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%Original aimablement fourni par Françoise Poirier
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et du Vivant \\Polynésie juin 2012}}

\bigskip

\textbf{L'annexe A est à rendre avec la copie}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

Les parties A et B sont indépendantes 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\emph{Les résultats seront arrondis à $10^{- 3}$ près si nécessaire.}

\medskip
 
Un pépiniériste utilise des arbustes pour composer des haies. Ces arbustes peuvent être à feuillage persistant ou non. Ils peuvent aussi être à fleurs ou non.
 
Le pépiniériste choisit un arbuste au hasard.
 
On note : 

$P$ l'évènement \og l'arbuste est à feuillage persistant \fg,
 
$F$ l'évènement \og l'arbuste est à fleurs \fg.
 
La situation est partiellement décrite par l'arbre de probabilités donné en \textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}.
 
\begin{enumerate}
\item On considère les probabilités données sur l'arbre de l'\textbf{annexe A}.  On a : $0,65 = p(P)$. 

Traduire de la même façon les autres probabilités données sur cet arbre. 
\item Compléter l'arbre de probabilités en \textbf{annexe A}. 
\item Calculer la probabilité de choisir un arbuste à feuillage persistant et à fleurs. 
\item Calculer la probabilité de choisir un arbuste à fleurs. 
\item Le pépiniériste a choisi un arbuste à fleurs. Quelle est alors la probabilité que cet arbuste soit à feuillage persistant?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Les résultats seront donnés sous forme de fractions.
 
Pour planter une haie, le pépiniériste choisit au hasard et simultanément 4 arbustes dans un lot de 16 dont 6 sont à fleurs.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de choix possibles de ces 4 arbustes.
 
On note $C$ l'évènement \og la haie comporte 3 arbustes à fleurs\fg{} et $D$ l'évènement \og la haie comporte au moins un arbuste à fleurs \fg. 
\item Calculer la probabilité que la haie comporte 3 arbustes à fleurs. 
\item Calculer la probabilité que la haie comporte au moins un arbuste à fleurs. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip
 
Soient $f$ une fonction définie sur $[-2~;~4]$ et $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.
 
La courbe représentative de la fonction dérivée $f^{\prime}$, notée $\mathcal{C}_{f^{\prime}}$. est donnée dans le document 1. On notera $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique de la fonction $f$. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item En vous appuyant sur la représentation graphique de $f^{\prime}$, compléter le tableau de signe de $f^{\prime}(x)$ fourni en \textbf{annexe A}.
\item En déduire les variations de $f$ sur l'intervalle [-2 ; 4]. 
\item \textbf{QCM} donné en \textbf{annexe A}.
 
Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette question sera zéro.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 9 points}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = 1 - \dfrac{2}{x}  - \text{e}^{- x}.\]
 
Sa courbe représentative dans un repère orthogonal, notée $\mathcal{C}_{g}$, est donnée dans le document 1.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $g$ en $0$ et en $+ \infty$. Donner une interprétation graphique de ces deux résultats. 
\item Calculer $g^{\prime}(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item Démontrer que $g^{\prime}(x) > 0$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. En déduire le tableau de variations de $g$. 
\item Calculer les valeurs exactes de $g(1)$ et $g^{\prime}(1)$. 
\item En déduire l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse 1. 
\item Déterminer graphiquement le signe de $g(x)$ sur $[3~;~+ \infty[$. 
\item Calculer $G(x)$ o˘ $G$ désigne une primitive de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\item Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{- 2}$ près de l'aire (exprimée en unité d'aire) du domaine situé entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équation $x = 3$ et $x = 5$. 
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{DOCUMENT 1}}
\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2} 
\end{flushleft}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Représentation graphique de la fonction \boldmath $f^{\prime}$ \unboldmath}

\bigskip

\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-3.5)(4.5,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2.5,-3.5)(4.5,7)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.25}{3.8}{x 3 exp  x dup mul 4 mul  sub x add 6 add}
\end{pspicture}

\vspace{0,25cm}
 
\begin{flushleft}\textbf{Exercice 3} 
\end{flushleft} 
 
\vspace{0,25cm} 

\textbf{Représentation graphique de la fonction \boldmath $g$ \unboldmath }

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-7)(11,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-7)(11,2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.274}{11}{1 2 x div sub 2.71828 x neg exp sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)}

\bigskip

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 1} 
\end{flushleft} 

\vspace{0,5cm}

\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{$\Omega$}}
{
	\pstree{\TR{$P$}\taput{0,65}}
	  { 
		  \TR{$F$}\taput{}
		  \TR{$\overline{F}$}\tbput{0,3}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{P}$}\tbput{}}
	  {
		  \TR{$F$}\taput{0,6}
		  \TR{$\overline{F}$}\tbput{}	  
	  }
}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2} 

\vspace{0,4cm}
 
\textbf{1.} Tableau de signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle $[-2~;~4]$. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
$x$&$- 2$ \hfill 4\\ \hline
signe de $f^{\prime}(x)$&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{3. QCM}

\hspace{0.5cm}\textbf{a.} Par lecture graphique, on obtient :

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\Box~~f^{\prime}(1) = 4$&$\Box~~ f^{\prime}(1)= - 3$&$\Box~~ f^{\prime}(1)= 6$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\hspace{0.5cm}\textbf{b.} L'équation de la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $x = 1$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\Box~~y = - 3x + 8$&$\Box~~ y = 8x + 3$&$\Box~~y = 4x + 12$\\
\end{tabularx}
 
\end{document}