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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} \Large{ \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL  Métropole  juin 2001~\decofourright\\
Chimie de laboratoire et de procédés industriels}}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\emph{\footnotesize
%L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%Une urne contient trois boules, indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 3.
% 
%Un jeu consiste à extraire successivement deux boules de l'urne, la première boule étant remise avant d'extraire la seconde.
% 
%On appelle tirage, tout couple $(a,~ b)$ où $a$ est le numéro de la première boule extraite et $b$ celui de la seconde.
% 
%On admet que tous les tirages sont équiprobables.
 
\begin{enumerate}
\item %Préciser l'ensemble des neuf tirages possibles (on pourra s'aider d'un tableau).
On a les neuf tirages suivants :

(1~;~1), (1~;~2), (1~;~3), (2~;~1), (2~;~2), (2~;~3), (3~;~1), (3~;~2), (3~;~3).
\item %Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage $(a,~b)$, associe le produit $ab$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelles sont les valeurs prises par X ? 
X $ \in \{1,~2,~3~,4,~6,~9 \}$
		\item %Établir la loi de probabilité de X.
On a le tableau suivant :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
X $ = x_{i}$&1&2&3&4&6&9\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p\left(\text{X} = x_{i}\right)$&$\dfrac{1}{9}$&$\dfrac{2}{9}$&$\dfrac{2}{9}$&$\dfrac{1}{9}$&$\dfrac{2}{9}$&$\dfrac{1}{9}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
		\item %Calculer l'espérance mathématique E(X).
E(X) $ = 1 \times \dfrac{1}{9} + 2 \times \dfrac{2}{9} + 3 \times \dfrac{2}{9} + 4 \times \dfrac{1}{9} + 6 \times \dfrac{2}{9} + 9 \times \dfrac{1}{9} = \dfrac{1 + 4 + 6 + 4 + 12 + 9}{9} = \dfrac{36}{9} = 4.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%On note i le nombre complexe de module 1 ayant pour argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
 
%On considère les nombres complexes $z_{1} = - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$  et $z_{2} = \sqrt{3} + \text{i}$. 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le module et un argument de $z_{1}$ puis de $z_{2}$.
On a $\left|z_{1} \right|^2 = \left(- \sqrt{2} \right)^2 +  \left(\sqrt{2} \right)^2 = 2 + 2 = 4 \Rightarrow \left|z_{1} \right| = 2$.

Donc $z_{1} = 2\left(- \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2 \left(\cos  \dfrac{3\pi}{4} + \text{i}\sin  \dfrac{3\pi}{4} \right)$.

Donc un argument de $z_{1}$ est $\dfrac{3\pi}{4}$.

$\left|z_{2} \right|^2 = \left(\sqrt{3} \right)^2 +  \left(1 \right)^2 = 3 + 1 = 4 \Rightarrow \left|z_{2} \right| = 2$.

Donc $z_{2} = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i} \dfrac{1}{2} \right) = 2 \left(\cos \dfrac{\pi}{6} + \text{i}\sin  \dfrac{\pi}{6} \right)$.

Donc un argument de $z_{2}$ est $\dfrac{\pi}{6}$.
\item %On considère le nombre complexe $Z = z_{1} z_{2}^2$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Écrire $Z$ sous forme trigonométrique.
On a $z_{1} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{2} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$, donc $z_{2}^2 = 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$, donc par produit $Z = 8\text{e}^{\text{i}\left[\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right]} = 8 \text{e}^{\text{i}\frac{13\pi}{12}}$.  
		\item %Vérifier que $Z = \left(-2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}\right) + \text{i}\left(2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}\right)$.
$z_{2} = \sqrt{3} + \text{i} \Rightarrow z_{2}^2 = \left(\sqrt{3} + \text{i} \right)^2 = 3 - 1 + 2\text{i}\sqrt{3} = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$

Donc $Z = z_{1}z_{2}^2  = \left(- \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2} \right)\left(2 + 2\text{i}\sqrt{3} \right) = - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + \text{i}\left(2\sqrt{2} - 2\sqrt{6} \right)$.
		\item %Déduire des deux résultats précédents les valeurs exactes de $\cos \dfrac{13\pi}{12}$ et de $\sin \dfrac{13\pi}{12}$.
D'après les deux derniers résultats : 
		
$Z =  8 \text{e}^{\text{i}\frac{13\pi}{12}} = - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + \text{i}\left(2\sqrt{2} - 2\sqrt{6} \right) \iff \text{e}^{\text{i}\frac{13\pi}{12}} = \dfrac{- 2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}}{8} + \text{i}\dfrac{2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}}{8} = \dfrac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} = \cos \dfrac{13\pi}{12} + \text{i}\sin \dfrac{13\pi}{12}$. En identifiant parties réelles et parties imaginaires, on obtient :

\[\cos \dfrac{13\pi}{12} = \dfrac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \quad \sin \dfrac{13\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip		

%Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 
%
%\[f(x) = \text{e}^{2x} - 3\text{e}^{x} + x + 2.\]
% 
%et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~cm. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = 0$.

