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%%%Sujet aimablement fourni par Nathalie Mignot
%%% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2011}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\mars 2011}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}

\medskip
 
On utilisera le résultat suivant : les solutions de l'équation différentielle $y'= ay$ où $a \in \R$ sont les fonctions $g$ définies sur $\R$ par $g(x) = K\text{e}^{ax}$ où $K \in  \R$.

\medskip
 
Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l'équation différentielle (E) $y'= ay + b$  où $a \in \R^{*}$ et $b \in \R$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)= -\dfrac{b}{a}$ est une solution de (E). 
\item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. Démontrer l'équivalence suivante : $f$ est solution de (E) $\iff f - u$ est solution de l'équation différentielle $y'= a y$. 
\item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note $v(t)$ sa vitesse à l'instant $t$, où $t$ est exprimé en secondes et $v(t)$ en mètres par seconde.
 
On suppose de plus que la fonction $v$ ainsi définie est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
 
Un modèle simple permet de considérer que la fonction $v$ est solution de l'équation différentielle :

\[10v'(t) + v(t) = 30.\]  

Enfin, on suppose que, lorsque le cycliste s'élance, sa vitesse initiale est nulle, c'est-à-dire que $v(0)= 0$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $v(t) = 30\left(1 - \text{e}^{- \frac{t}{10}}\right)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $v$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $v$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération $v'(t)$ est inférieure à 0,1 m.s$^{-2}$. Déterminer, à la seconde près, la plus petite valeur de $t$ à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée. 
\item  La distance $d$ parcourue par ce cycliste entre les instants $t_{1}$, et $t_{2}$ est donnée par $d = \displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)\:\text{d}t$. 
 
Calculer la distance parcourue par ce cycliste pendant les 35 premières secondes. 
\end{enumerate} 

%\vspace{0,5cm}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Chaque année, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents tirent au sort un moyen de transport puis doivent relier le village A au village B le plus rapidement possible en utilisant ce moyen de transport et un parcours adapté. Pour le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher. Sur un premier jeton figure la lettre V , sur le second la lettre R, sur le troisième la lettre P et sur le dernier la lettre L.

\medskip
 
Un concurrent tire au hasard un jeton :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre V, il effectuera le trajet à vélo, 
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre R, Il effectuera le trajet en roller, 
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre P, il effectuera le trajet à pied, 
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisira librement son mode de transport parmi les trois précédents.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On observe que lorsqu'un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisit le vélo dans 70\,\% des cas, il choisit le roller dans 20\,\% des cas et il décide de faire le parcours à pied dans 10\,\% des cas.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré correspondant à la situation.
\end{enumerate} 

\emph{Pour les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis au millième.} 

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Calculer la probabilité qu'un concurrent effectue le trajet à vélo. 
\item Sachant qu'un concurrent a effectué le trajet à vélo, quelle est la probabilité qu'il ait tiré le jeton sur lequel figure la lettre L ? 
\item On admet que les résultats des différentes années sont indépendants les uns des autres.
 
L'expérience des années précédentes permet de considérer que la probabilité, pour le vainqueur, d'avoir effectué le trajet à vélo est $\dfrac{2}{3}$. 
 
Calculer la probabilité qu'au cours des six prochaines années l'épreuve soit remportée au moins une fois par un concurrent \og non cycliste \fg. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par 	
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
u_{0}&  1\\
u_{n+1}& u_{n}- \ln \left(u_{n}^2 + 1\right)~ \text{pour tout entier naturel}~ n.
\end{array}\right.$

\medskip 
	 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x)= x - \ln \left(x^2 + 1\right).\]
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = x$. 
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.

En déduire que si $x \in [0~;~1]$ alors $f(x) \in [0~;~1]$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant  0,~ u_{n} \in [0~;~1]$. 
\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. Déterminer sa limite. 
\end{enumerate} 

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk.
 
On considère les points A$(-2~;~0~;~1)$, B$(1~;~2~;~-1)$ et C$(-2~;~2~;~ 2)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}}~\cdot~\vect{\text{AC}}$ puis les longueurs AB et AC.  
		\item En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. 
		\item En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
	\end{enumerate} 
\item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2x - y + 2z + 2 = 0$. 
\item Soient $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ les plans d'équations respectives $x + y - 3z + 3 = 0$ et

$x - 2y + 6z = 0$.

Montrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants selon une droite $\mathcal{D}$ dont un système d'équations paramétriques est 
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x& - 2\\
y& - 1 +  3t\\
z& \phantom{- 1 + 3}t
\end{array}\right.,~t \in  \R$. 
\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection. 
\item  Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre $\Omega(1~;~- 3~;~1)$ et de rayon $r = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$.
		\end{enumerate}
\medskip
		 
\emph{Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
 \begin{enumerate}
 \setcounter{enumii}{1}
		\item Étudier l'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et de la droite $\mathcal{D}$. 
		\item Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère $\mathcal{S}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}