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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{27 septembre 2022 Jour 2}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Sud 27 septembre 2022~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 2}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le sujet propose 4 exercices

Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et \textbf{ne doit traiter que ces 3 exercices}

\medskip

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1 Probabilités} \hfill 7 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des composants pour l'industrie automobile. Ces composants sont conçus sur trois chaînes de montage numérotées de 1 à 3.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] La moitié des composants est conçue sur la chaîne \no 1 ;
\item[$\bullet~~$]  30\,\% des composants sont conçus sur la chaîne \no 2;
\item[$\bullet~~$]  les composants restant sont conçus sur la chaîne \no 3.
\end{itemize}

À l'issue du processus de fabrication, il apparaît que 1\,\% des pièces issues de la chaîne \no 1 présentent un défaut, de même que 0,5\,\% des pièces issues de la chaîne \no 2 et 4\,\% des pièces issues de la chaîne \no 3.

On prélève au hasard un de ces composants. On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $C_1$ l'évènement \og le composant provient de la chaîne \no 1 \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $C_2$ l'évènement \og le composant provient de la chaîne \no 2 \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $C_3$ l'évènement \og le composant provient de la chaîne \no 3 \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement \og le composant est défectueux\fg et $\overline{D}$ son évènement contraire.
\end{itemize}

\emph{Dans tout l'exercice, les calculs de probabilité seront donnés en valeur décimale exacte ou arrondie à $10^{-4}$ si nécessaire}.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Représenter cette situation par un arbre pondéré.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C_1$~}\taput{0,5}}
{\TR{$D$}\taput{0,01}
\TR{$\overline{D}$}\tbput{0,99}
}
\pstree{\TR{$C_2$~}\tbput{0,3}}
{\TR{$D$}\taput{0,005}
\TR{$\overline{D}$}\tbput{0,995}
}
\pstree{\TR{$C_3$~}\tbput{0,2}}
{\TR{$D$}\taput{0,04}
\TR{$\overline{D}$}\tbput{0,96}
}
}

\end{center}
\item %Calculer la probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne \no 3 et soit défectueux.
On a $p\left(C_3 \cap D\right) = p\left(C_3 \right) \times p_{C_3}(D) = 0,2 \times 0,04 = 0,008$.
\item %Montrer que la probabilité de l'évènement $D$ est $P(D) = \np{0,0145}$.
De même $p\left(C_1 \cap D\right) = p\left(C_1 \right) \times p_{C_1}(D) = 0,5 \times 0,01 = 0,005$.

$p\left(C_2 \cap D\right) = p\left(C_2 \right) \times p_{C_2}(D) = 0,3 \times 0,005 = \np{0,0015}$.

D'après la loi des probabilités totales :

$p(D) = p\left(C_1 \cap D\right) + p\left(C_2 \cap D\right) + p\left(C_3 \cap D\right) = 0,005 + \np{0,0015} + 0,008 = \np{0,0145}$.
\item %Calculer la probabilité qu'un composant défectueux provienne de la chaîne \no 3.
On a $p_{D}\left(C_3\right) = \dfrac{p\left(D \cap C_3\right)}{p(D)} = \dfrac{0,008}{\np{0,0145}} \approx \np{0,55172}$, soit \np{0,5517} à $10^{-4}$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

%L'entreprise décide de conditionner les composants produits en constituant des lots de $n$ unités. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de $n$ unités, associe le nombre de composants défectueux de ce lot. 
%
%Compte tenu des modes de production et de conditionnement de l'entreprise, on peut considérer que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = \np{0,0145}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Dans cette question, les lots possèdent $20$ unités. On pose $n =20$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité pour qu'un lot possède exactement trois composants défectueux.
On a la loi binomiale $\mathcal{B}(20, \:\np{0,0145})$, donc la probabilité qu'un lot possède exactement trois composants défectueux sur 20 est égale à  :

$\binom{20}{3} \np{0,0145}^3 \times (1 - \np{0,0145})^{17} \approx \np{0,00271}$, soit \np{0,0027} à $10^{-4}$ près.
		\item %Calculer la probabilité pour qu'un lot ne possède aucun composant défectueux.
La probabilité pour qu'un lot ne possède aucun composant défectueux est égale à $(1 - \np{0,0145})^{20} \approx \np{0,74667}$, soit \np{0,7467} à $10^{-4}$ près.	
	
