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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{Baccalauréat STT C.G--I.G.}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{mars 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. Pondichéry avril 2003~\decofourright}} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{A.} Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.

On considère la figure représentée en annexe. On notera $\mathcal{D}$ la partie grisée.

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite (CB) et une équation de la droite (CD).

\item Écrire un système d'inéquations caractérisant la partie de plan grisée, frontières comprises. (On justifiera la réponse).
 
\end{enumerate}

\textbf{B.} Une entreprise embauche des commerciaux, les uns sous contrat A travaillant 35~h et payés 550~euros par semaine, les autres sous contrat B travaillant 20~h
 et payés 220~euros par semaine. Le chef d'entreprise peut embaucher au 
 plus :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  8 personnes sous contrat A,
\item  15 personnes sous contrat B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Il dispose de 370~h de travail et d'un budget de \nombre{5060}~euros par semaine.

\begin{enumerate}
\item On note $x$ le nombre de personnes embauchées sous contrat A,
$y$ le nombre de personnes sous contrat B. Traduire les informations ci-dessus par un système d'inéquations.

\item Vérifier que ce système est équivalent à celui trouvé dans la question \textbf{A 2} pour des nombres $x$ et $y$ entiers.

\item On estime à 30 le nombre de ventes hebdomadaires effectuées par un commercial sous contrat A, à 16 celles effectuées par un commercial sous contrat B.

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$ et $y$ le nombre global $N$ de ventes effectuées par semaine.

		\item Les couples $(x~;~ y)$ correspondant à la réalisation de $N$ ventes sont les  coordonnées de points d'une droite $D_{N}$ dont on donnera une équation. Construire sur la figure fournie en annexe la droite $D_{320}$ correspondant au cas $N = 320$.

		\item  Déterminer alors graphiquement le nombre de commerciaux sous contrat A et le nombre de commerciaux sous contrat B qu'il faut embaucher pour réaliser un nombre de ventes maximal par semaine. Quel est ce dernier nombre ? (On expliquera la méthode utilisée).

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

Un professeur d'une classe de terminale STT donne à ses élèves
l'interrogation suivante :

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(\text{e}^x 
-x\right)$.

\item Soit $f(x) = \text{e}^{ 2x}$. Déterminer, pour tout réel 
$x,~f'(x)$.

\item Résoudre : $\text{e}^{-2x} > \text{e}^{x+1}$.

\item Résoudre : $\text{e}^x < 3$.

\end{enumerate}

\textbf{A.} Répondre aux questions posées ci-dessus

\textbf{B.} Pour chacune des questions de l'interrogation, le professeur propose deux réponses l'une juste, l'autre fausse. On les nommera par exemple pour la question 1 : J1, F1 ; pour la question 2 : J2, F2, etc. L'élève Lambda, n'ayant rien appris, répond au hasard à chacune des questions. Il donne une \og réponse complète \fg{}, c'est-à-dire une liste de quatre résultats, par exemple : (J1, F2, F3, J4).

\begin{enumerate}
\item Reproduire et achever l'arbre suivant donnant l'ensemble de toutes les réponses complètes possibles. Combien y a-t-il de réponses complètes possibles ?
 
\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\Tdot}{\pstree{\TR{J1}} % début 1
                               {                        %début 2
                                   \pstree{\TR{J2}}{ % début 3
		                  \pstree{\TR{J3}}
			                     { % début 4
	                                \TR{J4} \TR{\ldots}
				          }%fin 4 
                                          \TR{\ldots}
			                }    % fin 3
			       \TR{\ldots}
	                    }% fin 2
	        \TR{F1}
	        } % fin 1
\end{center}
 
 \vspace{0,5cm}

\item Combien y a-t-il de réponses complètes ayant le premier résultat juste ?

\item Déterminer la probabilité des évènements suivants (les résultats seront
 donnés sous forme de fractions irréductibles).

	\begin{enumerate}
		\item Tous les résultats donnés sont justes.

		\item Le premier résultat donné est juste.

		\item La réponse contient exactement un résultat juste.

		\item La réponse contient au moins un résultat juste.

	\end{enumerate}

\item Sachant que le premier résultat est juste, quelle est la probabilité que l'élève ait exactement deux résultats exacts ? (Le résultat sera donné sous forme de fraction irréductible).
 
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{A-} Soit la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par : 

\[g(x) = x^2- 18\ln x + 18.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$ et vérifier que, pour tout $x > 
0,~g'(x) = \dfrac{2(x - 3) (x + 3)}{x}$. 

\item Déterminer alors le signe de $g'(x)$ suivant les 
valeurs de $x$.

Donner le tableau de variations de $g$ en précisant la valeur exacte du minimum. (On ne demande pas d'étude de limites).

\item Déduire de ce qui précède le signe de $g(x)$ sur $]0~;~+\infty[$.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{B -} Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{(x^2+ 18 \ln x)}{x}.\]

On notera $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij. (unités graphiques : 1~cm en abscisse, 0,5~cm en ordonnée).

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $x$ de $]0~ ;~ + 
\infty[~ f(x)= \dfrac{x+18 \ln x}{x}$.

		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.

		\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$. 

En déduire l'existence d'une asymptote.
 
	\end{enumerate}

\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que, pour tout $x > 
0,~f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.

\item Donner alors, en utilisant \textbf{A-3}, le signe de $f'(x)$
sur $]0~;~+ \infty[$ et construire le tableau de variation de $f$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que la droite D d'équation $y = x$ est
asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.

		\item Étudier, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f(x) - x$. 
En déduire la position de $\mathcal{C}$ par rapport à (D).

	\end{enumerate}

\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs 
suivant. Les résultats seront arrondis au dixième.

\[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|l |*{7}{ >{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		& 0,5	& 1	& 2	& 3 	& 5	& 10 	& 15\\ \hline
$f(x)$ 	&		&	&	&		&	&		&\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Construire $\mathcal{C}$ et ses asymptotes.

\item Vérifier que la fonction $F$ définie par 

\[F(x) = \dfrac{x^2}{2} + 9(\ln x)^2\]

 est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.

Calculer l'aire (en unités d'aire) de la partie de plan délimitée par
 l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 1$ et  $x = \text{e}$.
 
 \end{enumerate}
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE (Exercice 1)}

\textbf{Document à rendre avec la copie}

\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(12,20)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(12,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,20)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(8,0)(8,3)(6,8)(2,15)(0,15)(0,0)
\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,15)
\psline[linestyle=dotted](6,0)(6,8)
\psline[linestyle=dotted](0,3)(8,3)
\psline[linestyle=dotted](0,8)(6,8)
\uput[ur](0,15){E} \uput[ur](2,15){D} \uput[ur](6,8){C} 
\uput[ur](8,3){B} \uput[ur](8,0){A}
\uput[dl](0,0){0} \uput[d](1,0){1} \uput[d](2,0){2} \uput[d](3,0){3} 
\uput[d](4,0){4} 
\uput[d](5,0){5} \uput[d](6,0){6} \uput[d](7,0){7} \uput[d](8,0){8}
\uput[l](0,1){1} \uput[l](0,2){2} \uput[l](0,3){3} \uput[l](0,4){4} 
\uput[l](0,5){5} 
\uput[l](0,6){6} \uput[l](0,7){7} \uput[l](0,8){8} \uput[l](0,9){9} \uput[l](0,10){10} 
\uput[l](0,11){11} \uput[l](0,12){12} \uput[l](0,13){13} 
\uput[l](0,14){14} \uput[l](0,15){15}
\uput[u](12,0){$x$} \uput[l](0,20){$y$}
\rput(4,5){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}