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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
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pdftitle = {Polynésie Sujet 1 septembre 2023},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1 -- corrigé}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat Polynésie septembre 2023~\decofourright\\[7pt]   ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ - Sujet 1}}
\end{center}

%Durée de l'épreuve : 4 heures
%
%L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
%
%L'usage de la calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé.
%
%\textbf{Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée.}
%
%\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 4 points \hfill Thème: probabilités}

\medskip

Une concession automobile vend des véhicules à moteur électrique et des véhicules à moteur thermique.

Certains clients, avant de se rendre sur le site de la concession, ont consulté la plate- forme numérique de la concession. On a ainsi observé que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$~~]20\,\% des clients sont intéressés par les véhicules à moteur électrique et 80\,\% préfèrent s'orienter vers l'achat d'un véhicule à moteur thermique ;
\item[$\bullet$~~]lorsqu'un client souhaite acheter un véhicule à moteur électrique, la probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique est de $0,5$ ;
\item[$\bullet$~~]lorsqu'un client souhaite acheter un véhicule à moteur thermique, la probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique est de $0,375$.
\end{itemize}

\begin{list}{\textbullet}{On considère les évènements suivants:}
\item $C$ : \og un client a consulté la plate-forme numérique \fg{} ;
\item $E$ : \og un client souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique \fg{} ;
\item $T$ : \og un client souhaite acquérir un véhicule à moteur thermique \fg.
\end{list}

Les clients font des choix indépendants les uns des autres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On résume les informations dans un arbre pondéré.

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$E$}\naput{$0,2$}}
 	  {
 		\TR{$C$}\naput{$0,5$}
 		\TR{$\overline{C}$}\nbput{\blue $1-0,5=0,5$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$T$}\nbput{$0,8$}}
 	  {
 		\TR{$C$}\naput{$0,375$}
        \TR{$\overline{C}$}\nbput{\blue $1-0,375=0,625$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}
		
La probabilité qu'un client choisi au hasard souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique et ait consulté la plate-forme numérique est:

$P(E\cap C)= P(E)\times P_{E}(C)=0,2\times 0,5 = 0,1$.
		
%On pourra utiliser un arbre pondéré.
		\item %Démontrer que $P(C) = 0,4$.
D'après la formule des probabilités totales:

$P(C)=P(E\cap C) + P(T\cap C)= 0,1+0,8\times 0,375 = 0,4$.
		
		\item On suppose qu'un client a consulté la plate-forme numérique; la probabilité qu'il souhaite acheter un véhicule à moteur électrique est :

$P_{C}(E)= \dfrac{P(E\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0,1}{0,4} = 0,25$.
	\end{enumerate}
\item La concession accueille quotidiennement $17$ clients en moyenne.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de clients souhaitant acquérir un véhicule à moteur électrique.

	\begin{enumerate}
		\item %Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
Les clients font des choix indépendants les uns des autres, donc on a une répétition de 17 épreuves indépendantes dont la probabilité de succès de chacune est $p=0,2$.

La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=17$ et $p=0,2$.

		\item La probabilité qu'au moins trois des clients souhaitent acheter un véhicule à moteur électrique lors d'une journée est $P(X\geqslant 3)$.
		
$P(X\geqslant 3) = 1-P(X<3) = 1- P(X\leqslant 2) \approx 1- \np{0,3096}$

Donc la probabilité cherchée est d'environ $0,69$.
%Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 6 points \hfill Thème: fonctions}

%\medskip
%
%\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$f(x) = \left(x + \dfrac12\right)\e^{-x} + x.$

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On détermine les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Limite en $-\infty$

$\left .
\begin{array}{r}
\left .
\begin{array}{l}
\ds\lim_{x\to -\infty} \left (x+\dfrac{1}{2}\right )=-\infty\\
\ds\lim_{x\to -\infty} \e^{-x} = +\infty\\
\end{array}
\right \}
\ds\lim_{x\to -\infty} \left (x+\dfrac{1}{2}\right ) \e^{-x}=-\infty\\
\ds\lim_{x\to -\infty} x = -\infty
\end{array}
\right \}
\text{ donc }\ds\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$

\item Limite en $+\infty$

$f(x)= x\e^{-x} + \dfrac{1}{2}\e^{-x} +x$.
On sait que $\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et que\\

$\ds\lim_{x\to +\infty}  \dfrac{\e^{x}}{x}=+\infty$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty}  \dfrac{x}{\e^{x}}=0$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty}  x\e^{-x}=0$.