%En déduire la probabilité qu'un lot possède au moins un composant défectueux.

Donc la probabilité qu'un lot possède au moins un composant défectueux est $ 1 -\np{0,74667}\approx \np{0,2533}$. 
	\end{enumerate}
\item  %Le directeur de l'entreprise souhaite que la probabilité de n'avoir aucun composant défectueux dans un lot de $n$ composants soit supérieure à $0,85$. 

%Il propose de former des lots de 11 composants au maximum. A-t-il raison ? Justifier la réponse.
Avec $n = 11$ et donc la loi $\mathcal{B}(11, \:\np{0,0145})$, la probabilité pour qu'un lot ne possède aucun composant défectueux est égale à $(1 - \np{0,0145})^{11} \approx \np{0,85157}$ soit \np{0,8516} à $10^{-4}$ près : le directeur a raison.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

%Les coûts de fabrication des composants de cette entreprise sont de $15$ euros s'ils proviennent de la chaîne de montage \no 1, 12 euros s'ils proviennent de la chaîne de montage \no 2 et 9 euros s'ils proviennent de la chaîne de montage \no 3.

%Calculer le coût moyen de fabrication d'un composant pour cette entreprise.
Le coût moyen de fabrication d'un composant pour cette entreprise est égal à :

\[0,5 \times 15 + 0,3 \times 12 + 0,2 \times 9 = 7,5 + 3,6 + 1,8 = 12,9\]

soit 12,90~\euro{} par composant.
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2 Fonctions, fonction logarithme} \hfill 7 points}

\medskip

%Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$, définie sur $]0~;~ +\infty[$ ,par:

\[f(x) =3x - x \ln (x) - 2 \ln (x).\]

\smallskip

\textbf{PARTIE A: Étude d'une fonction auxiliaire }\boldmath $g$ \unboldmath

\medskip

%Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par 

\[g(x) = 2(x - 1) - x \ln (x).\]

On note $g'$ la fonction dérivée de $g$. On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $g(1)$ et $g(\text{e})$.
$\bullet~~$$g(1) = 2 \times 0 - 1 \times 0 = 0$ ;

$\bullet~~$$g(\text{e}) = 2\times (\text{e} - 1) - \text{e} \times \ln \text{e} = 2\text{e} - 2  - \text{e}\ln \text{e}  = \text{e} - 2$.
\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + 0} g(x)$ en justifiant votre démarche.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + 0} x \ln x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + 0}g(x) = - 2$.
\item %Montrer que, pour tout $x > 0$,\: $g'(x) = 1 - \ln (x)$.
$g$ est une somme de produits de fonctions dérivables sur $]0~;~ +\infty[$ et sur cet intervalle :

$g'(x) = 2 \times 1  - \ln x - x \times \dfrac 1x = 2 - \ln x - 1 = 1 - \ln x$.

%En déduire le tableau des variations de $g$ sur $]0~;~ +\infty[$.
Étude du signe de la dérivée : $g'(x) = 1 - \ln x$ :

$\bullet~~1 - \ln x > 0 \iff 1 > \ln x \iff \ln \text{e} > \ln x \iff \text{e} > x$, donc $g$ est croissante sur l'intervalle $]0~;~\text{e}[$ ;

$\bullet~~1 - \ln x < 0 \iff 1 = \ln x \iff \ln \text{e} = \ln x \iff \text{e} = x$, donc $g$ est décroissante sur l'intervalle $]\text{e}~;~+ \infty[$ ;

$\bullet~~1 - \ln x = 0 \iff 1 < \ln x \iff \ln \text{e} < \ln x \iff \text{e} < x$, donc $g(\text{e}) = \text{e} - 2$ est le maximum de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$.

