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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 16 septembre 2010}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Métropole 16 septembre 2010 \decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = x (1 - \ln x).\]
 
La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée en annexe 1 (à rendre avec la copie). 

\medskip

\textbf{Partie 1 : Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. 
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 
\item Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On considère la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en fonction du nombre réel $a$, les coordonnées du point A$'$, point d'intersection de la droite $\left(T_{a}\right)$ et de l'axe des ordonnées. 
		\item Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente $\left(T_{a}\right)$. Sur l'annexe 1 (à rendre avec la copie) construire la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A placé sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie II: Un calcul d'aire}

\medskip
 
Soit $a$ un nombre réel strictement positif. 
On note $\mathcal{A}(a)$ la mesure, en unité d'aire, de l'aire de la région du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = a$ et $x = \text{e}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\mathcal{A}(a) = \displaystyle\int_{a}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$, en distinguant le cas $a < \text{e}$ et le cas $a > \text{e}$. 
\item  À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\mathcal{A}(a)$ en fonction de $a$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 5$ et pour tout nombre entier naturel $n$, par  

\[u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}.\]

\medskip
 
Si $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{4x - 1}{x + 2}$, alors on a, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.
 
On donne en annexe 2 (à rendre avec la copie) une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur l'axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$ en laissant apparents les traits de construction. 
		\item Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $u_{n} - 1 > 0.$
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1. b.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ par une autre méthode, en déterminant une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
 
Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$. 
		\item  Pour tout nombre entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item  En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.
 
Soit $(\mathcal{P})$ le plan d'équation : $3x + y - z -1 = 0$ et $(\mathcal{D})$ la droite dont une représentation paramétrique est 

\[\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x&  - t + 1\\ 
y& 2t \\
z& \phantom{-}t + 2
\end{array}\right. 
\text{où}~t~\text{désigne un nombre réel.}\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le point C(1~;~3~;~2) appartient-il au plan $(\mathcal{P})$ ? Justifier. 
		\item  Démontrer que la droite $(\mathcal{D})$ est incluse dans le plan $(\mathcal{P})$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $(\mathcal{Q})$ le plan passant par le point C et orthogonal à la droite $(\mathcal{D})$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(\mathcal{Q})$. 
		\item Calculer les coordonnées du point I, point d'intersection du plan $(\mathcal{Q})$ et de la droite $(\mathcal{D})$. 
		\item Montrer que CI $= \sqrt{3}$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $t$ un nombre réel et $M_{t}$ le point de la droite $(\mathcal{D})$ de coordonnées $(- t + 1~;~2t~;~- t + 2)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout nombre réel $t,~ \text{C}M_{t}^2 = 6t^2 - 12t + 9$. 
		\item Montrer que CI est la valeur minimale de C$M_{t}$ lorsque $t$ décrit l'ensemble des nombres réels. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère le point I d'affixe i et le point A d'affixe $z_{\text{A}} = \sqrt{3} + 2\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point A appartient au cercle $\Gamma$ de centre le point I et de rayon 2.
		 
Sur une figure (unité graphique 1~cm), qu'on complètera au fur et à mesure de l'exercice, placer le point I, tracer le cercle $\Gamma$, puis construire le point A. 
		\item On considère la rotation $r$ de centre le point I et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
		 
Démontrer que le point B image du point A par la rotation $r$ a pour affixe $z_{\text{B}} = -1 + \text{i}\left(\sqrt{3} + 1\right)$.

Justifier que le point B appartient au cercle $\Gamma$. 
		\item Calculer l'affixe du point C symétrique du point A par rapport au point I. 
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
On considère les points E et F tels que : $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{IB}}$ et $\vect{\text{AF}}  = \vect{\text{BI}}$.
 
Que peut-on conjecturer pour les droites (BF) et (CE) ?

Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les deux rectangles OABC et DEFG où les points A, B, C, D, E, F, G ont pour affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = -2,~ z_{\text{B}} = -2 + \text{i},~z_{\text{C}}= \text{i},~z_{\text{D}}= 1,~z_{\text{E}}= 1 + 3\text{i},~z_{\text{F}}= \dfrac{5}{2} + 3\text{i},z_{\text{G}} = \dfrac{5}{2}.\] 

Voir la figure donnée en annexe 3.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la similitude directe $s$ transformant O en D et A en E. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'écriture complexe de la similitude $s$ est: $z' = - \dfrac{3}{2}\text{i}z + 1$. 
		\item Déterminer l'angle et le rapport de la similitude $s$. 
		\item Quelle est l'image du rectangle OABC par la similitude $s$ ?
	\end{enumerate} 
\item On considère la similitude indirecte $s'$ d'écriture complexe $z' = -\dfrac{2}{3}\text{\,i\,}\overline{z} + \dfrac{5}{3}\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'image du rectangle DEFG par la similitude $s'$. 
		\item On considère la similitude $g = s' \circ s$.
		 
Déterminer l'image du rectangle OABC par la similitude $g$. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
La similitude $g$ a-t-elle des points fixes ? Que peut-on en conclure pour $g$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\newpage

\begin{center} 
\textbf{ANNEXE 1 (Exercice 1)\\ (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm} 

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-2.6)(5.25,2.25)
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.5,comma=true](0,0)(-0.5,-2.6)(5.25,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0.01}{4.65}{x 1 x ln sub mul}
\uput[d](1.7,0){\red $a$}\uput[l](0,0.7979){\red $f(a)$} 
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1.7,0.7979){A} \uput[ur](2.3,0.3){\blue $\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](1.7,0)(1.7,0.7979)(0,0.7979)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{center} 
\textbf{ANNEXE 2 (Exercice 2)}

(à rendre avec la copie) 

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2.5)(7,4.25)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2.5)(7,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-2}{4.25}{x}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-0.62}{6.25}{4 x mul 1 sub x  2 add div}
\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](2,2){$\Delta$} \uput[u](3,2.2){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{center} 
\textbf{ANNEXE 3 (Exercice 4)\\ Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{2cm}

\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.5)(3.5,4)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2,-0.5)(3.5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psframe(-2,1)
\psframe(1,0)(2.5,3)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](-2,0){A} \uput[ul](-2,1){B} \uput[ur](0,1){C} 
\uput[d](1,0){D} \uput[ul](1,3){E} \uput[ur](2.5,3){F} \uput[d](2.5,0){G}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}