$\left .
\begin{array}{l}
\ds\lim_{x\to +\infty} x \e^{-x}=0\\
\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{2}\e^{-x} = 0\\
\ds\lim_{x\to +\infty} x = +\infty
\end{array}
\right \}
\text{ donc }\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
\end{list}

\item On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que, pour tout $x \in \R$, $f''(x) = \left(x - \dfrac32\right) \e^{-x}.$
Pour tout $x$ de $\R$, $f(x)= \left (x+\dfrac{1}{2}\right )\e^{-x}  +x$ donc

$f'(x)=1\times \e^{-x} + \left (x+\dfrac{1}{2}\right )\times (-1) \e^{-x} + 1
= \left ( -x +\dfrac{1}{2}\right )\e^{-x}+1$, et donc

$f''(x)= -1\times \e^{-x} + \left (-x+\dfrac{1}{2}\right )\times (-1) \e^{-x}
= \left ( x-\dfrac{3}{2}\right )\e^{-x}$. 

		\item %En déduire les variations et le minimum de la fonction $f'$ sur $\R$.
Le signe de $f''$ donne les variations de $f'$.

Pour tout $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f''(x)$ est du 	signe de $\left (x-\dfrac{3}{2}\right )$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Si $x<\dfrac{3}{2}$, $f''(x)<0$ donc $f'$ est décroissante;
\item Si $x>\dfrac{3}{2}$, $f''(x)>0$ donc $f'$ est croissante;
\item Si $x=\dfrac{3}{2}$, $f''(x)=0$ donc $f'$ admet un minimum égal à \\
$f'\left (\dfrac{3}{2}\right ) = \left (-\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}\right )\e^{-\frac{3}{2}}+1=1-\e^{-\frac{3}{2}}$.
\end{list}

		\item %Justifier que pour tout $x \in \R,\: f'(x) > 0$.
La fonction $f'$ admet pour minimum

$f'\left (\dfrac{3}{2}\right ) =1-\e^{-\frac{3}{2}} \approx 0,78>0$; donc   pour tout $x \in \R,\: f'(x) > 0$.
		
		\item %En déduire que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $\R$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ donc continue sur $\R$.
\item Pour tout réel $x$, $f'(x)>0$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\item $\ds\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$
\item $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
\end{list}		

Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique dans $\R$.
		
		\item %Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ de cette solution.
On appelle $\alpha$ la solution de l'équation $f(x) = 0$.

$\left .
\begin{array}{l}
f(-1)\approx -2,36<0\\
f(0)=0,5>0
\end{array}
\right \}
\text{ donc } \alpha\in \left [-1\;;\;0\strut\right ]$
		
$\left .
\begin{array}{l}
f(-0,3)\approx -0,03<0\\
f(-0,2)\approx 0,17>0
\end{array}
\right \}
\text{ donc } \alpha\in \left [-0,3\;;\;-0,2\strut\right ]$

$\left .
\begin{array}{l}
f(-0,29)\approx -0,009<0\\
f(-0,28)\approx 0,011>0
\end{array}
\right \}
\text{ donc } \alpha\in \left [-0,29\;;\;-0,28\strut\right ]$
		
$\left .
\begin{array}{l}
f(-0,286)\approx -0,001<0\\
f(-0,285)\approx \np{0,0009}>0
\end{array}
\right \}
\text{ donc } \alpha\in \left [-0,286\;;\;-0,285\strut\right ]$		

