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%Tapuscrit : Vincent Tolleron
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

%: En-tête
{\Large \textbf{\gray Baccalauréat STG --- CGRH\\
 Antilles-Guyane 20 juin 2012}}
\end{center}

\vspace{1cm}

%: Ex 1 6 points
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 

\smallskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).}\\
Dans cet exercice, pour chaque question trois réponses sont proposées, \textbf{une seule est correcte.}\\
\textbf{Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.}\\
Aucune justification n'est demandée.\\
\emph{Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte ou une absence de réponse n'apporte ni ne retire aucun point.\\
Les deux parties sont indépendantes.}

\smallskip

\textbf{Partie I}

\smallskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-3~;~4]$ par $f(x)=x^3-x^2-9x+3$.\\
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[-3~;~4]$.\\
On donne le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[-3~;~4]$:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}
\hline
$x$ & $-3$ & \qquad\qquad & $-1$ & \qquad\qquad & $3$ & \qquad\qquad & 4\\
\hline
 & & &\rnode{b}{8}& & & &\rnode{d}{$-17$}\\
 $f$& & & & & & & \\
 &\rnode{a}{$-24$}& & & &\rnode{c}{$-24$}& & \\
\hline
\end{tabular}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{a}{b}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{b}{c}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{c}{d}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item L'expression de $f'(x)$ est:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{a)~~}p{3cm}@{~~b)~~}p{3cm}@{~~c)~~}p{3.3cm}}
$f'(x)=x^2-6x-9$ & $f'(x)=3x^2-6x-9$ & $f'(x)=3x^2-6x-6$
\end{tabular}
\end{center}
\item Sur l'intervalle $[-3~;~4]$ la fonction $f'$ est:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{a)~~}p{3cm}@{~~b)~~}p{3cm}@{~~c)~~}p{3.3cm}}
positive & négative & de signe non constant
\end{tabular}
\end{center}
\item
Le calcul de $f(-2)$ donne:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{a)~~}p{3cm}@{~~b)~~}p{3cm}@{~~c)~~}p{3.3cm}}
25 & $-11$ & 1
\end{tabular}
\end{center}
\item L'équation $f(x)=0$ admet sur l'intervalle $[-3~;~4]$:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{a)~~}p{3cm}@{~~b)~~}p{3cm}@{~~c)~~}p{3.3cm}}
aucune solution & une unique solution & deux solutions
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie II}

\smallskip

Dans cette partie, $A$ et $B$ sont deux événements. On note $\overline{A}$ et $\overline{B}$ leurs événements contraires respectifs.

\smallskip

On considère l'arbre pondéré suivant:
\begin{center}
\pstree[nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treemode=R,levelsep=3cm]{
\Tr{}
}
{
\pstree{\Tr{$A$}^{\np{0,6}}}{\Tr{$B$} \Tr{$\overline{B}$}_{\np{0,2}}}
\pstree{\Tr{$\overline{A}$}_{}}{\Tr{$B$}^{\np{0,7}} \Tr{$\overline{B}$}_{}}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item La probabilité $P\left(A\cap \overline{B}\right)$ est égale à:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{a)~~}p{3cm}@{~~b)~~}p{3cm}@{~~c)~~}p{3.3cm}}
\np{0,2} & \np{0,8} & \np{0,12}
\end{tabular}
\end{center}
\item La probabilité $P(B)$ est égale à:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{a)~~}p{3cm}@{~~b)~~}p{3cm}@{~~c)~~}p{3.3cm}}
\np{0,76} & \np{0,8} & \np{0,7}
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

%: Ex 2 7 points
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}
 
\smallskip

Une salle de théâtre contient \np{2000} places assises. Lors du lancement d'un nouveau spectacle, le directeur s'attend à ce que le nombre de spectateurs augmente au fil du temps et note en conséquence chaque jour le nombre de personnes souhaitant y assister.