D'où le tableau de variations de $g$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.15,2.4){0}\uput[u](4,2.4){e}\uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$g'(x)$}\rput(2.5,2.25){+}\rput(4,2.25){0}\rput(5.5,2.25){$-$}
\rput(0.5,1){$g$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\uput[u](1.2,0){$-2$}\uput[d](4,2){$\approx 0,718$}\uput[u](6.5,0){$- \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item ~%Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions distinctes sur
%$]0~;~ +\infty[$ : 1 et $\alpha$ avec $\alpha$ appartenant à l'intervalle $[\text{e}~;~+\infty[$.

$\bullet~~$Sur l'intervalle $]0~;~\text{e}[$, la fonction $g$ est dérivable, donc continue ; comme $- 2 < 0 < \text{e}$, il existe d'après le théorème des valeurs intermédiaires un réel unique $\beta$ de l'intervalle $]0~;~\text{e}[$, tel que $g(\beta) = 0$. Or de façon évidente $g(1) = 0$, donc $\beta = 1$ ;

$\bullet~~$Sur l'intervalle $]\text{e}~;~+ \infty[$, la fonction $g$ est dérivable, donc continue ; comme 

$0,718 > 0$, il existe un réel unique $\alpha$ tel que $g(\alpha) = 0$, avec $\alpha \in ]\text{e}~;~+ \infty[$.

On a $g(4,9) \approx 0,01$ et $g(5,0) \approx - 0,05$, donc $4,9 < \alpha < 5,0$ ;

$g(4,92) \approx 0,0009$ et $g(4,93) \approx -0,005$, donc $4,92 < \alpha < 4,93$.

%On donnera un encadrement de $\alpha$ à 0,01 près.
\item %En déduire le tableau de signes de $g$ sur $]0~;~ +\infty[$.

D'après la question précédente on peut dresser le tableau de signes de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$ : 

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,2)
\psframe(7,2)\psline(0,1)(7,1)\psline(1,0)(1,2)
\uput[u](0.5,1.4){$x$}\uput[u](1.15,1.4){0}\uput[u](3,1.4){1}\uput[u](5,1.4){$\alpha$}\uput[u](6.5,1.4){$+ \infty$}
\uput[u](2,0.4,0.4){$-$} \uput[u](3,0.4){0} \uput[u](4,0.4){+}  \uput[u](5,0.4){0}  \uput[u](6,0.4){$-$}\uput[u](0.5,0.4){$g$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B : Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

On considère dans cette partie la fonction $f$, définie sur $]0~;~ +\infty[$,par 

\[f(x) = 3x- x \ln (x)- 2\ln (x).\]

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de cette fonction $f$ est donnée dans le repère \Oij{} ci-dessous. On admet que : $\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) = + \infty$.

\begin{center}
\psset{unit=0.82cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-2.01)(16,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](0,-2)(16,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-1.95)(16,5.95)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-1.95)(16,5.95)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{16}{x 3 mul x ln x 2 add mul sub}
\psplotTangent[linecolor=red,arrows=<->]{2}{2}{x 3 mul x ln x 2 add mul sub}
\uput[ur](10.5,2){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[u](15.75,0){$x$}
\uput[l](0,5.75){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ en justifiant votre démarche.
On a : $f(x) = x \left[3 - \ln x - 2 \dfrac{\ln x}{x} \right]$ ;

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - \ln x = - \infty$, donc par somme de limites 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 3 - \ln x - 2 \dfrac{\ln x}{x} = - \infty$,  et donc par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left[3 - \ln x - 2 \dfrac{\ln x}{x} \right] = - \infty$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$, par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que pour tout $x > 0$,\: $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}$.
Sur $]0~;~+ \infty[$, la fonction $f$ somme de produits de fonctions dérivables sur cet intervalle est dérivable et :

$f'(x) = 3 - \ln x - x \times \dfrac 1x - 2 \times \dfrac 1x = 3 - \ln x - 1 - \dfrac{1}{x} = 2 - \ln x  - \dfrac{2}{x}  = \dfrac{2x - x\ln x - 2}{x} = \dfrac{(x - 1) - x\ln x}{x} = \dfrac{g(x)}{x}$.
		\item %En déduire le tableau des variations de $f$ sur $]0~;~ +\infty[$.
		
