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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{10 juin 2010}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie 10 juin 2010~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats.} 

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. 

%\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances}
\end{center}
 
\textbf{Prérequis}

\medskip
 
Soit $z$ un nombre complexe tel que $z = a + b\text{i}$ où $a$ et $b$ sont deux nombre réels.
 
On note $\overline{z}$, le nombre complexe défini par $\overline{z} = a - b\text{i}$.

\medskip
 
\textbf{Questions}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z',~ \overline{\strut z \times z'} = \overline{\strut z} \times \overline{\strut z'}$. 
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, et tout nombre complexe $z$, $\overline{\strut z^n} = \left(\overline{\strut z} \right)^n$.
\end{enumerate}

\begin{center} 
\textbf{Partie B} \end{center}

On considère l'équation (E) : $z^4 = - 4$ où $z$ est un nombre complexe.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que si le nombre complexe $z$ est solution de l'équation (E) alors les nombres complexes $- z$ et $\overline{z}$ sont aussi solutions de l'équation (E). 
\item  On considère le nombre complexe $z_{0} = 1 + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire le nombre complexe $z_{0}$ sous forme exponentielle. 
		\item Vérifier que $z_{0}$ est solution de l'équation (E).
	\end{enumerate} 
\item  Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l'équation (E).
\end{enumerate}

\begin{center} 
\textbf{Partie C}  
\end{center}

Soient A, B, C et D les points d'affixes respectives :
 
\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}~;~z_{\text{B}} = -1 + \text{i}~;~z_{\text{C}} = - 1 - \text{i}~\text{et}~z_{\text{D}} = 1 - \text{i}.\]
 
Soit $r$ la rotation du plan de centre C et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{3}$.

On appelle E l'image du point B par $r$ et F celle du point D par $r$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'écriture complexe de la rotation $r$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'affixe du point E, notée $z_{\text{E}}$, est égale à $- 1 + \sqrt{3}$. 
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{F}}$ du point F. 
		\item Démontrer que le quotient $\dfrac{z_{\text{A}}-z_{\text{E}}}{z_{\text{A}}-z_{\text{F}}}$ est un nombre réel. 
		\item Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Des robots se trouvent au centre de gravité O d'un triangle de sommets S, I et X.
 
Chacun se déplace en trois étapes successives de la manière suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  à chaque étape, il passe par l'un des trois sommets S, I et X puis il rejoint le point O ; 
\item les robots sont programmés de telle sorte que, lors d'une étape, la probabilité de passer par le sommet S est égale à celle de passer par le sommet X et la probabilité de passer par le sommet S est le double de celle de passer par le sommet I ; 
\item les différentes étapes sont indépendantes les unes des autres ; 
\item on ne tient pas compte des passages par O.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\textbf{Partie A - Un seul robot} \end{center}
 
Un seul robot se trouve au point O.
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'à chaque étape, la probabilité que le robot passe par le sommet I est égale à $\dfrac{1}{5}$. 
\item On note $E$ l'évènement : 
\og au cours des trois étapes, le robot passe successivement par les 3 sommets S, I et X dans cet ordre \fg.
  
Démontrer que la probabilité de $E$ est égale à $\dfrac{4}{125}$. 
\item On note $F$ l'évènement : 
\og au cours des trois étapes, le robot passe exactement par les 3 sommets S, I et X dans un ordre quelconque \fg.
 
Déterminer la probabilité de $F$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\begin{center}
\textbf{Partie B - Plusieurs robots} \end{center} 

Des robots se trouvent au point O, leurs déplacements étant indépendants les uns des autres.
 
Quel nombre minimal $n$ de robots doit-il y avoir pour que la probabilité de l'évènement : 
\og au moins l'un des robots passe successivement par les sommets S, I et X dans cet ordre \fg{} soit supérieure ou égale à 0,99 ?

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip 

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item les points A(1~;~1~;~1) et B(3~;~2~;~0) ;  
\item le plan (P) passant par le point B et admettant le vecteur $\vect{\text{AB}}$ pour vecteur normal ; 
\item le plan (Q) d'équation : $x - y + 2z + 4 = 0$ ; 
\item la sphère (S) de centre A et de rayon AB.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan (P) est : $2x + y - z - 8 = 0$ 
\item Déterminer une équation de la sphère (S).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la distance du point A au plan (Q).
		 
