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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies de laboratoires biotechnologies}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{13 juin 2016}}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL biotechnologies   Polynésie 13 juin 2016~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   

\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse au taux de cholestérol LDL de la population d'adultes d'un pays.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à un adulte de cette population, associe son taux de cholestérol LDL, exprimé en grammes par litre.

On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $1,27$ et d'écart type $0,39$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité qu'un adulte, choisi au hasard dans cette population, ait un taux de cholestérol LDL compris entre 1 et $1,6$ gramme par litre.
		\item Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité qu'un adulte, choisi au hasard dans cette population, ait un taux de cholestérol LDL supérieur à $1,9$ gramme par litre.
	\end{enumerate}
\item Dans la population étudiée, $28$\,\% des adultes souffrent d'hypercholestérolémie LDL (ils ont un taux de cholestérol LDL trop élevé).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence d'adultes souffrant d'hypercholestérolémie LDL, dans un échantillon de $300$ adultes choisis au hasard dans la
population étudiée. On arrondira les bornes de l'intervalle à $10^{-3}$.
		\item Les médecins d'une ville de ce pays s'interrogent sur la proportion d'adultes souffrant
d'hypercholestérolémie LDL dans leur ville. Ils disposent d'un groupe de $300$~adultes pris au
hasard parmi les adultes de la ville. Ils constatent que $96$ d'entre eux souffrent
d'hypercholestérolémie LDL.
		
En utilisant l'intervalle de fluctuation précédent, peut-on dire, que la proportion d'adultes
souffrant d'hypercholestérolémie LDL dans cette ville est significativement plus élevée que dans
l'ensemble de la population du pays? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Deux laboratoires fabriquent un médicament anti-cholestérol LDL.
	
Le médicament du laboratoire A est testé sur un échantillon de \np{1000} adultes et s'avère efficace pour
$870$ d'entre eux.
	
Le médicament du laboratoire B est testé sur un échantillon de $800$ adultes et s'avère efficace pour
$720$ d'entre eux.
	\begin{enumerate}
		\item Un intervalle de confiance à 95\,\% de la proportion $p_A$ d'adultes pour lesquels le médicament du laboratoire A est efficace, est [0,849~;~0,891].
		
Déterminer un intervalle de confiance à 95\,\% de la proportion $p_B$ d'adultes pour lesquels le
médicament du laboratoire B est efficace.
		\item Ces résultats permettent-ils de considérer qu'il y a une différence significative entre ces deux médicaments en termes d'efficacité ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}   

\medskip

Pierre possède une piscine naturelle de \np{80000}~litres d'eau. Des plantes épuratives jouent le rôle de
filtration naturelle. Afin d'améliorer l'oxygénation de l'eau, Pierre décide de recycler en permanence une
partie de l'eau de la piscine en la remplaçant par l'eau d'un puits voisin. Malheureusement, Pierre ne sait pas que l'eau du puits, captée par une pompe, est contaminée par des germes.

Avant la mise en route de la pompe, l'eau de la piscine n'est contaminée par aucun germe. La quantité
d'eau contaminée au cours du temps est modélisée par une fonction $f$ . Lorsque $t$ représente le temps
écoulé, en heures, depuis la mise en route de la pompe, $f(t)$ représente la quantité, en litres, d'eau
contaminée venant du puits au bout de $t$ heures de pompage.

On admet que la fonction $f$, définie sur $[0~;~+\infty[$, est solution de l'équation différentielle :

\[y' + \np{0,00625}y = 30.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les solutions de cette équation différentielle sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Sachant que $f(0) = 0$, déterminer une expression de $f(t)$ pour tout réel $t$ de $[0~;~+\infty[$.
		
Dans les questions suivantes, on admet que pour tout réel $t$ de $[0~;~+\infty[$, on a :
		
		\[f(t) = \np{4800} - \np{4800}\text{e}^{- \np{0,00625}t}.\]
		
	\end{enumerate}
\item Calculer, en litres, la quantité d'eau contaminée venant du puits au bout de $72$ heures. Le résultat sera arrondi à l'unité.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ (on admet que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = \np{4800}$).
		\item Ce sens de variation de la fonction $f$ déterminé est-il cohérent avec la situation concrète étudiée.
		
Pourquoi ?
	\end{enumerate}
\item La piscine devient dangereuse pour la peau lorsque la quantité d'eau contaminée dépasse 6\,\% du
volume d'eau de la piscine.
	
Cette piscine peut-elle être dangereuse pour la peau ? Justifier.
\item La piscine devient impropre à la baignade lorsque la quantité d'eau contaminée dépasse 3\,\% du volume d'eau de la piscine.
	
Déterminer, à l'heure près, au bout de combien de temps l'eau de la piscine deviendra impropre à la
baignade.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}   

\medskip

En 2013, la production française de déchets d'équipements électriques et électroniques (déchets EEE)
s'élève à $1,55$ million de tonnes. (\emph{Source : Agence de l'Environnement et de la Maîtrise de l'Énergie})

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? On justifiera la réponse.
\og En 2013, la production française de déchets EEE par seconde est de 49 kg, au kilogramme près. \fg

On s'intéresse à la production française, exprimée en millions de tonnes, de déchets EEE par an à
partir de 2013. On estime qu'à compter de l'année 2013, la production française de déchets EEE
augmente de 3\,\% par an. Ainsi, la situation peut être modélisée par une suite géométrique $\left(u_n\right)$, où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est une estimation de la production française de déchets EEE (exprimée en millions de tonnes) en $2013 + n$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la raison et le premier terme de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
	\end{enumerate}
\item  Calculer la production française de déchets EEE en 2020. Le résultat sera arrondi à $0,01$~million de tonnes.
\item  En quelle année la production française de déchets EEE dépassera-t-elle 2 millions de tonnes ?
	