Or $\text{e}^{2x} = \left(\text{e}^{x} \right)^2$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = 0$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x = -\infty$, on a finalement $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)  = - \infty$. 
		\item %Démontrer que la droite $D$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par : $d(x) = f(x) - (x + 2) =  \text{e}^{2x} - 3\text{e}^{x}$.
		
On a vu que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} - 3\text{e}^{x} = 0$, ce qui signifie graphiquement que la droite $D$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
		\item %Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $D$.
Il faut donc étudier le signe de $d(x)$.

Or $d(x) = \text{e}^{2x} - 3\text{e}^{x} = \text{e}^{x}\left(\text{e}^{x}  - 3\right)$ qui est du signe de $\text{e}^{x}  - 3$ car $\text{e}^{x} > 0$ quel que soit le réel $x$.

On a donc $d(x) > 0 \iff \text{e}^{x}  - 3 > 0 \iff \text{e}^{x} > 3 \iff x > \ln 3$ par croissance de la fonction logarithme népérien.

Conclusion : sur $]\ln 3~;~+ \infty]$, la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la droite $D$.

On trouve de même que sur $]- \infty~;~\ln 3[$, la courbe $\mathcal{C}$ est au dessous de la droite $D$.

Pour $x = \ln 3$, la courbe et la droite ont un point commun d'ordonnée $2 + \ln 3$.
	\end{enumerate} 
\item %Vérifier que pour tout réel $x$ : 

%\[f(x) = \text{e}^{x}\left(\text{e}^{x} -3 + \dfrac{x}{\text{e}^{x}}+ \dfrac{2}{\text{e}^{x}}\right) ;\] 

%en déduire la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
Comme $\text{e}^{x} > 0$ quel que soit le réel $x$ on peut le factoriser dans l'écriture de $f(x)$ : 

$f(x) =  \text{e}^{x}\times \text{e}^{x} - 3\text{e}^{x} + x + 2 = \text{e}^{x}\left(\text{e}^{x} -3 + \dfrac{x}{\text{e}^{x}}+ \dfrac{2}{\text{e}^{x}}\right)$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^{x}} = 0$, que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{2}{\text{e}^{x}} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{x} = + \infty$, d'où par somme et produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$.
$f$ somme de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable sur cet intervalle et :

$f'(x) = 2\text{e}^{2x} - 3\text{e}^{x} + 1$.  
		\item %Vérifier que $f'(x) = \left(2\text{e}^{x} - 1\right) \left(\text{e}^{x} - 1\right)$.
Développons 	$\left(2\text{e}^{x} - 1\right) \left(\text{e}^{x} - 1\right) = 2\text{e}^{2x} - 2\text{e}^{x} - \text{e}^{x} + 1 = 2\text{e}^{2x} - 3\text{e}^{x} + 1 = f'(x)$.	 
%Résoudre dans $\R$ l'équation $f'(x) = 0$ puis déterminer le signe de $f'(x)$.
On a donc $f'(x) = 0 \iff \left(2\text{e}^{x} - 1\right) \left(\text{e}^{x} - 1\right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
 2\text{e}^{x} - 1&=&0\\
\text{e}^{x} - 1&=&0
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
2\text{e}^{x} &=&1\\
\text{e}^{x} &=&1
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
\text{e}^{x} &=&\frac{1}{2}\\
\text{e}^{x} &=&1
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\ln \frac{1}{2}\\
x&=&\ln 1
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- \ln 2\\
x&=& 0
\end{array}\right.$