Le résultat précédent montre que puisque $x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur $g(x)$ étudié à la question 5. de la partie A.

Donc $f'(x) > 0$ sur l'intervalle $[1~;~\alpha]$ : $f$ est croissante sur cet intervalle ;

$f'(x) < 0$ sur $]0~;~1[$ et sur $]\alpha~;~+ \infty[$ : $f$ est décroissante sur ces deux intervalles : ($f(\alpha) \approx 3,75$)

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(10,3)
\psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.15,2.4){0}\uput[u](4,2.4){1}\uput[u](7,2.4){$\alpha$}
\uput[u](9.5,2.4){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$-$}\rput(4,2.25){0}\rput(5.5,2.25){$+$}\rput(7,2.25){$-$}
\rput(0.5,1){$f$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)\psline{->}(7.5,1.5)(9.5,0.5)
\uput[d](1.3,2){$+ \infty$}\uput[u](4,0){$3$}\uput[u](9.5,0){$- \infty$}\uput[d](7,2){$\approx 3,73$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}	
\item %On admet que, pour tout $x > 0$, la dérivée seconde de $f$, notée $f''$, est définie par $f''(x) = \dfrac{2 - x}{x^2}$.

%Étudier la convexité de $f$ et préciser les coordonnées du point
% d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.
Comme $x^2 > 0$, pour $x > 0$, le signe de $f''(x)$ est celui de $2 - x$ :

$\bullet~~$ $2 - x > 0 \iff x < 2$ donc sur [0~;~2] la fonction $f$ est convexe ;

$\bullet~~$ $2 - x < 0 \iff x > 2$ donc sur $[2~;~+ \infty]$ la fonction $f$ est concave ;

$\bullet~~$ $2 - x = 0 \iff x = 2$ donc le point de coordonnées $(2~;~f(2))$ est le point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.

$f(2) = 6 - 2 \ln 2 - 2\ln  2 = 6 - 4\ln 2 \approx 3,23$. (voir la figure : la tangente au point d'abscisse 2 traverse la courbe)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3 Suites} \hfill 7 points}

\medskip

La population d'une espèce en voie de disparition est surveillée de près dans une réserve naturelle.

Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de 10\,\% chaque année.

Afin de compenser ces pertes, on réintroduit dans la réserve $100$ individus à la fin de chaque année.

On souhaite étudier l'évolution de l'effectif de cette population au cours du temps. Pour cela, on modélise l'effectif de la population de l'espèce par la suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente l'effectif de la population au début de l'année $2020 + n$. 

On admet que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \geqslant 0$.

Au début de l'année 2020, la population étudiée compte \np{2000} individus, ainsi $u_0 = \np{2000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ vérifie la relation de récurrence:
Diminuer de $10\,\%$ c'est multiplier par $1 - \dfrac{10}{100} = 1 - 0,10 = 0,9$.

On multiplie donc l'effectif de l'année $n$, \: $u_n$ par 0,9 puis on augmente cet effectif de 100 : on a donc 

\[u_{n+1} = 0,9u_n + 100.\]

\item ~%Calculer $u_1$ puis $u_2$.
$\bullet~~u_0 = \np{2000}$,d'où $u_1 = 0,9 \times \np{2000} + 100 = \np{1800} + 100 =\np{1900}$ ;

$\bullet~~u_1 = \np{1900}$,d'où $u_2 = 0,9 \times \np{1900} + 100 = \np{1710} + 100 = \np{1810}$.
\item %Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :\: $\np{1000} < u_{n+1}  \leqslant u_n$.
\emph{Initialisation} : $\np{1000} < \np{1900}  \leqslant \np{2000}$, soit $\np{1000} < u_{1}  \leqslant u_0$ : l'encadrement est vrai au rang $n = 0$.

\emph{Hérédité} : on suppose que pour $n \in \N$, \: $\np{1000} < u_{n+1}  \leqslant u_n$.