Justifier la réponse.
\item  On considère l'algorithme suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables :}\\
$n$ entier naturel\\
$u$ et $S$ réels\\
\textbf{Initialisation :}\\
Affecter à $u$ la valeur 1,55\\
Affecter à $S$ la valeur 1,55\\
\textbf{Traitement :}\\
Pour $n$ allant de 1 à 5\\
Affecter à $u$ la valeur $1,03 \times u$\\
Affecter à $S$ la valeur $S + u$\\
Fin Pour\\
\textbf{Sortie :}\\
Afficher $S$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Indiquer dans le tableau les valeurs successives prises par les variables $u$ et $S$ lors du déroulement de l'algorithme $\left(\text{les résultats seront arrondis à }\:10^{-3}\right)$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$n$	&0		&1		&2	&3	&4	&5\\ \hline
$u$	&1,55	&1,597	&	&	&	&\\ \hline
$S$	&1,55	&3,147	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Quel résultat sera affiché à l'issue de cet algorithme ? Interpréter concrètement cette valeur en termes de production française de déchets EEE.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}   

\medskip

Une étude vise à quantifier la probabilité $y_i$, pour une personne donnée, de développer une maladie après la consommation d'une portion de repas à base d' œuf ou de poulet selon le nombre $n_i$ de bactéries
\emph{Salmonella} qui y sont présentes.

Les résultats de cette étude sont donnés dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n_i$			& 15 &50 	&400 &\np{6300} &$2,5\cdot10^4$ &$6,3\cdot10^5$ &$2\cdot10^6$ &$4\cdot10^8$ &$6,3\cdot10^9$\\ \hline
$x_i = \log\left
(n_i\right)$	&1,2 &1,7	&	 &			&				&				&			 &  &\\ \hline
$y_i$			&0,02&0,15 	&0,27&0,63 		&0,71 			&0,84 &0,92 &1 &1\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize (Source: \emph{Organisation des Nations Unies pour l'alimentation et l'agriculture})}
\end{tabularx}
\end{center}

On rappelle que log désigne le logarithme décimal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On pose $x_i = \log \left(n_i\right)$. Compléter le tableau de valeurs fourni en annexe 1 (on arrondira les résultats au dixième).
		\item Calculer les coordonnées, à $10^{-1}$ près, du point moyen G du nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ et placer le point G sur le graphique de l'annexe 2.
	\end{enumerate}
\item On note $(D)$ la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite $(D)$ sous la forme $y = ax + b$, les réels $a$ et $b$ étant arrondis au millième.
		\item Construire la droite $(D)$ sur le graphique de l'annexe 2.
		\item En utilisant ce modèle d'ajustement, estimer, à $10^{-2}$ près, la probabilité de développer une maladie après la consommation d'une portion de repas à base d'œuf ou de poulet dans lesquels le nombre
de bactéries \emph{Salmonella} est de \np{4000}.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on utilise un nouveau modèle d'ajustement.
	
Pour un nombre $n$ de bactéries donné, on pose $x = \log n$ et, dans ce nouveau modèle, on note $f(x)$ la
probabilité, pour une personne donnée, de développer une maladie après la consommation d'une portion
de repas à base d'œuf ou de poulet selon le nombre $n$ de bactéries \emph{Salmonella} qui y sont présentes.

On suppose que pour tout $x \in  [0~;~+\infty[$, on a : 
	
\[f(x) = \dfrac{1}{1 + 34,8\text{e}^{- x}}.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item On détermine la fonction dérivée de la fonction $f$ grâce à un logiciel de calcul formel. On a obtenu l'affichage suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X X|}\hline
1	&f(x) :=1/ (1+34.8*e\verb+^+(-x))& \\ \hline
	&								&$x \to \dfrac{1}{1 +34.8*\text{exp}(-x)}$\\ \hline
2	&deriver (f(x))					&\\ \hline
	&								&$34.8*\dfrac{\text{exp}(-x)}{(34.8 *\text{exp}(-x) + 1)^2}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
		\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère de l'annexe 2.
		\item En utilisant ce nouveau modèle, déterminer la probabilité de développer une maladie après la
consommation d'une portion de repas à base d'œuf ou de poulet dans lesquels le nombre de
bactéries \emph{Salmonella} est de \np{4000}. On en donnera la valeur arrondie au centième.
		\item En utilisant ce nouveau modèle, estimer le nombre de bactéries \emph{Salmonella} d'une portion de
repas à base d'œuf ou de poulet telle que la probabilité d'être malade soit égale à $0,75$. On
expliquera la démarche utilisée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXES À JOINDRE A LA COPIE}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Annexe 1 (exercice 4)}
\end{flushleft}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n_i$	& 15 	&50 	&400&\np{6300} 	&$2,5\cdot10^4$ &$6,3\cdot10^5$ &$2\cdot10^6$ 	& $4\cdot10^8$ &$6,3\cdot10^9$\\ \hline
$x_i = \log\left
(n_i\right)$& 1,2&1,7	&	&			&				&				&				&				&\\ \hline
$y_i$		& 0,02&0,15 &0,27&0,63 		&0,71 			&0,84 			&0,92 			&1 				&1\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Annexe 2 (exercice 4)}
\end{flushleft}

\bigskip
\psset{xunit=1cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.05,-0.1)(10.2,1.1)
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}