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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués~\decofourright\\Métropole 
septembre 2011}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip
% 
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ 
%Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 + 2x - 3$ et $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère du plan. Alors, un des points d'intersection de $\Gamma$ avec l'axe des abscisses a pour coordonnées :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.~~} (2~;~0) &\textbf{b.~~} $(- 3~;~0)$ &\textbf{c.~~} (0~;~- 3).
%\end{tabularx}
%\medskip
On a $f(x) = 0 \iff  x^2 + 2x - 3 = 0 \iff x + 1)^2 - 1 - 3 = 0 \iff (x + 1)^2 - 4 = 0 \iff x + x + 2)(x + 1- 2) = 0 \iff (x + 3)(x - 1) = 0 \iff x = - 3 \:\text{ou} x = 1$. Réponse \textbf{b.}
\item %Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x) = \dfrac{x^3}{6} + 3x^2 + x$.
 
%On note $g^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Alors $g^{\prime}$ est définie sur $\R$ par : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.~~} $g^{\prime}(x) = 3x^2 + 2x + 1$& \textbf{b.~~} $g^{\prime}(x) = \dfrac{3x^2}{2} +6x + 1$&\textbf{c.~~}  $g^{\prime}(x) = \dfrac{x^2}{2} + 6x + 1 $\\
%\end{tabularx}
%\medskip
On a $g^{\prime}(x) =  \dfrac{3x^2}{6} + 2 \times 3x + 1 = \dfrac{x^2}{2} 6x + 1$ : réponse \textbf{c.} 
\item %Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle I $= [ 1~;~+ \infty[$ par : $h(x) = \dfrac{7}{2x + 1}$. 

%Une primitive sur I de la fonction $h$ est la fonction $H$ définie sur I par : 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.~~} $H(x) = \dfrac{7x}{x^2 + x}$&\textbf{b.~~} $H(X) = \dfrac{- 14}{(2x + 1)^2}$&\textbf{c.~~}  $H(x)= \dfrac{7}{2}\ln (2x + 1) + 8$.\\
%\end{tabularx}
%\medskip
Une primitive de la fonction $u \longmapsto \dfrac{1}{u}$ est la fonction $\ln |u|$. Seule la réponse \textbf{c.} est possible.

On vérifie que $H^{\prime}(x) = \dfrac{7}{2}\times 2\times \dfrac{1}{2x + 1}  = \dfrac{7}{2x + 1} = h(x)$ : réponse \textbf{c.}
\item %L'équation $\text{e}^{x + 3} = 5$ a pour solution réelle :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.~~} $\ln 2$&\textbf{b.~~} $\ln 5 - 3$&\textbf{c.~~} $\dfrac{\text{e}^5}{3}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip 
Par croissance de la fonction logarithme népérien $\text{e}^{x + 3} = 5 \iff x + 3 = \ln 5 \iff x = \ln 5 - 3$. Réponse \textbf{b.}
%\textbf{Dans les questions 5 et 6}, on considère la conique C d'équation cartésienne $4x^2 + 9y^2 = 36$ dans un plan rapporté à un repère orthonormal.

 
\item %La conique C est une
 
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.~~} parabole& \textbf{b.~~} ellipse &\textbf{c.~~} hyperbole.
%\end{tabularx}
%\medskip 
$4x^2 + 9y^2 = 36 \iff \left(\dfrac{x}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{2}\right)^2 = 1$ : c'est l'équation d'une ellipse. 
\item %Un des foyers de la conique est le point de coordonnées : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.~~} $\left(\sqrt{5}~;~0\right)$&\textbf{b.~~} $\left(0~;~\sqrt{5}\right)$& 
%\textbf{c.~~} $\left(\sqrt{13}~;~0\right)$. \\
%\end{tabularx}
%\medskip 
Avec $a = 3$ et $b = 2$, on a $c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 4  = 5 \Rightarrow c = \sqrt{5}$. Réponse \textbf{a.}
\item %Dans une classe de terminale de 30 élèves, 16 suivent une option cinéma-audio-visuel, 12 suivent une option arts plastiques et 8 suivent ces deux options. On choisit un élève au hasard dans cette classe. La probabilité de l'évènement \og l'élève suit au moins une de ces deux  options \fg{} est:
Il y a $16 + 12 - 8 = 20$ qui suivent au moins une de ces deux  options. La probabilité est donc égale à $\dfrac{20}{30} = \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15}$. Réponse \textbf{b.}
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
%\textbf{a.~~} $\dfrac{4}{15}$ &\textbf{b.~~}$\dfrac{10}{15}$&\textbf{c.~~} $\dfrac{14}{15}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip  
  
\item %On lance deux fois de suite un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On fait la somme des numéros apparaissant sur la face supérieure. Sachant que cette somme est 6, la probabilité que les deux numéros soient égaux est égale à : 
Il y a cinq issues donnant un total de  6 : 1-5 ; 2-4 ; 3-3 ; 4-2 ; 5-1 et parmi celles-ci un seul formé de deux nombres égaux ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{1}{5}$.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
%\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{5}$ &$\dfrac{1}{3}$& $\dfrac{1}{2}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~3] par 
%
%\[g(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2x + \dfrac{5}{2}\] 
% 
%La courbe représentative de cette fonction est une partie P de la parabole représentée en annexe dans un repère orthogonal du plan. Unités graphiques : 2~cm en abscisses et 1~cm en ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer une primitive G de la fonction g sur l'intervalle [0, 3].
On a $G(x) = \dfrac{1}{2}\times \dfrac{x^3}{3} - x^2 + \dfrac{5}{2}x = \dfrac{1}{6}x^3 - x^2 + \dfrac{5}{2}x$. 
\item %Calculer l'intégrale $I =  \displaystyle\int_{0}^3   g(x)\:\text{d}x$.
$I =  \displaystyle\int_{0}^3   g(x)\:\text{d}x = \left[G(x)\right]_{0}^3 = G(3) - G(0) = \dfrac{1}{6}3^3 - 3^2 + \dfrac{5}{2}\times 3 - \left(\dfrac{1}{6}0^3 - 0^2 + \dfrac{5}{2}\times 0 \right) = \dfrac{9}{2} - 9 + \dfrac{15}{2} = 12 - 9 = 3$~(u. a.)