Donc $-0,285$ est une valeur approchée à $10^{-3}$ de la solution de l'équation $f(x)=0$.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip

On considère une fonction $h$, définie et dérivable sur $\R$, ayant une expression de la forme 

\hfill$h(x)= (ax + b)\e^{-x} + x$, \:où $a$ et $b$\: sont deux réels.\hfill\null

\begin{list}{\textbullet}{Dans un repère orthonormé ci-après figurent:}
\item la courbe représentative $\mathcal{C}_h$ de la fonction $h$ ;
\item les points A et B de coordonnées respectives $(-2~;~-2,5)$ et $(2~;~3,5)$.
\end{list}

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-5.9,-4.9)(5.9,5.9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-5.9,-4.9)(5.9,5.9)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-4}{4}{1.5 x mul 0.5 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-4}{5}{x 0.5 add 2.71828 x exp div x add}
\psdots(-2,-2.5)(2,3.5)
\uput[r](-2,-2.5){A}\uput[r](2,3.5){B}\uput[dr](3.8,4){\cyan $\mathcal{C}_h$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-4}{5}{x 0.816 mul 0.736 add}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,showpoints](1.5,0)(1.5,1.95)
\uput[d](1.5,0){\red $1,5$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Avec la précision permise par le graphique, on peut conjecturer que la courbe représentative de la fonction $h$ admet un unique point d'inflexion d'abscisse  $1,5$.

\item On admet que $h''(x) = - \dfrac32 \e^{- x} + x\e^{- x}$.

$h''(x)=0
\iff
-\dfrac{3}{2}\e^{-x}+x\e^{-x}=0
\iff
\left (x-\dfrac{3}{2}\right )\e^{-x}=0
\iff
x-\dfrac{3}{2}=0
\iff
x=1,5$

La conjecture est donc vérifiée.

\item Déterminer une équation de la droite (AB) c'est chercher l'ensemble des points de coordonnées $(x~;~y)$ tels que:
$\dfrac{y-y_{\text A}}{x-x_{\text A}} = \dfrac{y_{\text B}-y_{\text A}}{x_{\text B}-x_{\text A}}$.

$\dfrac{y-y_{\text A}}{x-x_{\text A}} = \dfrac{y_{\text B}-y_{\text A}}{x_{\text B}-x_{\text A}}
\iff
\dfrac{y+2,5}{x+2} = \dfrac{3,5 + 2,5}{2 + 2}
\iff
\dfrac{y+2,5}{x+2} = \dfrac{6}{4}
\iff
y+2,5 = \dfrac{6}{4}\left (x+2\right )\\
\phantom{\dfrac{y-y_{\text A}}{x-x_{\text A}} = \dfrac{y_{\text B}-y_{\text A}}{x_{\text B}-x_{\text A}}}
\iff
y=\dfrac{3}{2}x +3-2,5
\iff
y=1,5x + 0,5$

La droite (AB) a pour équation: $y =1,5x + 0,5$.

\item La droite (AB) est tangente à la courbe représentative de la fonction $h$ au point d'abscisse 0, donc $h'(0)=1,5$.

$h'(x)=a\times \e^{-x} +  (ax+b)\times (-1)\e^{-x}+1
=  (-ax+a-b )\e^{-x}+1$

$h'(0)=1,5
\iff
(a-b)\e^{0}+1=1,5
\iff
a-b=0,5$

La droite (AB) coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $0,5$ donc $h(0)=0,5$.

$h(0)=0,5
\iff
(0+b)\e^{0}+0=0,5
\iff
b=0,5$

Comme $a-b=0,5$, on en déduit que $a=1$.

