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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Philippe Legrand
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 13  septembre 2012}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 13 septembre 2012~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous où $a$ et $b$ désignent deux réels.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\psframe(6,2.5)
\psline(0,2)(6,2) \psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.5,2){$- \infty$} \uput[u](3.5,2){$a$} \uput[u](5.5,2){$+ \infty$}\uput[u](1.5,0){$- \infty$} 
\rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[d](3.5,2){$b$}\uput[u](5.5,0){$- \infty$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3,1.5)\psline{->}(4,1.5)(5.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Déterminer le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$. 
\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on a tracé deux courbes $\mathcal{C}_{1}$ et {\blue $\mathcal{C}_{2}$}. 
 
Elles coupent l'axe des ordonnées aux points $A$ et $B$ d'ordonnées $- 2$ et $\dfrac{1}{2}$ respectivement.
 
L'une de ces courbes est la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$ de $f$ et l'autre la courbe représentative d'une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-3.5)(6,2.1)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none](0,0)(-3.5,-3.5)(6,2.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dr](0,-2){$A$}\uput[ur](0,0.5){$B$}\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[u](-2.5,0.8){\blue $\mathcal{C}_{2}$}\uput[u](-2.5,-2.3){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{4.25}{1 2.71828 x 0.5 mul exp 0.5 mul sub}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3.5}{5.225}{x dup mul 2 div 2 x mul add 2.71828 x 0.5 mul exp 2 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center} 

	\begin{enumerate}
		\item Indiquer laquelle de ces deux courbes est la courbe représentative de la fonction $f$.  Justifier la réponse. 
		\item À l'aide des courbes $\mathcal{C}_{1}$ et {\blue $\mathcal{C}_{2}$}, prouver que $1 < a < 2$ et $b > 0$.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on admet que la fonction $f$ est telle que, pour tout réel $x$,

\[f(x) - 2f^{\prime}(x) = x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une fonction affine $g$ telle que pour tout réel $x,$
		
$g(x) - 2g'(x) = x$. 
		\item Démontrer que la fonction $f - g$ est une solution de l'équation différentielle $y' = \dfrac{1}{2}y$.  
		\item Résoudre cette équation différentielle et en déduire l'existence d'un réel $k$ tel que pour tout réel $x,\: f(x) = k\text{e}^{\frac{1}{2}x} + x + 2$. 
		\item En utilisant les coordonnées des points $A$ et $B$, déterminer les fonctions $f$ et $F$ ainsi que les réels $a$ et $b$.
	\end{enumerate}		 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une urne contient quatre boules rouges et deux boules noires indiscernables au toucher.

\medskip
 
On prélève au hasard une boule de l'urne. 

Si elle est rouge, on la remet dans l'urne et on prélève au hasard une seconde boule. 

Si la première boule est noire, on prélève au hasard une seconde boule dans l'urne sans remettre la boule tirée. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que les boules tirées soient rouges ? 
		\item Calculer la probabilité que la seconde boule tirée soit noire.
		 
Calculer la probabilité que la première boule soit rouge sachant que la seconde est noire.
	\end{enumerate} 
\item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $1$.
 
Une urne contient quatre boules rouges et $n$ boules noires indiscernables au toucher.
 
On prélève successivement et au hasard quatre boules de l'urne en remettant dans l'urne la boule tirée après chaque tirage.
 
La variable aléatoire $X$ donnant le nombre de boules rouges tirées au cours de ces quatre tirages suit la loi binomiale de paramètres $4$ et $p$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'expression de $p$ en fonction de $n$. 
		\item Démontrer que la probabilité $q_{n}$ que l'une au moins des quatre boules tirées soit noire est telle que $q_{n} = 1 - \left(\dfrac{4}{n + 4}\right)^4$. 
		\item Quel est le plus petit entier naturel $n$ pour lequel la probabilité $q_{n}$ est supérieure ou égale à \np{0,9999} ?
	\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

L'objet de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par 
  
\[u_{0} = 3\quad  \text{et pour tout entier naturel}\: n,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_{n} + \dfrac{7}{u_{n}}\right) \quad (\star)\]

On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel $n, \:u_{n} > 0$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{7}{x}\right).\]
 
Démontrer que la fonction $f$ admet un minimum.
 
En déduire que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} \geqslant \sqrt{7}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un entier naturel quelconque.
		 