Comme une unité d'aire vaut : $2 \times 1 = 2$~cm$^2$, on a :

$I = 2 \times 3 = 6$~cm$^2.
$\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

%On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle [3~;~6] par 
%
%\[h(x) = 3 \ln x - 3\ln 3 + 1\]
%
%et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le même repère que celui de la partie A.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %On désigne par $h^{\prime}$ la dérivée de la fonction $h$. Vérifier que : 
		
%Pour tout réel $x$ de l'intervalle [3~;~6], $h^{\prime}(x) = \dfrac{3}{x}$. 
Comme la dérivée de la fonction $x \longmapsto \ln x$ est pour $x > 0$, la fonction $\dfrac{1}{x}$, on a 

$h^{\prime}(x) = \dfrac{3}{x}$ sur l'intervalle [3~;~6].
		\item %Quel est le sens de variation de $h$ sur l'intervalle [3, 6] ?
Comme sur [3~;~6]; $\dfrac{3}{x} > 0$, la fonction $h$ est croissante sur [3~;~6]. 
		\item %Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse 3.
On a $h(3) = 3\ln 3 - 3\ln 3 + 1 = 1$ et $h^{\prime}(3) = \dfrac{3}{3} = 1$.

Une équation de T est :

$y - h(3) = h^{\prime}(3)(x - 3)$ soit $y - 1 = x - 3$ et enfin $y = x - 2$.		 
%On admettra que T est également tangente à la courbe P au même point.
	\end{enumerate} 
\item %Compléter le tableau de valeurs suivant. Les résultats seront arrondis au centième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&3	&3,5	&4		&4,5	&5		&5,5	&6\\ \hline
$h(x)$	&1	&1,46	&1,86	&2,22	&2,53	&2,82	&3,08\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

%Tracer la courbe $\Gamma$ et la droite T dans le repère joint en annexe.
Voir à la fin.
\item %Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle [3~;~6] par 

%\[H (x) = 3x \ln x - (3\ln 3 + 2)x. \]

	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle [3~;~6].
		On calcule $H^{\prime}(x) = 3\ln x + 3x \times \dfrac{1}{x} - 3\ln 3 - 2 =  3\ln x + 3 - 3\ln 3 - 2 = 3\ln x  - 3\ln 3 + 1 = h(x)$.
		
		Cette égalité montre que $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle [3~;~6].
		\item %On appelle $J$ l'aire (en unités d'aires) de la partie du plan limitée par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 3$ et $x = 6$. Déterminer la valeur arrondie de $J$ au centième.
		Sur [3~;~6], on a $h(x) > 0$, donc $J$ est égale à l'intégrale :
		
$J = \displaystyle\int_{3}^6 h(x)\:\text{d}x = \left[H(x) \right]_{3}^6 = H(6) - H(3) = 3\times 6 \ln 6 - (3\ln 3 + 2)\times 6 - \left[3\times 3 \ln 3 - (3\ln 3 + 2)\times 3  \right] = 
18\ln 6 - 18\ln 3 - 12 - 9\ln 3 + 9\ln 3 + 6 = 
18\ln 6  - 18\ln 3 - 6 = 18(\ln 2 + \ln 3) - 18\ln 3 - 6 = 18\ln 2 + 18\ln 3 - 18\ln 3 - 6 =
18\ln 2 - 6 \approx 6,48$~unités d'aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On appelle C la réunion des courbes P et $\Gamma$.
 
%Construire sur le graphique la courbe C$'$ symétrique de C par rapport à l'axe des abscisses.
Voir plus bas. 
\item %On veut connaître l'aire d'un logo dont le contour est formé par C, C$'$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 6$. 

%Justifier que l'aire de ce logo est égale, en cm$^2$, à $4(1 + J)$. En donner la valeur arrondie à l'unité.
L'aire de la surface limitée par les deux arcs de parabole et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 3$ est égale à  :

$2 \times \displaystyle\int_{0}^3 g(x)\:\text{d}x = 2I$~(unités d'aire).

L'aire du logo est donc égale à $2I + 2J = 2(I + J)$~unités d'aire.

Comme une unité d'aire vaut : $2 \times 1 = 2$~cm$^2$, l'aire du logo est donc égale à 

$4(I + J) \approx 4(3 + 6,48) \approx 37,92$ soit à l'entier le plus proche environ 38~cm$^2$.
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}

{\large \textbf{Annexe à l'exercice 2 }}

\textbf{(à compléter et à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-4)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-4)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1.5,-4)(7,7)
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\uput[u](2,0.5){P}\uput[d](7.2,0){$x$}\uput[l](0,6.7){$y$}\uput[dl](0,0){O}
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\psdots(3,1)(3.5,1.46)(4,1.86)(4.5,2.22)(5,2.53)(5.5,2.82)(6,3.08)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{3}{6}{x ln 3 mul 3 ln 3 mul sub 1 add}
\psline(0,-2)(6,4)\uput[ul](6,4){T}\uput[ul](6,3.08){$\Gamma$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=red]{0}{3}{x dup mul 0.5 mul 2 x mul sub 2.5 add neg}
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\uput[ur](0.25,2){C}\uput[dr](0.25,-2){C$'$}
\end{pspicture*} 
\end{center}
\end{document}