Donc $h(x)=(x+0,5)\e^{-x}+x=f(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 5 points \hfill Thème: suites, algorithmique}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x) = \dfrac34 x^2 - 2x + 3.$

\begin{enumerate}
\item % Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
$f'(x)=\dfrac{3}{2}x -2 = \dfrac{3}{2}\left (x-\dfrac{4}{3}\right )$, donc $f'(x)$ est du signe de $x-\dfrac{4}{3}$ donc s'annule et change de signe pour $x=\dfrac{4}{3}$.

$f$ est une fonction polynôme donc:

$\ds\lim_{x\to -\infty} f(x) = \ds\lim_{x\to -\infty} \dfrac{3}{4}x^2 = +\infty$
et
$\ds\lim_{x\to +\infty} f(x) = \ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{3}{4}x^2 = +\infty$.

De plus, $f\left(\dfrac43\right) = \dfrac34 \times \dfrac43 \times \dfrac43 - 2\times \dfrac43 + 3 = \dfrac43 - \dfrac83 + \dfrac93 = \dfrac53$.

On établit le tableau des variations de $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & -\infty & \esp & \frac{4}{3} & \esp & +\infty \\
\hline
x-\frac{4}{3} &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\
 \hline
f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{+\infty}  &  &  &  & \Rnode{max2}{+\infty}   \\
f(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{\frac{5}{3}} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item %En déduire, que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left[\dfrac43~;~2\right]$,\: $f(x)$ appartient à l'intervalle $\left[\dfrac43~;~2\right]$.
D'après le résultat précédent la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[\dfrac43~;~2\right]$.

On a donc : $\dfrac43 \leqslant x \leqslant 2 \Longrightarrow f\left(\dfrac43\right) \leqslant f(x) \leqslant f(2)$.

Or $f\left(\dfrac43\right) = \dfrac53$ et $f(2) = \dfrac34 \times 4 - 2 \times 2 + 3 = 3 - 4 + 3 = 2$.

Donc $\dfrac53 \leqslant f(x) \leqslant  2$ et \emph{a fortiori} : $\dfrac43 \leqslant f(x) \leqslant 2$.

\item% Démontrer que pour tout $x$ réel, $x \leqslant f(x)$.
%
%Pour cela, on pourra démontrer que pour tout réel $x$ :
%$f(x) - x = \dfrac34(x - 2)^2.$

$f(x)-x = \dfrac{3}{4} x^2 -2x+3-x = \dfrac{3}{4}x^2 - 3x +3 = \dfrac{3}{4}\left ( x^2 -4x+4 \right ) = \dfrac{3}{4} \left (x-2\right )^2$ 

Pour tout réel $x$, $(x-2)^2\geqslant 0$ donc $f(x)-x \geqslant 0$ donc $x\leqslant f(x)$.
\end{enumerate}

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par un réel $u_0$ et pour tout  $n\in\N$ : $u_{n+1} = f\left(u_n\right).$

On a donc, pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1} = \dfrac34 u_n^2 - 2u_n + 3.$

\begin{enumerate}[resume]
\item Étude du cas: $\dfrac43 \leqslant u_0 \leqslant  2$.
	\begin{enumerate}
		\item On va démontrer par récurrence que  la propriété $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

D'après la question précédente, pour $x\in\left [ \dfrac{4}{3}\;;\;2\right ]$, on a $x\leqslant f(x)$. \\
Or $u_0\in\left [ \dfrac{4}{3}\;;\;2\right ]$ donc $u_0\leqslant f(u_0)$, ce qui revient à $u_0\leqslant u_1$.

De plus, si $x\in\left [ \dfrac{4}{3}\;;\;2\right ]$, $f(x)\in\left [ \dfrac{4}{3}\;;\;2\right ]$.\\
Or $u_0\in\left [ \dfrac{4}{3}\;;\;2\right ]$ donc  $f(u_0)\in\left [ \dfrac{4}{3}\;;\;2\right ]$ et donc $u_1 \in\left [ \dfrac{4}{3}\;;\;2\right ]$ et donc $u_{n+1}\leqslant 2$.

Donc $u_0\leqslant u_1 \leqslant 2$; la propriété est vraie au rang $n=0$.