La dérivée s'annule donc aux points d'abscisse $- \ln 2$ et $0$. 
		\item %Dresser le tableau de variations de $f$.
On obtient le signe de $f'(x)$, d'où les variations de $f$ en construisant un tableau de signes :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,4)
\psframe(11,4) \psline(0,2)(11,2) \psline(0,2.5)(11,2.5) \psline(0,3)(11,3) \psline(0,3.5)(11,3.5)
\psline(2,0)(2,4)
\uput[u](1,3.5){$x$}  \uput[u](2.5,3.5){$- \infty$} \uput[u](5,3.5){$- \ln 2$} \uput[u](8,3.5){$0$} \uput[u](10.5,3.5){$+ \infty$}
\rput(1,3.25){$2\text{e}^x - 1$}  \rput(1,2.75){$\text{e}^x - 1$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(1,1){$f(x)$}
\rput(3.5,3.25){$-$} \rput(5,3.25){$0$} \rput(6.5,3.25){$+$} \rput(9.5,3.25){$+$}
\rput(3.5,2.75){$-$} \rput(6.5,2.75){$-$}\rput(8,2.75){$0$}\rput(9.5,2.75){$+$}
\rput(3.5,2.25){$+$} \rput(5,2.25){$0$}\rput(6.5,2.25){$-$}\rput(8,2.25){$0$}\rput(9.5,2.25){$+$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5) \psline{->}(8.5,0.5)(10.5,1.5)
\uput[d](10.5,2){$+ \infty$} \uput[u](2.5,0){$- \infty$}\uput[u](8,0){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $\ln \left(\dfrac{3}{2}\right)$. Que peut-on dire des droites $T$ et $D$ ?
Une équation de la tangente est : $y = f\left[\ln \left(\frac{3}{2}\right) \right] + f'\left[\ln \left(\frac{3}{2}\right) \right] \left(x - \ln \left(\frac{3}{2}\right) \right)$.

Or $f\left[\ln \left(\frac{3}{2}\right) \right] = \text{e}^{2\ln \left(\frac{3}{2}\right)} - 3\text{e}^{\ln \left(\frac{3}{2}\right)} + \ln \left(\frac{3}{2}\right) + 2 = \text{e}^{\ln \left(\frac{3}{2}\right)^2} -   3\text{e}^{\ln \left(\frac{3}{2}\right)}+ \ln \left(\frac{3}{2}\right) + 2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) + \ln 3 - \ln 2 + 2 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + \ln 3 - \ln 2 + 2 = \ln 3 - \ln 2 - \frac{1}{4}$.

$f'\left[\ln \left(\frac{3}{2}\right) \right] = 2\text{e}^{2\ln \left(\frac{3}{2}\right)} - 3\text{e}^{\ln \left(\frac{3}{2}\right)} + 1 =  \frac{9}{2} - \frac{9}{2} + 1 = 1$.

Une équation de $T$ est donc :

$y = x + \ln 3 - \ln 2 - \frac{1}{4}$.

On remarque $D$ et $T$ ont le même coefficient directeur : elles sont parallèles. 
		\item %Tracer, dans le repère \Oij{} les droites $D,~ T$ et la courbe $\mathcal{C}$. 
Voir à la fin
\item %Calculer l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan limité par la courbe $\mathcal{C}$,la droite $D$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 3$.
On a vu que  sur l'intervalle $[0~;~\ln 3]$ la fonction est positive, mais que la courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de son asymptote ; donc l'aire, en unité d'aire, de la partie du plan limité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $D$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 3$ est égale à l'intégrale de la fonction $- d(x)$ :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^{\ln 3} \left(-\text{e}^{2x} + 3\text{e}^{x}\right)\:\text{d}x$

Une primitive de $\text{e}^{2x}$ est $\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}$, donc 

$\mathcal{A} = \left[-\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} + 3\text{e}^{x} + \dfrac{x^2}{2} + 2x   \right]_{0}^{\ln 3} = -\dfrac{1}{2}\text{e}^{2\ln 3} + 3\text{e}^{\ln 3} + \dfrac{1}{2}\text{e}^{0} - 3\text{e}^{0}  = -\dfrac{1}{2}\times 9 + 9  + \dfrac{1}{2} - 3  = 2$~(u. a.).

Une unité d'aire valant $4 \times 4 = 16$~cm$^2$, on a :

$\mathcal{A} = 16 \times 2 = 32$~cm$^2$(ce que l'on vérifie approximativement sur la figure).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(2,3.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(2,3.1)
\psplot{-2}{1.1}{x 2 add}
%\psplot{0.2}{0.6}{x  0.25 sub}
\psline{<->}(0.2,-0.05)(0.6,0.35)\uput[dr](0.405,0.155){$T$}
\uput[ul](-1,1){$D$}\uput[dr](-1.75,-0.25){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]
{-2}{1.06}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 3 mul sub x add 2 add}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]
{0}{1.09861}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 3 mul sub x add 2 add}
\psline(1.09861,3.09861)(0,2)}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-2,-2)(2,3.1)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}