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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 22 juin 2010}
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\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique France 22 juin 2010~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On s'intéresse au nombre de clients ayant accès à l'internet haut débit en France.

On a pris pour indice de référence 100 en décembre 2007. 

On dispose des renseignements suivants : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&déc.01 &déc.02 &déc.03 &déc.04 &déc.05 &déc.06 &déc.07 &déc.08 \\ \hline
\small Nombre de clients ayant accès à l'internet haut débit, en milliers & 
604&& \np{3626} &\np{6562} &\np{9465} &\np{12711} &\np{15752} &\np{17691} \\ \hline
Indice& 3,8 &10,8 &23,0 &41,7 &60,1 &80,7 &100,0 &112,3\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\emph{(Sources: France Telecom et ARCEP) }}
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{center}\emph{Les pourcentages demandés seront arrondis à $1\,\%$.} \end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, au millier près, le nombre de clients ayant accès à l'internet haut débit en France en décembre 2002. 
\item Donner le taux d'évolution du nombre de clients ayant accès à l'internet haut débit de décembre 2007 à décembre 2008. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le taux d'évolution du nombre de clients ayant accès à l'internet haut débit de décembre 2005 à décembre 2008. 
		\item Calculer le taux d'évolution annuel moyen du nombre de clients ayant accès à l'internet haut débit de décembre 2005 à décembre 2008. 
		\item On suppose qu'en 2009 l'évolution s'est poursuivie avec le taux annuel calculé au 3. b. 

Déterminer, au millier près, le nombre de clients ayant accès à l'internet haut débit en décembre 2009.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
On s'interroge sur la pertinence de la supposition faite à la question 3. c. Pour cela, on calcule les taux d'évolution annuels suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&\small De décem\-bre-04 à décembre-05&
\small De décembre-05 à décembre-06&\small De décembre-06 à décembre-07\\ \hline 
\small Taux d'évolution du nombre de clients ayant accès à l'internet haut débit &
+44\,\% &+34\,\% &+24\,\%\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

La supposition faite dans la question 3. c. vous paraît-elle pertinente ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ 
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.\\ 
Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$~point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, alors la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip
 
\fbox{
\begin{minipage}{\textwidth} \begin{center}Formulaire :\end{center} 
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la fonction $uv$ est dérivable sur l'intervalle I et $(uv)'= u'v + uv'$.\end{minipage}} 

\medskip

On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par 

\[f(x) = (2 + x)\text{e}^x \quad \text{et}\quad  g(x) = 2x\text{e}^x.\]
 
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$ et $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur $\R$.
 
On a tracé, en annexe 1, trois courbes $\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$.
 
Parmi elles, figure la représentation graphique de chacune des fonctions $f$ et $g$.
 
\begin{enumerate}
\item  $f(0)$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 0&\textbf{b.~~} 2& \textbf{c.~~} $- 2$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item La représentation graphique de la fonction $g$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\mathcal{C}_{1}$&\textbf{b.~~} $\mathcal{C}_{2}$& \textbf{c.~~} $\mathcal{C}_{3}$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item Pour tout nombre réel $x,~g'(x)$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $2\text{e}^x$&\textbf{b.~~} $(2x + 2)\text{e}^x$& \textbf{c.~~} $2 + \text{e}^x$\\
\end{tabularx}

\medskip  

\item On admet que, pour tout nombre réel $x,~f'(x) = (3 + x)\text{e}^x$. La fonction $f$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} croissante sur $\R$&\textbf{b.~~} décroissante sur $\R$& \textbf{c.~~} ni décroissante ni croissante sur $\R$\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip
 
Sur un site internet, on trouve les données suivantes qui concernent le Tour de France.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2006 &2007 &2008\\ \hline 
\begin{tabular}{c}Nombre de\\
 participants\\
 \end{tabular}& 176 &189 &180\\ \hline 
\begin{tabular}{c}Nombre d'\\ \og épinglés \fg*\\
 \end{tabular}&45 &38 &26 \\ \hline 
\multicolumn{4}{r}{\emph{(Source: cyclisme-dopage.com)}}\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\emph{* La catégorie \og épinglés \fg{} est constituée par les coureurs ayant été contrôlés positifs (y compris par constat de carence ou par constat d'un hématocrite supérieur à 50\,\%), ayant reconnu s'être dopé et ayant été sanctionnés (par la justice, leur fédération ou leur équipe) dans le cadre d'affaires liées au dopage.}

\bigskip
 
\textbf{Première partie : Traitement des données sur tableur}

\medskip
 
On reporte ces données dans une feuille de calcul, afin de les compléter : 


\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{4.cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E\\ \hline
1&Année&2006&2007&2008&total\\ \hline
2&Nombre de participants
&176&189&180&545\\ \hline
3&Nombre d'\og épinglés \fg
&45&38&26&109\\ \hline
4&Nombre de \og non épinglés \fg
&&&&436\\ \hline
5&Taux d'\og épinglés \fg & 25,6\,\%&&&\\ \hline
\multicolumn{6}{c}{La plage de cellule B5:E5 est au format pourcentage à une décimale.}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner une formule qui, entrée en cellule B4, permet par recopie vers la droite d'obtenir le contenu des cellules de la plage B4: D4. 
\item Donner une formule qui, entrée en cellule E2, a permis par recopie vers le bas d'obtenir le contenu des  cellules de la plage E2: E4. 
\item Donner une formule qui, entrée en cellule B5, permet par recopie vers la droite d'obtenir le contenu des  cellules de la plage B5: E5. 
\item Calculer la valeur affichée dans la cellule C5.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Deuxième partie: Probabilités}