En multipliant chaque membre par 0,9, on obtient : $0,9 \times \np{1000} < 0,9 \times u_{n+1}  \leqslant 0,9 \times u_n$ puis en ajoutant 100 à chaque membre on obtient :

$900 + 100 < 0,9u_{n+1} + 100 \leqslant 0,9u_n + 100$, soit :

$\np{1000} < u_{n+2}  \leqslant u_{n+1}$ : l'encadrement est vrai au rang $n + 1$.

L'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est vrai au rang $n$, il l'est encore au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence pour tout entier naturel $n$ :\: $\np{1000} < u_{n+1}  \leqslant u_n$.
\item %La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.
La récurrence précédente montre que : 

\begin{itemize}
\item la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante ($u_{n+1}  \leqslant u_n$) ;
\item la suite $\left(u_n\right)$ est minorée par \np{1000}
\end{itemize}

La suite $\left(u_n\right)$ converge.

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \np{1000}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,9$.
Pour tout entier naturel $n$, \: $v_{n+1} = u_{n+1} - \np{1000}$, soit $v_{n+1} = 0,9u_{n} + 100 - \np{1000}$, ou encore $v_{n+1} = 0,9u_n - 900 = 0,9\left(u_n - \np{1000}\right)$ et enfin :

\[v_{n+1} = 0,9v_n.\]

Cette égalité vraie pour tout naturel $n$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ rdt une suite géométrique de raison 0,9.
		\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = \np{1000} \left(1 + 0,9^n\right)$.
On a donc $v_0 = u_0 - u_0 - \np{1000} = \np{2000} - \np{1000} = \np{1000}$.

On sait que pour tout naturel $n$, \: $v_n = v_0 \times q^n$ (avec $q = 0,9$), soit $v_n = \np{1000} \times 0,9^n$.

Or $v_n = u_n - \np{1000} \iff u_n = v_n + \np{1000}$, soit $u_n = \np{1000}\times 0,9^n + \np{1000} = \np{1000}\left(1 + 0,9^n\right)$.
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
		
%En donner une interprétation dans le contexte de cet exercice.
Comme $0 < 0,9 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,9^n = 0$, donc 
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 1 + 0,9^n = 1$ et par conséquent :

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = \np{1000}.\]

Cela signifie qu'au bout de nombreuses années la population va se rapprocher de \np{1000} individus.
	\end{enumerate}

\item On souhaite déterminer le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la population passe en dessous d'un certain seuil $S$ (avec $S > \np{1000}$).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n \leqslant \np{1020}$.

On a $u_n \leqslant \np{1020} \iff \np{1000}\left(1 + 0,9^n\right)\leqslant \np{1020} \iff\np{1000} + \np{1000} \times 0,9^n \leqslant \np{1020}$

$ \iff \np{1000} \times 0,9^n \leqslant 20 \iff 0,9^n \leqslant 0,02 \iff  n \ln 0,9 \leqslant \ln 0,02 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0,02}{\ln 0,9}$ \: (car $\ln 0,9 < 0$).

La calculatrice donne $\dfrac{\ln 0,02}{\ln 0,9} \approx 37,1$, donc le plus petit entier tel que $u_n \leqslant \np{1020}$ est $n = 38$\: ($u_{38} \approx \np{1018,25}$).

%Justifier la réponse par un calcul.
	\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.58\linewidth}
	\begin{enumerate}[resume]
		\item %Dans le programme Python ci-contre, la variable $n$ désigne le nombre d'années écoulées depuis 2020, la variable $u$ désigne l'effectif de la population. 
		
