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%%% Sujet aimablement fourni par Sophie Nattes
%%% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat S}
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\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{15 novembre 2010}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\15 novembre 2010}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{PARTIE A : restitution organisée de connaissances}

\medskip

On suppose connus les résultats suivants :
 
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\star$~] si pour tout $x \in  [a~;~b] \quad u(x) \geqslant  0$ 
alors  $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant  0$ 
\item[$\star$~] $\displaystyle\int_{a}^b[u(x) +  v(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x  + \displaystyle\int_{a}^b 	v(x)\:\text{d}x$ 
\item[$\star$~] $\displaystyle\int_{a}^b \alpha  u(x)\:\text{d}x = \alpha  \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x$ o\`u $\alpha$ est un nombre réel.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$ et si pour tout $x$ de $[a~;~b],~f(x) \leqslant g(x)$ alors :
 
\[\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x.\]

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B :}

\medskip

Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par 

\[\varphi(x) = 1 + x^2 -  2x^2 \ln x. \]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $\varphi$
 sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$. 
		\item Calculer $\varphi(\text{e})$. Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~e]. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. 
		\item Déterminer le signe de $\varphi(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{1 + x^2}.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout $x \geqslant 1$ on a : $f'(x) = \dfrac{\varphi(x)}{x\left(1 + x^2 \right)^2}$. 
		\item  Déduire de la question 1. le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$. 
		\item  Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ on a : 

\[0  \leqslant  f(x) \leqslant  \dfrac{\ln x}{x^2}.\] 
		\item  En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}}  \dfrac{\ln x}{x^2}\:\text{d}x = 1 - \dfrac{2}{\text{e}}$. 
		\item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$, dans un repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique 1~cm.
		 
Soit $\mathcal{A}$ l'aire exprimée en cm$^2$ du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$.
 
Déterminer un encadrement de $\mathcal{A}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

On considère les points A, B et C d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = -2\text{i},\quad  z_{\text{B}} = -\sqrt{3} + \text{i}~~ \text{et}~~ z_{\text{C}} = \sqrt{3} + \text{i}.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme exponentielle. 
		\item En déduire le centre et le rayon du cercle $\Gamma$ passant par les points A, B et C. 
		\item Faire une figure et placer le point A, tracer le cercle $\Gamma$ puis placer les points B et C.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire le quotient $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique puis sous forme exponentielle. 
		\item En déduire la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate} 
\item On note $r$ la rotation de centre A et d'angle mesurant $\dfrac{\pi}{3}$~radians. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point O$'$, image de O par $r$, a pour affixe  $- \sqrt{3} - \text{i}$. 
		\item Démontrer que les points C et O$'$ sont diamétralement opposés sur le cercle $\Gamma$. 
		\item Tracer l'image $\Gamma'$ du cercle $\Gamma$ par la rotation $r$. 
		\item Justifier que les cercles $\Gamma$ et $\Gamma '$ se coupent en A et B.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que 
		
\[|z| = \left|z + \sqrt{3} + \text{i}\right|.\]
		
		\item Montrer que les points A et B appartiennent à $(E)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.
 
On considère la similitude indirecte $f$ d'écriture complexe 

\[z' = \left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right)\overline{z}\]

où $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$.
  
Soient les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \sqrt{6} + \text{i}\sqrt{2}$  et $z_{\text{B}} = - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$.

On note A$'$ et B$'$ les images respectives des points A et B par $f$.

\medskip

\textbf{Une figure fournie en ANNEXE  du sujet, sera complétée et rendue avec la copie. Les différentes constructions seront faites à la règle et au compas, et les traits de construction devront apparaître clairement.}
 
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire les affixes des points A et B sous forme exponentielle. 
		\item Montrer que le triangle OAB est rectangle isocèle direct. 
		\item En déduire la nature du triangle OA$'$B$'$. 
		\item Montrer que l'affixe $z_{\text{A}'}$ de A$'$ vérifie l'égalité : $z_{\text{A}'} =  2z_{\text{A}}$.
		
En déduire la construction de A$'$ et B$'$.
	\end{enumerate} 
\item On note $r$ la rotation de centre O et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{3}$, et $s$ la symétrie orthogonale  
d'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$. On pose $g = r \circ s$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'écriture complexe de la transformation $g$. 
		\item Montrer que les points O et A sont invariants par $g$. 
		\item En déduire la nature de la transformation $g$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'on peut écrire $f = h \circ g$, où $h$ est une homothétie de centre et de rapport à déterminer. 
		\item  Sur la figure placée en \textbf{ANNEXE}, un point C est placé. Faire la construction de l'image C$'$ de C par la transformation $f$.   
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 
 
Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux vertes et trois rouges.

\medskip
 
\textbf{Les questions 1. et 2. sont indépendantes}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On extrait simultanément et au hasard deux boules de l'urne.
 
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes figurant dans le tirage. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $P(X = 0) = \dfrac{3}{10}$ puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement suivant: 

A : \og les deux boules tirées sont de même couleur \fg.
	\end{enumerate} 
\item On effectue deux tirages successifs d'une boule en respectant la règle suivante :
 
\emph{si la boule tirée est rouge, on la remet dans l'urne ; si elle est verte, on ne la remet pas.}

%\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant un arbre pondéré, calculer la probabilité des évènements suivants :
		
\setlength\parindent{10mm}
\begin{description}
\item[ ] $B$ : \og seule la première boule tirée est verte \fg, 
\item[ ] $C$ : \og une seule des deux boules tirées est verte \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm} 
		\item Sachant que l'on a tiré exactement une boule verte, quelle est la probabilité que cette boule verte soit la première tirée ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

\medskip
 
\textbf{L'objectif de cet exercice est de déterminer la position relative d'objets de l'espace}

\medskip

\setlength\parindent{10mm}
\begin{description}
\item[ ] $\mathcal{P}$ est le plan passant par A(3~; 1~;~2) et de vecteur normal $\vect{n}(1~;~- 4~;~1)$ ;
\item[ ] $\mathcal{D}$ est la droite passant par B(1~;~4~;~2) de vecteur directeur $\vect{u}(1~;~1~;~3)$. 
\item[ ] $\mathcal{S}$ est la sphère de centre $\Omega(1~;~9~;~0)$ passant par A.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $\mathcal{D}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x - 4y +  z - 1 = 0$. 
		\item  Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate} 
\item Intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la sphère $\mathcal{S}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la distance $d$ du point $\Omega$ au plan $\mathcal{P}$. 
		\item Calculer le rayon de la sphère $\mathcal{S}$. En déduire l'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la sphère $\mathcal{S}$.
	\end{enumerate} 
\item Intersection de la droite $\mathcal{D}$ et de la sphère $\mathcal{S}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$. 
		\item Déterminer une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$. 
		\item En déduire que la droite $\mathcal{D}$ coupe la sphère $\mathcal{S}$ en deux points $M$ et $N$ distincts dont on ne cherchera pas à déterminer les coordonnées. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 2}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\vspace{0,5cm}

\textbf{À rendre avec la copie }

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-4.5)(8.5,6.5)
\pspolygon[linewidth=1.25pt](0,0)(2.449,1.414)(-1.414,2.449)%OBA
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.4](-1.414,2.449)(2.449,1.414)(2.3,3.2)%ABC
\uput[u](-1.414,2.449){B} \uput[ur](2.449,1.414){A} 
\uput[ur](2.3,3.2){C}\uput[dl](0,0){O}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.8pt,gridcolor=orange](-4,-4)(8.,6.)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-4)(8,6) 
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}