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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{mai 2001}}  
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center} 

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry mai 2001~\decofourright}} 

\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On pose, pour tout entier naturel $n$ non nul, 

\[I_n=\frac{1}{n!}\int_0^1(1 - x)^n\text{e}^{- x}dx.\] 

	\begin{enumerate} 
		\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer I$_1$. 
		\item Prouver que, pour tout entier naturel $n$ non nul, 
\[0 \leqslant I_n\leqslant \frac{1}{n !}\int_0^1\text{e}^{-x}dx.\] 

En déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n.$  
		\item Montrer, en utilisant une intégration par parties que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
		 
\[I_{n+1}=\frac{1}{(n+1)!}-I_n\] 

	\end{enumerate} 

\item On considère la suite réelle $(a_n)$, définie sur ${\N^*}$ par 
$a_1=0$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul,
 
\[a_{n+1} = a_n+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}.\] 

	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, 
\[a_n=\frac{1}{\text{e}}+(-1)^n I_n.\] 

		\item En déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} a_n.$ 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

On considère l'application $f$ qui à tout nombre complexe $z$ différent de 1, associe le nombre complexe 

\[f(z) = \frac{2 - \text{i}z}{1 - z}.\] 

L'exercice étudie quelques propriétés de $f$.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité 
graphique 2~cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions \textbf{1} et \textbf{2}.

A est le point d'affixe 1 et B celui d'affixe $- 2$i. 

\begin{enumerate} 
\item On pose $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ réels. 

Écrire $f(z)$ sous forme algébrique. En déduire l'ensemble des points $M$  d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un réel et représenter cet ensemble. 
\item On pose $z' = f(z).$ 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que i n'a pas d'antécédent par $f$ et exprimer, pour $z'$ différent de i, $z$ en fonction de $z'$. 
		\item $M$ est le point d'affixe $z$ ($z$ différent de 1) et $M'$ celui d'affixe  $z'$ ($z'$ différent de i). 

Montrer que O$M = \frac{\displaystyle{M'\text{C}}}{\displaystyle{M'\text{D}}}$ où C  et D sont les points d'affixes respectives 2 et i. 
		\item Montrer que, lorsque le point $M$ décrit le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point A, son image $M'$ appartient à une droite fixe que l'on définira géométriquement. 
		\item Montrer que, si $M$ est un point de l'axe des réels, différent de O et de A, alors $M'$ appartient à la droite (CD). 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2 (spécialité)} \hfill 4 points} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On considère l'équation (1) d'inconnue $(n,~m)$ élément de $\Z^2$ : 

\[ 11n - 24m = 1.\] 

	\begin{enumerate} 
		\item Justifier, à l'aide de l'énoncé d'un théorème, que cette équation admet au moins une solution. 
		\item En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer une 
solution particulière de l'équation (1). 
		\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation (1). 
	\end{enumerate} 
\item recherche du P.G.C.D. de $10^{11} - 1$ et 
$10^{24} - 1$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier que 9 divise $10^{11} - 1$ et $10^{24} - 1$. 
		\item $(n,~m)$ désignant un couple quelconque d'entiers naturels solutions de (1), montrer que l'on peut écrire 

\[\left(10^{11n} - 1\right) - 10\left(10^{24m} - 1\right) = 9.\] 

		\item Montrer que $10^{11} - 1$ divise $10^{11n} - 1$. 

(on rappelle l'égalité $a^n - 1 = (a - 1)\left(a^{n-1} + a^{n-2} + 
\cdots + a^0\right)$, valable pour tout entier naturel $n$ non nul). 

Déduire de la question précédente l'existence de deux entiers $N$ et 
$M$ tels que : 

\[\left(10^{11} - 1\right)N - \left(10^{24} - 1\right)M = 9.\] 

		\item Montrer que tout diviseur commun à $10^{24} - 1$ et $10^{11} - 1$ divise 9. 
		\item Déduire des questions précédentes le P.G.C.D. de $10^{24} - 1$ et $10^{11} - 1$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

Dans tout le problème, $(\mathcal{C})$ désigne la courbe d'équation $y = \ln x$ représen\-tant la fonction logarithme népérien dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'origine O et d'unité graphique 4~cm.