Étudier le signe de $u_{n+1} - u_{n}$. 
		\item Pourquoi peut-on en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente ? 
		\item On déduit de la relation $(\star)$ que la limite $\ell$ de cette suite est telle que $\ell = \dfrac{1}{2}\left(\ell + \dfrac{7}{\ell}\right)$.
		 
Déterminer $\ell$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$,  $u_{n+1} - \sqrt{7} = \dfrac{1}{2}\dfrac{\left(u_{n} - \sqrt{7}\right)^2}{u_{n}}$.  
\item On définit la suite $\left(d_{n}\right)$ par :
 
\[d_{0} = 1 \quad \text{et pour tout entier naturel}\: n,\:d_{n+1} = \dfrac{1}{2}d^2_{n}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, 

\[u_{n} - \sqrt{7} \leqslant d_{n}.\]

		\item Voici un algorithme :
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline 
Variables :&$n$ et $p$ sont des entiers naturels\\ 
&$d$ est un réel.\\ 
Entrée :& 	Demander à l'utilisateur la valeur de $p$.\\ 
Initialisations :& Affecter à $d$ la valeur 1.\\
&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
Traitement :& Tant que $d > 10^{- p}$.\\
&\begin{tabular}{l|l}
~~& Affecter à $d$ la valeur $0,5d^2$\\
~~& Affecter à $n$ la valeur $n + 1$.\\
\end{tabular}\\ 
Sortie :& Afficher $n$.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 

En entrant la valeur 9, l'algorithme affiche le nombre 5. 

Quelle inégalité peut-on en déduire pour $d_{5}$ ? 

Justifier que $u_{5}$ est une valeur approchée de $\sqrt{7}$ à $10^{- 9}$ près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip  
 
\emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\ 
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse.\\ 
Un point sera attribué pour chaque réponse correctement justifiée. Aucun point ne sera attribué à une réponse non justifiée.}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z - 1 + 2\text{i}| = |z + 3 - 4\text{i}|$ est une droite passant par le point $H$ d'affixe $5 + 5\text{i}$. 
\item On note $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $2 - \text{i},\: 1 + \text{i}$ et $3 - 2\text{i}$.
 
L'image du point $B$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $- 2$ est le point $C$. 
\item Soit $f$ la transformation complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que 

\[z' = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}(1- \text{i})z.\]
 
L'image d'une droite $d$ du plan par la transformation $f$ est une droite qui est perpendiculaire à la droite $d$.

\medskip
 
\emph{Pour les questions suivantes, l'espace est rapporté à un repère orthonormé}

\Oijk.

\medskip
 
\item  Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $3x + y - 7 = 0$ et $\mathcal{D}$ la droite dont une représentation paramétrique  est 
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 2 - t\\ 
y &=& 1 + 3t\\
z &=&t\\
\end{array}\right., \quad  t \in \R.\]
  
La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$. 
\item Soient $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x + 3y - 4z + 1 = 0$ et $A$ le point de coordonnées $(1~;~4~;~- 1)$.
 
La sphère $\mathcal{S}$ de centre $A$ et de rayon $4$ est sécante au plan $\mathcal{P}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 
 
\emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\
 Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse.\\ 
Un point sera attribué pour chaque réponse correctement justifiée. Aucun point ne sera attribué à une réponse non justifiée.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $(E)\quad  5x + 6y = 3$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
 
Les seuls couples qui sont solutions de l'équation $(E)$ sont les couples $(18k + 3,~-15k - 2)$ où $k$ est un entier relatif. 
\item Le reste de la division euclidienne de $3^{\np{2012}}$ par $7$ est égal à $6$.

\medskip
 
\emph{Pour les questions suivantes, le plan est muni d'un repère orthonormé direct}\: \Ouv.
 
On note A le point d'affixe $2 - \text{i}$ et B l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
 
Le point C est le milieu du segment [AB].

\medskip
 
\item Le point C est l'image du point O par la similitude directe de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.  
\item Soit $f$ la similitude directe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = (- 1 + \text{i})z$.
 
La transformation composée $f \circ f$ transforme la droite (AB) en une droite qui est perpendiculaire à (AB).
 
\item La transformation complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = (1- \text{i})z + 3 - \text{i}$, est la similitude directe de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$. 
\end{enumerate}
\end{document}