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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small  septembre 1996}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole septembre 1996~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère une fonction définie et dérivable sur I $ = [0~;~14]$. Sa représentation graphique est la courbe $C$ ci-dessous. Elle passe par le point A(7~;~2), et la tangente en A à $C$ est la droite $\Delta$ qui passe par le point B$(9~;~- 1)$. 

\medskip

\psset{unit=0.675cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-4)(16,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-2,-4)(16,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(7,2)(9,-1)
\uput[ur](7,2){A} \uput[dl](9,- 1){B}\uput[ur](10.5,-3){$\Delta$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ul](13.5,6){$C$}
\psplot{5.5}{10.5}{12.5 1.5 x mul sub}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,-3)(1,0)(2,2)(3,3.5)(4,4)(5,3.8)(6,3.1)(7,2)(8,0.9)(9,0.2)(10,0)(11,0.5)(12,2)(13,4)(14,7)
\end{pspicture}
\end{center}

Les questions suivantes sont indépendantes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique : 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variation de $f$. 
		
Indiquer le signe de $f'(x)$ sur I. 
		\item Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = - 2$ sur I. 
		\item Donner l'ensemble des réels tels que: $0 \leqslant f(x) \leqslant 2$. 
			\end{enumerate}
\item Que valent $f(7)$ et $f'(7)$ ? Écrire une équation de $\Delta$. 
\item Dresser le tableau de variation de $\dfrac{1}{f}$ sur ]1~;~10[.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Lors d'une promotion, un hypermarché vend par paquets de un kilogramme des clémentines et des oranges, en provenance de l'Union européenne (Italie, Espagne) et du Maroc.
 
Le nombre de kilos mis en vente est donné par le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{1}{|r|}{Origine}&Italie &Espagne &Maroc\\ 
Fruits&&&\\ \hline 
Clémentines &100 &250 &200\\ \hline 
Oranges &350 &450 &650\\ \hline
\end{tabularx}

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\diaghead{\theadfont Diag ColumnmnHead II}{Origine~~~}{Fruits}&\thead{Italie} &\thead{Espagne} &\thead{Maroc}\\  \hline 
%Clémentines &100 &250 &200\\ \hline 
%Oranges &350 &450 &650\\ \hline
%\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Un acheteur pressé prend au hasard un paquet de fruits. Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants: 
	\begin{enumerate}
		\item Acheter des clémentines. 
		\item Acheter italien.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité $p_{1}$ d'acheter des clémentines, sachant que l'acheteur ne veut que des produits \og européens \fg{} ? 
		\item Quelle est la probabilité $p_{2}$ d'acheter \og européen \fg, sachant que des clémentines ont été choisies ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip 
 
Un artisan fabrique des objets A et des objets B.
 
La réalisation d'un objet A demande $30$~F de matière première et $125$~F de main-d'{\oe}uvre.
 
La réalisation d'un objet B demande $70$~F de matière première et $75$ F de main-d' {\oe}uvre.
 
Les profits réalisés sont de $54$~F par objet A, et de $45$~F par objet B.
 
On note $x$ le nombre d'objets A fabriqués, et $y$ le nombre d'objets B fabriqués, en une journée.
 
La dépense journalière en matière première ne doit pas dépasser $560$~F. La dépense journalière en main-d'{\oe}uvre ne doit pas dépasser \np{1250}~F.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire ces deux hypothèses.
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 1~cm).

Représenter graphiquement l'ensemble des points $M(x~;~y)$ dont les coordonnées vérifient ces hypothèses. 
\item Exprimer le bénéfice journalier $b$ de l'entreprise en fonction de $x$ et de $y$, puis la production journalière d'objets A et B qui assurerait un bénéfice maximum.

On précisera, graphiquement, et par le calcul, cette production journalière. 

En déduire le montant de ce bénéfice.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

Étude de la fonction $f$ définie dans $[-2~;~1]$ par : 

\[f(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^x + 1.\]
 
Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 4~cm). On appelle $C$ la courbe représentative de $f$ dans ce plan.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$. Dresser le tableau de ses variations. 
\item Calculer : 
	\begin{enumerate}
		\item l'ordonnée du point A de C d'abscisse $0$ ; 
		\item les coordonnées du point B de C en lequel la tangente à C est parallèle à l'axe des abscisses.
	\end{enumerate} 
\item  Donner: 
	\begin{enumerate}
		\item une équation de $T_{0}$ tangente à $C$ en A; 
		\item une équation de $T_{1}$ tangente à $C$ en B. Déduire des questions précédentes la position de C par rapport à $T_{1}$ ; 
		\item les coordonnées du point G, intersection de $T_{0}$ et $T_{1}$
	\end{enumerate} 
\item  Construire $C$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Le but de cette question est de calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan limitée par l'arc $\widearc{\text{AB}}$ de $C$, et les segments [BG) et [GA].
 
Afin de déterminer la position de $C$ par rapport à $T_{0}$, on va étudier au préalable la fonction $g$ définie sur $[- 1~;~1]$ par 

\[g(x) = f(x) - (x + 1).\]
 
\begin{enumerate}
\item Étude des variations de $g$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $x$ de $[- 1~;~1]$, $g'(x) = 2\left(\text{e}^x - 1\right) \left(\text{e}^x + \dfrac{1}{2}\right)$ (où $g'$ 
désigne la fonction dérivée de $g$).
		\item Déterminer le signe de $\text{e}^x - 1$  sur $[- 1~;~1]$ ; en déduire le signe de $g'(x)$. 
		\item Dresser le tableau de variation de $g$. 
		\item En déduire le signe de $g(x)$ sur $[- 1~;~1]$, puis la position de $C$ par rapport à $T_{0}$·
	\end{enumerate} 
\item Calcul de $\mathcal{A}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer : $\displaystyle\int_{- \ln 2}^0 f(x)\:\text{d}x$. 
		\item En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en unités d'aire. 
		\item Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ en cm$^2$ à $10^{-2}$ près par défaut. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}