\item \textbf{Hérédité}

On suppose la propriété vraie au rang $n$, c'est-à-dire $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 2$.

On est dans l'intervalle $\left [ \dfrac{4}{3}\;;\;2\right ]$ donc la fonction $f$ est croissante; on en déduit: $f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(2)$.

Or $f(u_n)=u_{n+1}$, $f(u_{n+1})=u_{n+2}$ et $f(2)=2$.

Donc on a: $u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 2$; la propriété est héréditaire.
\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$; d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout  $n\in\N$.
\end{list}
		\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
Pour tout $n$, on a $u_n \leqslant u_{n+1}\leqslant 2$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée; d'après le théorème de la convergence monotone, la suite 
$\left(u_n\right)$ est convergente vers une limite $\ell$ telle que $\ell \leqslant 2$.

		\item %Prouver que la limite de la suite est égale à 2.
La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $f(u_n)=u_{n+1}$ où $f$ est une fonction polynôme donc continue. 

La suite $\left(u_n\right)$ est convergente vers $\ell$ donc la limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$.

$f(\ell) = \ell \iff f(\ell)-\ell=0 \iff \dfrac{3}{4}\left(\ell -2\right )^2= 0 \iff \ell = 2$.

La suite $\left(u_n\right)$ converge donc vers 2.


	\end{enumerate}
\item Étude du cas: $u_0 = 3$.
On admet que dans ce cas la suite $\left(u_n\right)$ tend vers $+\infty$.

On complète la fonction \og \texttt{seuil} \fg{} suivante écrite en Python, afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ soit supérieur ou égal à 100.

\begin{center}
\texttt{
\begin{tabular}{|l|}\hline
def seuil() :\\
\quad  u = 3\\
\quad  n = 0\\
\quad while {\blue u < 100}\\
\quad\qquad  u = {\blue 3*u*u/4 - 2*u + 3}\\
\quad\qquad  n = {\blue n + 1}\\
\quad return n\\ \hline
\end{tabular}}
\end{center}

\newpage

\item Étude du cas : $u_0 > 2$.
%À l'aide d'un raisonnement par l'absurde, montrer que $\left(u_n\right)$ n'est pas convergente.

Pour tout réel $x$, on a: $x\leqslant f(x)$ donc, pour tout $n$, $u_n\leqslant f(u_n)$ soit $u_n\leqslant u_{n+1}$ ; la suite $(u_n)$ est donc croissante.

On en déduit que pour tout $n$, on a: $u_n\geqslant u_0$.

Si la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$, on aura donc: $\ell \geqslant u_0$.

On a vu que la seule limite possible de la suite $(u_n)$ était $\ell = 2$; donc on ne peut pas avoir $\ell \geqslant u_0$ car $u_0>2$.

Pour $u_0>2$, la suite $(u_n)$ n'est donc pas convergente.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 5 points \hfill Thème: géométrie dans l'espace}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point \\ Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question traitée et la lettre de la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk{} dans lequel on considère :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$~~] les points A$(6~;~-6~;~6)$, B$(-6~;~0~;~6)$ et C$(-2~;~-2~;~11)$.
\item[$\bullet$~~] la droite $(d)$ orthogonale aux deux droites sécantes (AB) et (BC) et passant par le point A ;
\item[$\bullet$~~] la droite $\left(d'\right)$ de représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l !{=} r l}
x &  -6 - 8t\\
y & 4t & \text{avec }\:t \in \R.\\
z &  6 + 5t
\end{array}\right.\]
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Question 1}

Parmi les vecteurs suivants, lequel est un vecteur directeur de la droite $(d)$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\vect{u_1}\begin{pmatrix}-6\\3\\0\end{pmatrix}$&
\textbf{b.~} $\vect{u_2}\begin{pmatrix}1\\2\\6\end{pmatrix}$&
\textbf{c.~} $\vect{u_3}\begin{pmatrix}1\\2\\0,2\end{pmatrix}$&
\textbf{d.~} $\vect{u_4}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
Il faut déterminer quel vecteur est orthogonal à la fois à $\vectt{AB}$ et à $\vectt{BC}$.