\medskip
 
Pour chacune des années 2006, 2007 et 2008, on dispose pour chaque participant d'une fiche sur laquelle figurent l'année, le nom du participant, et la mention\og épinglé\fg ou bien \og non-épinglé \fg. Ainsi un même participant peut figurer sur plusieurs fiches s'il a participé au tour de France plusieurs fois  parmi les années 2006, 2007 ou 2008.
 
Toutes les fiches sont mélangées, et on en choisit une au hasard.
 
On définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $D$ : \og la fiche est une fiche du Tour de France de l'année 2008 \fg ; \item[] $E$ : \og la fiche porte la mention \og épinglé \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center} 
\emph{Les probabilités demandées seront arrondies au centième.}\end{center} 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $D$. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $D \cap E$.
		\item Calculer la probabilité, sachant $D$, de l'évènement $E$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la probabilité de l'évènement $E$.
\item Calculer la probabilité, sachant que la fiche choisie porte la mention \og épinglé \fg, que ce soit une fiche de l'année 2008.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip
 
Dans cet exercice, on s'intéresse au nombre de personnes, enfants et adultes, vivant avec le VIH/SIDA (Virus de l'Immunodéficience Humaine/Syndrome Immuno-Déficitaire Acquis) au Sénégal.

\bigskip
 
\textbf{Partie A : étude d'un premier modèle}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous présente les données de 1996 à 2006 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\begin{tabular}{l}Année\\ \end{tabular} &\small 1996 &\small 1997 &\small 1998 &\small 1999 &\small 2000 &\small 2001 &\small 2002 &\small 2003 &\small 2004 &\small 2005 &\small 2006\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline 
\small Estimation du nombre de per\-sonnes vivant avec le VIH au Sénégal (en milliers) $y_{i}$
&9 &11 &13 &16 &20 &24 &29 &35 &41 &49 &57\\ \hline
\multicolumn{12}{r}{\emph{(Source: UNAIDS (Joint United Nations program on HIV/A1DS))}}
\end{tabularx}

\medskip 
  
Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$, pour $i$ variant de $0$ à $10$, est donné en annexe 2 à rendre avec la copie.
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ (arrondir les coefficients au millième).
 
\item On décide d'ajuster le nuage avec la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 4,8x + 3,9$.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique figurant sur l'annexe 2. 
		\item En utilisant cet ajustement affine, estimer le nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal en 2007.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude d'un deuxième modèle}

\medskip
 
Le taux d'évolution annuel moyen du nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal entre les années 1996 et 2006 est d'environ 20\,\%.

\medskip
 
On décide alors de modéliser la situation à l'aide d'une suite géométrique de raison $1,2$.
\medskip
 
Pour tout entier naturel $n,~u_{n}$ désigne une estimation du nombre de personnes, en milliers, vivant avec le VIH au Sénégal pendant l'année $1996 + n$.
 
Ainsi $\left(u_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 9$ et de raison $1,2$.
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer, d'après ce modèle, le nombre prévisible de personnes atteintes en 2007.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Exploitation des modèles}

\medskip
 
Des experts ont estimé qu'en 2007 il y avait \np{67000}~personnes vivant avec le VIH au Sénégal.
 
\begin{enumerate}
\item Lequel des deux modèles étudiés dans les parties A et B donne la meilleure prévision pour 2007 ? 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}

\medskip
 
En choisissant le modèle qui vous paraît le mieux adapté, déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal dépassera $100$~milliers. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-4,-6)(2.5,17)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=2,subgridcolor=orange](-4,-6)(3,17)
\multido{\n=-3.75+0.50}{14}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,-6)(\n,17)}
\uput[d](2.4,0){$x$}\uput[l](0,16.7){$y$}\uput[dr](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-4}{1.5}{2 x mul 2.71828 x exp mul}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-1.2}{2.5}{5 x mul }
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-4}{1.5}{2 x add 2.71828 x exp mul}
\uput[l](1,8){$\mathcal{C}_{2}$} \uput[ul](-1,-5){$\mathcal{C}_{3}$} \uput[d](-2.5,-0.5){$\mathcal{C}_{1}$}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-6)(2.5,17) 
\end{pspicture*}

\newpage

\textbf{Annexe 2, \`a rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.18cm}
\begin{pspicture}(12,107.5)
\multido{\n=0.0+0.5}{25}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,107.5)}
\multido{\n=0.0+2.5}{44}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(12,107.5)
\uput[d](6,-6){Rang de l'année}\rput{90}(-1,53.5){Nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal (en milliers)}
\psdots[dotscale=1.5](0,9)(1,11)(2,13)(3,16)(4,20)(5,24)(6,29)(7,35)(8,41)(9,49)(10,57)
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}