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%Merci à Christophe Poux pour le sujet
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{11 septembre 2014}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies Métropole--La Réunion ~\decofourright\\[4pt]11 septembre 2014 }}
\end{center}
    
\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   

\medskip

Une entreprise fabrique en très grande quantité des gélules vides destinées à l'industrie
pharmaceutique. La fabrication est faite à l'aide d'une machine.

On admet que la masse $M$, en milligrammes, d'une gélule suit une loi normale d'espérance $66$ et d'écart type $0,5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité pour qu'une gélule prise au hasard ait :
	\begin{enumerate}
		\item une masse comprise entre 65 et 67 mg.
		\item une masse inférieure à 65,5 mg.
Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item Une gélule est considérée comme conforme si sa masse est comprise entre 65 et 67 mg. La
probabilité pour qu'une gélule soit considérée comme conforme est égale à 0,95.
	
On prélève au hasard un lot de 50 gélules. On suppose que l'effectif est assez important pour
pouvoir assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
	
On désigne par $X$ le nombre de gélules considérées comme conformes dans ce lot.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. Déterminer $n$ et $p$.
		\item Déterminer la probabilité que le lot contienne 50 gélules conformes.
		
Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item On s'intéresse maintenant à la couleur de chaque gélule. On prélève un lot de \np{1000} gélules dans la production quotidienne de la machine. Dans cet échantillon, 43 gélules présentent un défaut de teinte.
	
Déterminer l'intervalle de confiance à 95\,\% de la proportion de gélules présentant un défaut de teinte.
	
Les bornes de l'intervalle seront arrondies à $10^{-4}$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}   

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans une expérience de laboratoire, sous certaines conditions, une population de bactéries double toutes les heures. Initialement, on compte \np{1000}~bactéries. On souhaite déterminer l'heure où il y en aura dix fois plus.
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les trois algorithmes suivants, quel est celui répondant au problème ?
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.1cm}|X|m{0.1cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme 1}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme 2}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme 3}}\\
$N$ prend la valeur \np{1000}&&N prend la valeur \np{1000}&&N prend la valeur \np{1000}\\ 
$H$ prend la valeur 0&&Tant que $N < \np{10000}$ faire&&$H$ prend la valeur 0\\
Tant que $N < \np{10000}$&&$N$ prend la valeur $2 \times N$&&Tant que $N < \np{10000}$ faire\\
faire&&Fin Tant que&&$H$ prend la valeur $H + 1$\\
$N$ prend la valeur $2 \times N$&&$H$ prend la valeur $H + 1$&&$N$ prend la valeur $2 \times N$\\
Fin Tant que&&Afficher $H$&&Fin Tant que\\
Afficher $H$&&&&Afficher $H$\\\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx} 
\medskip

		\item Quelle sera la valeur affichée par l'algorithme répondant au problème posé?
	\end{enumerate}
\item Dans une autre expérience, au début il y a 300 anticorps et 500 bactéries. Les anticorps augmentent
de 10\,\% par heure, les bactéries augmentent de 7\,\% par heure.
	
On note $a_n$ et $b_n$ respectivement le nombre d'anticorps et de bactéries à l'heure $n$.
	
Ainsi, $a_0 = 300$ et $b_0 = 500$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1}= 1,1 \times a_n$, et en déduire une expression de $a_n$ en fonction de $n$.
		\item Exprimer par une démarche analogue $b_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $a_n > b_n$. En déduire l'heure à partir de laquelle il y aura plus d'anticorps que de bactéries.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}   

\medskip

Les deux parties de l'exercice proposent une approche différente de l'étude cinétique d'une réaction
catalysée par la $\beta$-fructosidase.

La vitesse initiale $v$ de la réaction a été mesurée en présence de différentes concentrations, notées $s$, de substrats dans des conditions identiques de pH et de température. Les résultats sont les suivants :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Concentration de substrat $s_i$ en mmol.L$^{-1}$	& 0,1	& 0,2	&0,3	& 0,5	& 1		& 1,3\\ \hline
Vitesse initiale $v_i$ en $\mu$mol par minute		& 4,5	&5,6 	&6,3	& 6,9	& 7,7	& 8,1\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A : Utilisation d'un changement de variable}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On effectue les changements de variable : $x_i = \dfrac{1}{s_i}$ et $y_i = \dfrac{1}{v_i}$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$ 	&10		&	& 	& 	& 	& \\ \hline
$y_i$	&0,22	&  	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessus (valeurs arrondies à $10^{-2}$ près).
		\item Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i,~y_i\right)$ sur une feuille de papier millimétré.
		