\smallskip

Les résultats sont consignés dans le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Rang du jour: $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
\hline
Nombre de spectateurs: $y_i$& 975 & \np{1025} & \np{1100} & \np{1225} & \np{1275} & \np{1350} & \np{1450}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
Calculer le pourcentage d'évolution du nombre de spectateurs entre le premier et le septième jour de représentation. \emph{On arrondira le résultat au dixième.}
\item
Dans un repère orthogonal et sur une feuille de papier millimétré, représenter le nuage de points associé à cette série statistique.\\
Unités: 2~cm pour 1~jour en abscisse et 1~cm pour 50~spectateurs en ordonnée en commençant les graduations de l'axe des ordonnées à 800.
\item La forme du nuage permet-elle d'envisager un ajustement affine~? Pourquoi~?
\item Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage et placer $G$ sur le graphique précédent.
\item
\begin{enumerate}
\item
Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation réduite de la droite $\mathcal{D}$ d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.\\
\emph{On arrondira les valeurs numériques obtenues au dixième.}
\item Construire cette droite $\mathcal{D}$ sur le graphique précédent.
\end{enumerate}
\item On admet dans cette question que la tendance se poursuit suivant le modèle établi dans la question précédente.
\begin{enumerate}
\item
Combien le directeur peut-il prévoir de spectateurs le dixième jour de représentation du spectacle~?
\item
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou toute initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
Au bout de combien de jours la salle affichera-t-elle complet~? Combien de personnes le directeur devra-t-il alors refuser ce jour là~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}











\vspace{1cm}

%: Ex 3 7 points
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}
 
\smallskip

Le but de cet exercice est de comparer l'évolution de la population de deux quartiers d'une même ville: le quartier Uranus et le quartier Saturne.

\smallskip

En 2010, Uranus compte \np{2000} habitants et Saturne en compte \np{2700}. On fait l'hypothèse que, chaque année, la population d'Uranus augmente de 250 habitants et celle de Saturne augmente de 4~\%.

\smallskip

On note $u_0$ la population d'Uranus en 2010, $u_1$ sa population en 2011 et plus généralement $u_n$ sa population en l'an $2010+n$.

\smallskip

De même, on note $s_0$ la population de Saturne en 2010, $s_1$ sa population en 2011 et plus généralement $s_n$ sa population en l'an $2010+n$.

\begin{enumerate}
\item
Quelle est la nature de la suite $(u_n)$~? Justifier.
\item
\begin{enumerate}
\item
Démontrer que la suite $(s_n)$ est géométrique de raison \np{1,04}.
\item
Exprimier $s_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item 
Afin de prévoir l'évolution de la population de ces deux quartiers, on a réalisé \textbf{page \pageref{prout} en annexe à rendre avec la copie,} une feuille de calcul. \emph{(Les valeurs ont été arrondies à l'unité).}
\begin{enumerate}
\item
Indiquer la formule saisie en C3 qui, recopie vers le bas, permet d'obtenir
les termes consécutifs de la suite $(s_n)$ dans la colonne C.
\item Compléter les colonnes B et C.
\item D'après cette feuille de calcul, en quelle année la population d'Uranus dépassera-t-elle pour la première fois celle de Saturne~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\newpage
\vspace{3cm}
\begin{center}
\large
\textbf{
ANNEXE (à rendre avec la copie)
}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& \textbf{A}& \textbf{B}& \textbf{C}\\
\hline
\textbf{1} & $n$&  $u_n$ & $s_n$ \\
\hline
\textbf{2} & 0 & \np{2000} & \np{2700}\\
\hline
\textbf{3} & 1 & \np{2250} & \np{2808}\\
\hline
\textbf{4} & 2 & \np{2500} & \np{2920}\\
\hline
\textbf{5} & 3 & \np{2750} & \np{3037}\\
\hline
\textbf{6} & 4 & \np{3000} & \np{3159}\\
\hline
\textbf{7} & 5 &   & \\
\hline
\textbf{8} & 6 &   & \\
\hline
\textbf{9} & 7 &   & \\
\hline
\textbf{10} & 8 &   & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{prout}







\end{document}