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%Tapuscrit :Jean-Claude Souque
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien hôtellerie}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane Métropole}}
\rfoot{\small{20 juin 2016}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\[5pt]Antilles-Guyane  La Réunion Métropole 20 juin 2016}}

\vspace{0,25cm}
 
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}

\medskip

Un artisan affine lui-même ses fromages. Sa cave en contient six cents.

60\,\% de ces fromages sont fabriqués avec du lait de vache, un quart avec du lait de chèvre et le reste avec
du lait de brebis.

55\,\% des fromages de la cave sont fabriqués avec du lait cru, le reste est fabriqué avec du lait pasteurisé.

Les deux-tiers des fromages fabriqués avec du lait de vache le sont avec du lait cru.

Cinquante fromages sont fabriqués avec du lait de brebis pasteurisé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau donné en \textbf{annexe (à rendre avec la copie)}.
\item L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse : \og 25\,\% des fromages fabriqués avec du lait de brebis ou de chèvre sont produits à partir de lait pasteurisé \fg ? Justifier la réponse.
\item L’apprenti du fromager choisit au hasard un fromage dans la cave.

On considère les évènements :
\begin{description}
\item[] $V$ : \og l'apprenti a choisi un fromage fabriqué avec du lait de vache \fg ;
\item[] $B$ : \og l'apprenti a choisi un fromage fabriqué avec du lait de brebis \fg ;
\item[] $C$ : \og l'apprenti a choisi un fromage fabriqué avec du lait cru \fg.
\end{description}
\begin{enumerate}
\item  Définir par une phrase l'évènement $\overline{V}$ puis calculer sa probabilité.
\item Définir par une phrase l'évènement $B\cap C$  puis calculer sa probabilité.
\item Comment se note l'évènement : \og l'apprenti a choisi un fromage fabriqué avec du lait de brebis ou avec du lait cru \fg{} ?

Calculer la probabilité de cet évènement.
\end{enumerate}
\item L'apprenti a choisi un fromage fabriqué avec du lait de brebis.

Quelle est la probabilité que ce fromage soit fabriqué avec du lait cru ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill(11 points)}
\bigskip

Le tempérage est une technique utilisée pour obtenir un chocolat craquant et brillant, destiné à réaliser des enrobages, des bonbons, des moulages, \dots

Tempérer le chocolat consiste à le travailler en trois étapes afin de lui donner une forme stable.

On s’intéresse ici uniquement au tempérage du chocolat noir.

\begin{itemize}
\item [$\bullet$]  \textbf{Première étape : fonte ou pré-cristallisation.} Cette étape consiste à chauffer le chocolat pour le rendre liquide. Pour le chocolat noir, ceci est réalisé pour toute température comprise entre 45\degres~C
et 55~\degres C. Le dépassement de cette dernière température risque de cuire le chocolat et de le rendre inutilisable pour la suite.
\item [$\bullet$] \textbf{ Deuxième étape : cristallisation.} Au cours de cette étape, on laisse refroidir le chocolat pour qu’il atteigne une température inférieure à 31\degres~C, avant qu’il ne soit réchauffé.
\item [$\bullet$] \textbf{Troisième étape : utilisation}. Au cours de cette étape, on réchauffe le chocolat pour qu’il atteigne sa température idéale de travail, à savoir 31\degres~C.
\end{itemize}

\medskip

La courbe donnée \textbf{en annexe} est la courbe de référence utilisée pour le tempérage du chocolat noir.

\medskip
\textbf{Partie A : étude du tempérage du chocolat noir.}
\medskip

\emph{La courbe donnée en annexe pourra être utilisée comme support d’explication des réponses.}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Combien de temps la première étape dure-t-elle ?
\item Quelle est la température à la fin de l'étape de cristallisation ?
\item Un pâtissier désire préparer des bonbons au chocolat. Pour cela, il doit tempérer du chocolat noir. Au bout de 5 minutes, le thermomètre indique une température de 60\degres~C.

Le chef pâtissier lui demande de recommencer l'opération. Pourquoi ?
\item  À un moment donné de l'étape de cristallisation, le thermomètre indique 41\degres~C.

Combien de temps reste-t-il avant que le chocolat atteigne sa température idéale de travail ?
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B : modélisation.}
\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle [0~;~12,5] par :

\[f(t) = 0,14t^3 - 3,15t^2 + 18,48t + 18\]

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle [0~;~12,5], et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Lorsque $t$ représente le temps (en minute), on admet que $f(t)$ modélise la température (en degré Celsius)
du chocolat à l'instant $t$, au cours d’une opération de tempérage.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout $t$ appartenant à l’intervalle $[0~;~12,5]$, calculer $f'(t)$ et vérifier que :

\[f'(t)= 0,42 (t-4)(t-11).\]

\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle[0~;~12,5].
\item Selon ce modèle, quelle est la température maximale atteinte lors du tempérage de ce chocolat noir ?
\item Selon ce modèle, quelle est la température atteinte au bout de 12,5 minutes ?
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\smallskip

\textbf{\textsc{Exercice  1}}

\smallskip

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabular}{|m{4.15cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}m{2.5cm}|}c|}
\hline
&Fromages au lait de vache&Fromages au lait de chèvre&Fromages au lait de brebis& Total
\\\hline
Fromages au lait cru		&	&	&	&\\\hline
Fromages au lait pasteurisé	&	& 	&50	&\\\hline
Total 						&	&	&	&600\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{2cm}
\begin{center}
\textbf{\textsc{Exercice  2}}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(13.9,70)
\multido{\n=0+0.5}{27}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](\n,-0.5)(\n,65)}
\multido{\n=-0.5+5}{14}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](0,\n)(13.15,\n)}
\psaxes[linewidth=1.05pt,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(13.5,70)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12.5}{0.14*x^3-3.15*x^2+18.48*x+18}
\uput[ur](0,62.5){\emph{température (en \degres~C)} }
\uput[u](12,0){\emph{temps (en minutes)}}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}