On choisira 1 cm pour 1 en abscisse et 1 cm pour $0,02$ en ordonnée.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par la méthode des moindres carrés, déterminer une équation de la droite d'ajustement $D$
sous la forme $y = a x + b$ ($a$ est arrondi à $10^{-4}$ près et $b$ est arrondi à $10^{-2}$ près).
		\item Tracer la droite $D$ sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}		
\item On admet que la $\beta$-fructosidase suit le modèle de Michaelis-Menten et on peut alors écrire :
	
$\dfrac{1}{v} = \dfrac{K_M}{v_{\text{max}}} \times \dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{v_{\text{max}}}$ où $v_{v_{\text{max}}}$ est la vitesse initiale maximale et $K_M$ est la constante de Michaelis
spécifique de la $\beta$-fructosidase.
	
On admet que $a = \dfrac{K_M}{v_{\text{max}}}$  et $b = \dfrac{1}{v_{\text{max}}}$ où $a$ et $b$ sont les valeurs obtenues à la question \textbf{2. a}.

En déduire $v_{\text{max}}$ à $10^{-2}$ près, puis $KM$ à $10^{-4}$ près.

 \end{enumerate}
 
\begin{center} 
\textbf{Partie B : Utilisation d'une représentation de Michaelis-Menten}
\end{center}
 
Sur l'annexe, on a placé les points $N_i\left(s_i,~v_i\right)$ relevés expérimentalement et on a tracé la courbe de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 
 
\[f(s)= v = \dfrac{s}{0,01+0,12s} = \dfrac{1}{\dfrac{0,01}{s} + 0,12}.\]

On estime que cette courbe $C$ est un ajustement acceptable des relevés expérimentaux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $v$ lorsque $s$ tend vers $+ \infty$. Donner une valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
		\item En déduire que la courbe $C$ admet une asymptote que l'on tracera sur l'annexe.
		\item En admettant que $v_{\text{max}}$ est la limite de $v$ quand $s$ tend vers  $+ \infty$, donner $v_{\text{max}}$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre graphiquement $f(s) = \dfrac{v_{\text{max}}}{2}$. On laissera apparents les traits de construction.

Remarque : la solution est appelée la constante de Michaelis $K_M$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}   

\begin{center}

\textbf{Partie A}
\end{center}

Soit l'équation différentielle (E) : 

\[y' + 0,2y = 100\]

où $y$ est une fonction dérivable sur $[0~;~+ \infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E).
\item Démontrer que la solution $y$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale
$y(0) = 0$ est la fonction $y$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $y(t) = 500\left(1 - \text{e}^{-0,2t}\right)$.
\end{enumerate}

\begin{center}

\textbf{Partie B}
\end{center}

Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(t) = 500\left(1 - \text{e}^{-0,2t}\right).\]

On désigne par $C_1,$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$. Que représente la droite $D$ d'équation $y = 500$ pour la courbe $C_1$ ?
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		
Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,\: $f'(t) = 100\text{e}^{-0,2t}$.
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie C : exploitation des résultats de la partie B}
\end{center}

Lors de l'étude de la progression d'une épidémie sur une population de \np{2000}~personnes, on a établi que
le nombre d'individus contaminés à la date $t$, exprimée en jours, est donné par :

\[f(t) = 500\left(1 - \text{e}^{-0,2t}\right)\quad  \text{pour } t \text{ entre }\: 0 \text{ et }\: 30.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Combien de personnes sont contaminées après un jour d'épidémie ? Après dix jours ? Les résultats
seront arrondis à l'unité près.
\item De quel pourcentage a augmenté le nombre de personnes contaminées entre le premier et le dixième
jour de l'épidémie? On donnera la réponse en \%, arrondie au centième près.
\item Le tiers de la population peut-il être contaminé ?
\item Au bout de combien de jours, le huitième de la population est-il contaminé ?
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 3 :} Points $N_i\left(s_i,~n_i\right)$ et représentation graphique de la fonction $f$ définie par :
\end{flushleft}

\[f(s) = v = \dfrac{s}{0,01 + 0,12s}\quad  \text{où}\: v \:\text{est en $\mu$mol par minute et $s$ en mmol par litre}.\]

\vspace{1cm}

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\begin{pspicture}(-0.1,-1.5)(1.6,10)
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\end{center}
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