En déduire que le plan (Q) est tangent à la sphère (S). 
		\item  Le plan (P) est-il tangent à la sphère (S) ?
	\end{enumerate} 
\item On admet que le projeté orthogonal de A sur le plan (Q), noté C, a pour coordonnées $(0~;~2;~-1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que les plans (P) et (Q) sont sécants. 
		\item  Soit (D) la droite d'intersection des plans (P) et (Q).
		 
Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (D) est :

$\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x& t\\
y & 12 - 5t\\
z&  4 - 3t
\end{array}\right.$  avec $t \in \R$.   
		\item  Vérifier que le point A n'appartient pas à la droite (D) 
		\item  On appelle (R) le plan défini par le point A et la droite (D).

L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
 
\og Tout point du plan (R) est équidistant des points B et C \fg.
 
Justifier votre réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip 

\emph{Les parties \emph{A} et \emph{B} sont indépendantes}

\medskip
 
\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} 

On considère l'équation (E) : $7x - 6y = 1$ où $x$ et $y$ sont des entiers naturels.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner une solution particulière de l'équation (E) 
\item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers naturels solutions de l'équation (E).
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}
 
Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples $(n,~m)$ d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation : 

\[7^n - 3 \times 2^m = 1\quad  (\text{F}).\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose $m \leqslant 4$.
 
Montrer qu'il y a exactement deux couples solutions. 
\item On suppose maintenant que $m \geqslant  5$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si le couple $(n,~m)$ vérifie la relation (F) alors
		$7^n  \equiv 1\quad  (\text{mod}~ 32)$. 
		\item En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7, montrer que si le couple $(n,~m)$ vérifie la relation (F) alors $n$ est divisible par $4$. 
		\item En déduire que si le couple $(n,~m)$ vérifie la relation (F) alors
		$7^n \equiv 1\quad(\text{mod}~ 5)$. 
		\item Pour $m \geqslant 5$, existe-t-il des couples $(n,~m)$ d'entiers naturels vérifiant la relation (F) ?
	\end{enumerate} 
\item Conclure, c'est-à-dire déterminer l'ensemble des couples d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F). 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\emph{L'annexe qui suit sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve}

%\medskip
 
\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center} 

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = \ln (2x) + 1 - x\]
 
	\begin{enumerate}
		\item \emph{Cette question demande le développement d'une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d'étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la rédaction.}
 
Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $[1~;~+ \infty[$ une unique solution notée $\alpha$. 
		\item  Démontrer que $\ln (2\alpha) + 1 = \alpha$.
\end{enumerate} 
\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n$, par 

$u_{n+1} = \ln \left(2u_{n}\right) + 1$. 
 
On désigne par $(\Gamma)$ la courbe d'équation $y = \ln (2x) + 1$ dans un repère orthonormal \Oij. Cette courbe  est donnée dans l'annexe. 

	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la courbe $(\Gamma)$, construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite. 
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n,~ 1 \leqslant  u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant  3$. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}
 
On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = (x - 1) \text{e}^{1 - x}.\]
 
On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. Cette  courbe est donnée dans l'annexe.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à $1$, on pose :
 
\[F(x) = \int_{1}^x f(t)\:\text{d}t = \int_{1}^x (t - 1)\text{e}^{1 -t}\:\text{d}t\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $F$ est croissante sur $[1~;~+ \infty[$. 
		\item Montrer à l'aide d'une intégration par parties que pour tout réel $x$ appartenant à $[1~;~+ \infty[$,  $F(x) = - x\text{e}^{1 - x} + 1$. 
		\item Démontrer que sur $[1~;~+ \infty[$, l'équation $F(x) = \dfrac{1}{2}$ est équivalente à l'équation $\ln (2x) + 1 = x$. 
	\end{enumerate}
\item Soit un réel $a$ supérieur ou égal à $1$. On considère la partie $\mathcal{D}_{a}$ du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = a$.
 
Déterminer $a$ tel que l'aire, en unités d'aires, de $\mathcal{D}_{a}$, soit égale à $\dfrac{1}{2}$ et hachurer $\mathcal{D}_{a}$ sur le graphique. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}
 
\textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve}

\vspace{1cm} 

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 4} \end{flushleft}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.4cm}
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