%Recopier et compléter ce programme afin qu'il retourne le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la population passe en dessous du seuil $S$.
	\end{enumerate}

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{tabular}{|c l|}\hline
1&\texttt{def population(S) :}\\
2&\quad \texttt{n=0}\\
3&\quad \texttt{u=2000}\\
4& \\
5&\quad \texttt{while {\red u >\np{1020}}} :\\
6&\quad \quad \texttt{u= {\red 0.9*u+100}}\\
7&\quad \quad \texttt{n = {\red n + 1}}\\
8&\quad \texttt{return {\red n}}\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4 Géométrie dans l'espace} \hfill 7 points}

\bigskip

\begin{minipage}{0.41\linewidth}
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère les points 

\[\text{A}(0~;~8~;~6),\quad  \text{B}(6~;~4~;~4 )\quad \text{et C}(2~;~4~;~0).\]

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1.8,-1.8)(5.4,3.8)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.7,-0.6)(4.8,3)(0.4,0.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(5.4,3.8)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.8,-1.8)
\multido{\n=0+-0.3}{7}{\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](\n,\n)}
\multido{\n=0+0.6}{9}{\psline(\n,-0.05)(\n,0.05)}
\multido{\n=0+0.5}{8}{\psline(-0.05,\n)(0.05,\n)}
\psline[linestyle=dashed](4.8,0)(4.8,3)(0,3)
\psframe[linestyle=dashed](-1.8,-1.8)(0.4,0.4)
\psframe[linestyle=dashed](2.4,2)
\psline[linestyle=dashed](-1.8,0.4)(0,2)
\psline[linestyle=dashed](0.4,-1.8)(2.4,0)
\psline[linestyle=dashed](0.4,0.4)(2.4,2)
\psline[linestyle=dashed](-0.6,-0.6)(1.8,-0.6)
\uput[d](0,0){\small O} \uput[ul](-0.15,-0.2){\footnotesize $\vect{\imath}$}
\uput[d](0.3,0){\footnotesize $\vect{\jmath}$}
\uput[l](0,0.3){\footnotesize $\vect{k}$}
\uput[l](-1.8,-1.8){$x$}\uput[d](5.3,0){$y$}\uput[l](0,3.7){$z$}

\uput[ur](4.8,3){A} \uput[ul](0.4,0.4){B} \uput[dr](1.7,-0.6){C}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.
On a $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}6\\-4\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}2\\-4\\-6\end{pmatrix}$ : ces deux vecteurs ne sont manifestement pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
		\item %Montrer que le vecteur $\vect{n}(1~;~2~;~-1)$ est un vecteur normal au plan (ABC).
On a $\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} = 6 - 8 + 2 = 0$ et $\vect{n} \cdot \vect{\text{AC}} = 2 - 8 + 6 = 0$.

Le vecteur $\vect{n}$ orthogonal à deux deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) est donc normal à ce plan. 
		\item %Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
$M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff \vect{\text{A}M} \cdot \vect{n} = 0$.

Avec $\vect{\text{A}M}\begin{pmatrix}x - 0\\y - 8\\z - 6\end{pmatrix}$, on a donc :

$\vect{\text{A}M} \cdot \vect{n} = 0 \iff x + 2(y - 8) -(z - 6) = 0 \iff x + 2y - z - 16 + 6 = 0$.

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff x + 2y - z - 10 = 0$.
	\end{enumerate}
\item Soient D et E les points de coordonnées respectives (0~;~0~;~6) et (6~;~6~;~0).
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DE).
		Un vecteur directeur de la droite (DE) est le vecteur $\vect{\text{DE}}\begin{pmatrix}6\\6\\- 6\end{pmatrix}$ ou plus simplement $\dfrac16\vect{\text{DE}}\begin{pmatrix}1\\1\\- 1\end{pmatrix}$.
		
D'où $M(x~;~y~;~z) \in (\text{DE}) \iff \text{il existe } t \in \R : \: \vect{\text{D}M} = t\times \dfrac16 \vect{\text{DE}}$.

Avec $\vect{\text{D}M}\begin{pmatrix}x - 0\\y - 0\\z - 6\end{pmatrix}$ et $\dfrac16\vect{\text{DE}}\begin{pmatrix}1\\1\\- 1\end{pmatrix}$, on obtient :

$\vect{\text{D}M} = t\times \dfrac16 \vect{\text{DE}} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t \times 1\\
y&=&t \times 1 \\
z - 6&=& t \times (- 1)
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&t\\
y&=&t \\
z&=&6 - t
\end{array}\right.$
		\item %Montrer que le milieu I du segment [BC] appartient à la droite (DE).
On a I(4~;~4~;~2) ; ce point appartient bien à la droite (DE) car ces coordonnées correspondent à la valeur $t = 4$.
	\end{enumerate}	
\item On considère le triangle ABC.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la nature du triangle ABC.
		