$\vectt{AB} \begin{pmatrix} -12\\6\\0 \end{pmatrix}$ et
$\vectt{BC} \begin{pmatrix} 4\\-2\\5 \end{pmatrix}$

$\vect{u_2}\cdot\vectt{AB}=1\times (-12)+2\times 6 + 0\times 0=0$ donc $\vect{u_2}\perp \vectt{AB}$

$\vect{u_2}\cdot\vectt{BC}=1\times 4+2\times (-2) + 0\times 5=0$ donc $\vect{u_2}\perp \vectt{BC}$

\hfill\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Question 2}

Parmi les équations suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite (AB) ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~}$\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x & 2t + 6\\
y &-6\\
z& t+6
\end{array}\right. \:\text{avec }\: t \in \R$&
\textbf{b.~}$\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x & 2t - 6\\
y &- 6\\
z&- t - 6
\end{array}\right. \:\text{avec }\: t \in \R$\\
\textbf{c.~}$\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x & 2t + 6\\
y &-t -6\\
z& 6
\end{array}\right. \:\text{avec }\: t \in \R$&
\textbf{d.~}$\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x & 2t + 6\\
y & t - 6\\
z& 6
\end{array}\right. \:\text{avec }\: t \in \R$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
La droite (AB) a pour vecteur directeur $\vectt{AB}$ et parmi les quatre propositions, le seul vecteur colinéaire à $\vectt{AB}$ est celui de coordonnées $(2\;;\;-1\;;\;0)$ correspondant à la réponse c.

\hfill\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\newpage

\textbf{Question 3}

Un vecteur directeur de la droite $\left(d'\right)$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\vect{v_1}\begin{pmatrix}-6\\0\\6\end{pmatrix}$&
\textbf{b.~} $\vect{v_2}\begin{pmatrix}-14\\4\\11\end{pmatrix}$&
\textbf{c.~} $\vect{v_3}\begin{pmatrix}8\\-4\\-5\end{pmatrix}$&
\textbf{d.~} $\vect{v_4}\begin{pmatrix}8\\4\\5\end{pmatrix}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
Un vecteur directeur de la droite $\left(d'\right)$ est 
$\vect{v} \begin{pmatrix} -8\\4\\5 \end{pmatrix}$ qui est l'opposé du vecteur $\vect{v_3}$.

\hfill\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Question 4}

Lequel des quatre points suivants appartient à la droite $\left(d'\right)$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~}M$_1(50~;~-28~;~-29)$&\textbf{b.~}M$_2(-14~;~-4~;~1)$\\
\textbf{c.~}M$_3(2~;~-4~;~-1)$& \textbf{d.~}M$_4 (-3~;~0~;~3)$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
Il faut déterminer lequel des points M a des coordonnées qui vérifient le système
$\left \{
\begin{array}{l !{=} r}
x_{\text{M}} & -6-8t\\
y_{\text{M}} & 4t\\
z_{\text{M}} & 6+5t
\end{array}
\right .$

Pour M$_1$ on a: $\left \{
\begin{array}{r !{=} r}
50 & -6-8t\\
-28 & 4t\\
-29 & 6+5t
\end{array}
\right .$
qui est vérifié pour $t=-7$.

\hfill\textbf{Réponse a.}
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Question 5}

Le plan d'équation $x = 1$ a pour vecteur normal:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\vect{n_1}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$&
\textbf{b.~} $\vect{n_2}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$&
\textbf{c.~} $\vect{n_3}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$&
\textbf{d.~} $\vect{n_4}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
Le plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ a pour vecteur normal 
$\vect{n} \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ donc le plan d'équation $x=1$ a pour vecteur normal le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$.

\hfill\textbf{Réponse a.}
\end{tabular}
\end{document}