]  $\\
\end{tabular}

	\item Pour tout entier naturel $n$, soit $P_n$ la propriété : $u_n$ est divisible par $5^{n+1}$.
	
\emph{Initialisation} : $P_0$, c'est à dire $u_0$ est divisible par $5$ : ceci a été démontré au \textbf{B. 1. a.} : la propriété $P_0$ est donc vraie.

\emph{Hérédité} : soit un naturel $n \in \N$ et supposons que la propriété $P_n$ est vraie, c'est à dire que $u_n$ est divisible par $5^{n+1}$, donc il existe un entier $k$ tel que $u_n = 5^{n+1}k$.

D'après la question \textbf{B. 1. b.}, on a $u_{n+1} =  u_n \times \Big[{u_n^{~4} + 5 \times \big(u_n^{ ~3} + 2u_n^{ ~2} + 2u_n + 1} \big)\Big]  $. On va poser : 

$l = u_n^{ ~3} + 2u_n^{ ~2} + 2u_n + 1$, on a donc $l \in \Z$ et enfin, en appliquant l'hypothèse de récurrence :

$u_{n+1} = 5^{n+1}k \times \Big[{\big(5^{n+1}k\big)^{ ~4}} + 5l \Big]
= 5^{n+1}k \times \Big[{5^{4n+4}k^4} + 5l \Big]
= 5^{n+1}k \times \Big[{5^{4n+4}k^4} + 5l \Big]
= 5^{n+2}k \times \Big[{5^{4n+3}k^4} + l \Big]$

$5^{4n+3}k^4 + l $ est une somme de produits et puissances de nombres entiers, donc ce nombre est entier et on en déduit que $u_{n+1}$ est divisible par $5^{n +2}$ : c'est la propriété $P_{n+1}$.

Si $P_n$ est vraie, $P_{n+1}$ l'est également : la propriété est héréditaire.

Conclusion : $P_0$ est vraie et la propriété est héréditaire, donc la propriété est vraie pour tout $n$ :  pour tout entier naturel $n,~u_{n}$ est divisible par $5^{n+1}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
	\item On a $u_{0} = \np{2009}^{2} -1$, donc $u_{1} = \big(\np{2009}^{2} -1 + 1\big)^5 - 1 = \big(\np{2009}^{2}\big)^5 - 1 = \np{2009}^{10} -1 $.\\
	Ensuite : $u_{2} = \big(\np{2009}^{10} -1 + 1\big)^5 - 1 = \big(\np{2009}^{10}\big)^5 - 1 = \np{2009}^{50} -1 $.\\
	Et enfin : $u_{3} = \big(\np{2009}^{50} -1 + 1\big)^5 - 1 = \big(\np{2009}^{50}\big)^5 - 1 = \np{2009}^{250} -1 $.\\
On en déduit, comme $u_3$ est divisible par $5^4$ (d'après la question précédente) que $\np{2009}^{250}-1$ est divisible par $5^4 = 625$, ce qui donne : $\np{2009}^{250} \equiv  1 \pmod {625}$. 
	\item 
\begin{tabular}[t] {l c l}
$\np{2009}^{\np{8001}}$ &$\equiv$ & $\Big(\big(\np{2009}^{250}\big)^4\Big)^8 \times \np{2009} \pmod {625}$\\
	 &$\equiv$& $1^{32} \times \np{2009} \pmod {625}$\\
	 &$\equiv$& $\np{2009} \pmod {625}$\\
\end{tabular}
	\end{enumerate}  
\end{enumerate}

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\textbf{Partie C}

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\begin{enumerate}
\item La \textbf{partie A} a permis de montrer que $\np{2009}^{\np8001} - \np{2009}$ est divisible par 16, il existe donc un entier $m$ tel que $\np{2009}^{\np8001} - \np{2009} = 16m$. La \textbf{partie B} a permis de montrer que $16m$ est divisible par $625$.

Puisque $16=2^4$ et que $625 =5^4$ : ces deux nombres n'ont aucun facteur premier commun, ils sont donc premiers entre eux, on peut donc appliquer le théorème de Gauss, et on en déduit que $625$ doit donc diviser $m$ et il existe donc un entier $m'$ tel que $m = 625m'$ et finalement 

$\np{2009}^{\np8001} - \np{2009} = 16 \times 625m' = \np{10000}m'$.\\
$m'$ étant entier, on vient de démontrer que $\np{10000}$ divise $\np{2009}^{\np8001} - \np{2009}$.
\item  On a donc $\np{2009}^{\np{8001}} \equiv  2009 \pmod{\np{10000}}$ et donc, comme $\np{2009}^{\np{8001}} = \big(\np{2009}^{\np{2667}}\big)^3$, on peut affirmer que $\np{2009}^{\np{2667}}$ est un entier dont le cube est un entier s'écrit sous forme décimale en se terminant par $\np{2009}$

\end{enumerate}

\end{document}