On a $\|\vect{\text{AB}}\|^2 = 36 + 16 + 4 = 56$ d'où AB $= \sqrt{56}$ ;

De même $\|\vect{\text{AC}}\|^2 =  4 + 16 + 36 = 56$ d'où AC $= \sqrt{56}$.

AB = AC donc ABC est un triangle isocèle en A.
		\item %Calculer l'aire du triangle ABC en unité d'aire.
		I est le milieu de la base [BC] du triangle isocèle, donc (AI) est médiane et aussi hauteur du triangle. Son aire est donc égale à $\mathcal{A}(\text{ABC}) = \frac{\text{AI} \times \text{BC}}{2}$.
		
AI$^2 = 4^2 + (- 4)^2 + (- 4)^2 = 16 + 16 + 16 = 48$, d'où AI $ = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

BC$^2 = (- 4)^2 + 0^2 + (- 4)^2 = 16 + 16 = 32$, d'où BC $ = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Donc $\mathcal{A}(\text{ABC}) = \dfrac{4\sqrt{3} \times 4\sqrt{2}}{2} = 8 \sqrt{6}$.
		\item %Calculer $\vect{\text{AB}}  \cdot \vect{\text{AC}}$.
$\vect{\text{AB}}  \cdot \vect{\text{AC}} = 12 + 16 + 12 = 40$.
		\item %En déduire une mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ arrondie à $0,1$ degré.
		
On a également $\vect{\text{AB}}  \cdot \vect{\text{AC}} = \text{AB} \times \text{AC} \times \cos \widehat{\text{BAC}}$.

On a donc $40 = \sqrt{56} \times \sqrt{56} \times \cos \widehat{\text{BAC}} \iff 40 = 56 \times \cos \widehat{\text{BAC}} \iff \cos \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{40}{56} = \dfrac{5}{7}$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{BAC}}  \approx 44,41$, soit $44,1\degres$ à 0,1 près.
	\end{enumerate}	
\item On considère le point H de coordonnées $\left(\dfrac53~;~\dfrac{10}{3}~;~\dfrac53\right)$.

Montrer que H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). 

En déduire la distance du point O au plan (ABC).

Si K$(x~;~y~;~z)$ est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC) le vecteur $\vect{\text{OK}}$ orthogonal au plan est donc colinéaire au vecteur $\vect{n}$.

On a donc $\vect{\text{OK}} = \alpha\vect{n}\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\alpha\\
y&=&2\alpha\\
z&=&- \alpha
\end{array}\right.$

Mais K appartient au plan (ABC) : ses coordonnées vérifient donc l'équation du plan ; on a donc :

K$ \in (\text{ABC}) \iff \alpha + 2\times 2\alpha - (- \alpha) - 10 = 0 \iff 6\alpha - 10 = 0 \iff 6\alpha = 10 \iff 3\alpha = 5 \iff \alpha = \dfrac53$.

Les coordonnées de K sont donc $\left(\dfrac53~;~\dfrac{10}{3}~;~- \dfrac53\right)$ : ce sont bien celles de H !

La distance de O au plan (ABC) est donc égale à OH.

OH$^2 = \left(\dfrac53\right)^2 + \left(\dfrac{10}{3}\right)^2 + \left(- \dfrac{5}{3}\right)^2 = \dfrac{25}{9} + \dfrac{100}{9} + \dfrac{25}{9} = \dfrac{150}{9}$.

Donc OH $ = \sqrt{\dfrac{150}{9}} = \dfrac{\sqrt{150}}{\sqrt 9} = \dfrac{\sqrt{25 \times 6}}{3} = \dfrac{5 \sqrt{6}}{3}$.
\end{enumerate}
\end{document}