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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. E.--S. T. P. A.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}
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\begin{center} {\large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et de l'Environnement \\Métropole session septembre 2000}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

Pour cause de pollution de l'air, le conseil municipal d'une grande ville décide d'interdire, pendant une journée, la circulation en ville aux véhicules non prioritaires portant un numéro pair. On sait que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 4\:\% des véhicules sont prioritaires.
\item[$\bullet~$]  $\dfrac{7}{16}$ des véhicules non prioritaires portent un numéro pair.
\item[$\bullet~$]  La moitié des véhicules prioritaires portent un
numéro impair.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant en indiquant, pour un total de 100~véhicules, le nombre de véhicules de chaque catégorie.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Véhicule prioritaire&Véhicule non prioritaire&Total\\ \hline
Numéro pair&&&\\ \hline
Numéro impair&&&\\ \hline
Total&&&100\:\%\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  On considère les évènements :

 A : \og le véhicule est prioritaire \fg{} et 
 
 B : \og le véhicule porte un numéro pair \fg.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les probabilités suivantes : Prob(A), Prob(B), Prob(A $~\cap~$ B) et Prob(A $~\cup~$ B).
		\item  Quelle est la probabilité qu'un véhicule n'ait pas le droit de circuler ce jour là ?
		\item  Les évènements A et B sont-ils indépendants ?
 	\end{enumerate}
\item  L'épreuve consiste à contrôler au hasard un véhicule en centre ville. On admet que la probabilité que son conducteur soit en infraction pour diverses raisons est $p = 0,15$.
	
25 contrôles sont effectués au hasard de manière indépendante, un conducteur pouvant être contrôlé plusieurs fois. On note $X$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre d'infractions constatées parmi les 25 contrôles effectués.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
		\item Calculer la probabilité que 5 véhicules contrôlés soient en infraction.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

\textbf{Partie 1 : Détermination d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = a\text{e}^{3x} + b\text{e}^{2x},\]

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. La courbe $\mathcal{C}_{f}$ donnée ci-dessous est la représentation graphique de cette fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij.

 La droite T est la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse $0$.
 
On se propose dans cette partie de déterminer les réels $a$ et $b$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer graphiquement $f(0)$ et $f'(0)$. Justifier les réponses données.
\item  Déterminer par le calcul la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ (on exprimera $f'(x)$ en fonction de $a,~b$ et $x$).
\item  Déduire des deux questions précédentes les valeurs respectives de a et b.
 \end{enumerate}
 
 
\textbf{Partie 2 : Étude de cette fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]- \infty~;~2]$ par 

\[f(x) = - \text{e}^{3x} + 3\text{e}^{2x}.\]


\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. On vérifiera que le résultat obtenu est en accord avec la courbe proposée.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item  Montrer que $f'(x)$ est du signe de $\left( 2 - \text{e}^x\right)$.
		\item  En déduire le signe de $f'(x)$ sur $]- \infty~;~2]$ et dresser le tableau des variations de $f$ sur $]- \infty~;~2]$. On
calculera les valeurs exactes de $f(\ln 2)$ et $f(2)$.
 	\end{enumerate}
\item  Calculer $f(0)$ et $f'(0)$. En déduire une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_{f}$ au point A. On vérifiera que les
résultats obtenus sont en accord avec la courbe proposée.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $]- \infty~;~2]$.
		\item   Calculer une valeur exacte de l'aire du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axes des abscisses et les
droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-7)(3,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=1.25pt,griddots=10](-5,-7)(3,5)
\psplot{-2}{1}{3 x mul 2 add}\uput[l](-2,-4){(T)}
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\uput[dl](0,0){O}
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\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}