\emph{Question préliminaire} : Tracer avec soin mais sans étude de la 
fonction, la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite (D) d'équation $y = x.$ 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie A} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de la tangente ($\Delta$) à $(\mathcal{C})$ au point I d'abscisse 1. 
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = x - 1 - \ln x.\] 

		\item En déduire la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à $\Delta$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déduire de la question précédente la valeur minimale prise par $x-\ln x$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
		\item $M$ et $N$ sont les points de même abscisse $x$ des courbes $(\mathcal{C})$ et (D) respectivement. 

Déterminer la plus petite valeur (exprimée en cm) prise par la 
distance $MN$ lorsque $x$ décrit l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Partie B} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $(\mathcal{C})$. 
Exprimer la distance O$M$ de l'origine à $M$ en fonction de $x$. 
\item \emph{Étude de la fonction auxiliaire $u$ définie sur} $]0~;~+\infty[$ \emph{par} $u(x) =x^2 + \ln x$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier les limites de $u(x)$ en $0$ et en $+\infty$ ainsi que le sens de variations de $u$. 
		\item Montrer qu'il existe un réel $\alpha$ et un seul tel que $u(\alpha) = 0$. 

Montrer que $\alpha$ est compris entre 0,5 et 1 puis donner un encadrement 
de $\alpha $ d'amplitude $10^{-2}$. 
		\item Déterminer le signe de $u(x)$ suivant la valeur de $x$. 
	\end{enumerate} 
\item \emph{Étude de la fonction $g$ définie sur } $]0~;~+\infty[$ \emph{par} 
$g(x) = x^2 + (\ln x)^2$. 

Calculer $g'(x)$ et vérifier que $g'(x)=\dfrac{2}{x}u(x)$. 

En déduire le tableau de variations de $g$. 

\item Déduire des questions précédentes la valeur exacte de la plus 
courte distance de l'origine aux points de la courbe $(\mathcal{C})$ et en donner une valeur approchée (exprimée en cm) en utilisant pour $\alpha$ la valeur centrale de l'encadrement trouvé à la question \textbf{2. b}. 
\item A étant le point d'abscisse $\alpha$ de $(\mathcal{C})$, 
démontrer que la tangente en A est perpendiculaire à la droite (OA). 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie C Étude d'une suite} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que le réel $\alpha$ défini dans \textbf{la partie B} est 
solution de l'équation 

$h(x) = x$, où $h $ est la fonction définie sur 
$]0~;~+\infty[$ par 

\[h(x) = x- \dfrac{1}{4}\left(x^2 + \ln x\right).\] 

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $h'(x)$ et étudier son signe sur l'intervalle $ \left[\frac{1}{2}~;~1\right].$ 
		\item Prouver que $h\left(\left[\frac{1}{2}~;~1\right]\right)\subset \left[\frac{1}{2}~;~1\right].$ 
		\item Calculer $h''(x)$ et étudier son signe sur l'intervalle 
$\left[\frac{1}{2}~;~1\right].$ 
		\item En déduire que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left[\frac{1}{2}~;~1\right]$ , on a 

\[0\leqslant h'(x)\leqslant 0,3.\] 

	\end{enumerate} 
\item On définit la suite $(u_n)$ par : $u_0 = 1$ et, pour tout 
entier naturel $n$, 

\[u_{n+1} = h\left(u_n\right).\] 

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\frac{1}{2}\leqslant u_n\leqslant 1$, et que la suite $(u_n)$ est décroissante. 
		\item \textsl{Attention, cette question n'est plus au nouveau programme du baccalauréat S.} 

En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer 
que l'on a pour tout entier naturel $n$, $|u_{n+1}-\alpha|\leqslant 
0,3|u_n-\alpha|$ puis que $|u_n-\alpha|\leqslant \frac{1}{2}(0,3)^n.$ 
		\item En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers $\alpha$. 
		\item Déterminer un entier $n_0$ tel que $u_{n_0}$ soit une valeur approchée de 
$\alpha$ à 10$^{-5}$ près et indiquer la valeur de $u_{n_0}$ donnée par la calculatrice (avec 5 décimales). 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}