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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourright\\[3pt]
Métropole juin 2008}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie, sans justification, la réponse choisie.\\
 Chaque réponse exacte rapporte $1$ point, chaque réponse fausse enlève $0,25$ point et une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif la note de l'exercice est ramenée à $0$.}

Rappels :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 	Si $a$ et $b$ sont des entiers et $c$ un entier naturel non nul : f\og $a$ congru  à $b$ modulo $c$ \fg s'écrit $a \equiv b~~ (\text{modulo}~ c)$.
\item[$\bullet~$] 	À chaque note de la gamme de tempérament égal on associe un entier naturel, compris entre $0$ et $11$, comme indiqué dans le tableau suivant :

\medskip

\hspace{-1cm} \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|l|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Note	&DO	&DO\#	&RÉ	&RÉ\#	&MI	&FA	&FA\#	&SOL	&SOL\#	&LA	&LA\#	&SI\\ \hline
Nombre	&0	&1		&2	&3		&4	&5	&6		&7		&8		&9	&10 	&11\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item[$\bullet~$] 	Dans la gamme de tempérament égal, une quinte vaut sept demi-tons.
\item[$\bullet~$] 	Lorsque l'on ajoute une quinte à une note associée au nombre $p$, cette note est transformée en une note associée au nombre $q$ tel que $p + 7 \equiv  q~~ (\text{modulo}~ 12)$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item  Dans la division euclidienne de \np{2008} par 12 :

\smallskip
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} Le reste est égal à $8$.	&\textbf{b.} Le reste est égal à $4$.&	\textbf{c.} Le reste est égal à $0,33$.\\
\end{tabularx}
\smallskip
\item  L'entier $143$ est congru à l'entier $-18$

\smallskip
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} modulo 5&\textbf{b.} modulo 2&	\textbf{c.} modulo 7\\ 
\end{tabularx}
\smallskip

\item  Soit un entier $x$. Si $x \equiv  2~~ (\text{modulo}~ 5)$, alors :

\smallskip
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}	$x^5 \equiv x~~ (\text{modulo}~ 5)$&\textbf{b.} $x^5 \equiv 1~~ (\text{modulo}~ 5)$&	\textbf{c.} $x^5 \equiv  0~~ (\text{modulo}~ 5)$\\
\end{tabularx}
\smallskip

\item  En ajoutant cinq quintes à la note LA on obtient la note SOL\# car :

\smallskip
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} $8+5\times7\equiv 9~ (\text{modulo}~12)$& \textbf{b.} $9+ 5 \times 8 \equiv 7~(\text{modulo}~ 12)$& \textbf{c.} $9 + 5 \times 7 \equiv 8~(\text{modulo}~ 12)$\\
\end{tabularx}
\smallskip

\item  Sachant qu'en ajoutant $n$ quintes à la note RÉ on obtient la note FA, l'entier $n$ est tel que :

\smallskip
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} $2 + n \equiv 5~ (\text{modulo}~ 12)$& \textbf{b.} $7n \equiv 3~ (\text{modulo}~ 12)$&\textbf{c.} $2 + 7n \equiv 6~ (\text{modulo}~ 12)$\\
\end{tabularx}
\smallskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}

\medskip

On désigne par I l'intervalle [0,5~;~8].

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle I par : 

\[f(x) = (2 - \ln x) \times \ln x,\]

où $\ln x$ désigne le logarithme népérien du nombre $x$.
 
On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle I et par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} du plan d'unités graphiques 1~cm en abscisse et 4~cm en ordonnée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, $f'(x) = \dfrac{2}{x}(1 - \ln x)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre, dans l'intervalle I, l'équation $1- \ln x = 0$, puis l'inéquation \mbox{$1 - \ln x > 0$}.
		\item  En déduire le signe de $f'(x)$, pour tout $x$ de l'intervalle I, et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur cet intervalle.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre, dans l'intervalle I, l'équation $f(x) = 0$ ; on donnera la valeur exacte de chaque solution.
		\item   Donner une interprétation graphique de ces solutions pour la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer, sous la forme $y = ax + b$, l'équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 1.

\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant ; on donnera dans chaque cas la valeur décimale arrondie au centième.
		
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,5&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Construire, dans le repère \Oij, la courbe $\mathcal{C}$, la tangente $\mathcal{D}$ ainsi que la tangente $\mathcal{D}'$ au point d'abscisse e.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 7 points}
 
\textbf{Enseignement obligatoire (au choix)}

\medskip

Dans un groupe d'enfants qui s'intéressent à l'informatique et à la musique, on constate que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]	80\:\% des enfants ont un ordinateur à la maison ;
\item[$\bullet~$]	74\:\% des enfants qui n'ont pas d'ordinateur à la maison jouent d'un instrument de musique ;
\item[$\bullet~$]	28\:\% des enfants ont un ordinateur à la maison et jouent d'un instrument de musique.
\end{itemize}

On choisit un enfant au hasard dans le groupe. Chaque enfant a la même probabilité d'être choisi.


On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item[] $O$ : \og l'enfant a un ordinateur à la maison \fg{} ;
\item[] $J$ : \og l'enfant joue d'un instrument de musique \fg.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la probabilité de l'évènement $O$ et celle de l'événement contraire $\overline{O}$.
		\item  Donner la probabilité de l'évènement $J$ sachant que l'événement $\overline{O}$ est réalisé.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité que l'enfant joue d'un instrument de musique sachant qu'il a un ordinateur à la maison est égale à $0,35$.

\item Construire l'arbre de probabilité traduisant la situation.

\item Démontrer que la probabilité que l'enfant joue d'un instrument de musique est égale à $0,428$.

\item Calculer la probabilité de l'évènement \og l'enfant a un ordinateur à la maison \fg sachant qu'il joue d'un instrument de musique ; en donner la valeur décimale arrondie au millième.
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}  \hfill 7 points}
	
\textbf{Enseignement renforcé (au choix)}

Plusieurs représentations d'un même spectacle sont données dans une salle de 

400~places. On a relevé le nombre de spectateurs à chacune des cinq premières représentations.

Les résultats sont indiqués dans le tableau suivant où $x_{i}$ désigne le rang de la représentation et $y_{i}$ désigne le nombre de spectateurs correspondant :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&1	&2	&3	&4 	&5\\ \hline
$y_{i}$&365	&320&275&248&198\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter le nuage des points M$_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal du plan, où 2~cm représentent 1~rang en abscisse et 2~cm représentent 50~spectateurs en ordonnée.
		\item  Préciser pourquoi un ajustement affine est envisageable.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Donner, sous la forme $y = ax + b$, l'équation de la droite $\mathcal{D}$ d'ajustement de $y$ en $x$ du nuage, obtenue par la méthode des moindres carrés ; les coefficients $a$ et $b$ seront donnés par la calculatrice.
		\item  Construire, en précisant les coordonnées des points utilisés, la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
On suppose que la tendance d'évolution se poursuit.

\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer graphiquement une estimation du nombre de spectateurs à la septième représentation ; on laissera apparents les traits nécessaires à cette lecture graphique.
		\item  Vérifier le résultat par le calcul.
 	\end{enumerate}
\item Les organisateurs du spectacle estiment qu'une représentation est rentable s'il y a au moins 70~spectateurs.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer, par le calcul, à partir de quelle représentation le seuil de rentabilité ne sera pas atteint.
		\item Vérifier le résultat sur le graphique, en laissant apparents les traits nécessaires à cette lecture graphique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}