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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre  2009}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourright\\Métropole septembre 2009}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 7 points}

\medskip

Parmi les 250 partitions d'une bibliothèque, 75 proviennent de l'éditeur Andante et le reste provient d'autres maisons d'édition. 

4\,\% des partitions qui proviennent de l'éditeur Andante comportent au moins une erreur. Parmi les partitions ne provenant pas de l'éditeur Andante, 161 ne comportent aucune erreur.

\medskip
 
Un musicien choisit au hasard une partition de cette bibliothèque. Chaque partition a la même probabilité d'être choisie.

 
On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $A$ : \og la partition choisie provient de chez Andante \fg{} ; 
\item[] $E$ : \og la partition choisie comporte au moins une erreur \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\textbf{Les probabilités seront données sous forme décimale.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité de l'évènement $A$ et celle de son événement contraire $\overline{A}$. 
\item Sachant que la partition choisie ne provient pas de chez Andante, démontrer que la probabilité que cette partition comporte au moins une erreur est égale à $0,08$. 
\item Construire un arbre de probabilité traduisant la situation. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement \og la partition choisie provient de chez Andante et comporte au moins une erreur \fg. 
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $E$ est égale à $0,068$. 
\item Sachant que la partition choisie comporte une erreur, calculer la probabilité que cette partition ne provienne pas de l'éditeur Andante. On donnera la valeur décimale arrondie au centième de la probabilité obtenue. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie, sans justification, la réponse choisie.\\
Chaque réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou une absence de réponse est comptée $0$ point.}

\medskip
 
Les questions font référence à la gamme de tempérament égal.

 Dans cette gamme :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}  
\item l'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes ; cela se traduit mathématiquement par le fait que la suite des fréquences des notes est géométrique de raison $q$, où $q$ est le nombre réel 
strictement positif tel que $q^{12} = 2$ ; 
\item  les notes d'une octave sont: DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI ; 
\item  à chaque octave est associé un indice $n$ entier naturel ; les notes d'une octave portent l'indice de  cette octave; ainsi LA$_{3}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et LA$_{4}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au dessus de l'octave d'indice 3 ; 
\item  une quinte contient sept demi-tons; 
\item  la fréquence, exprimée en hertz, du LA$_{3}$ est de 440.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On considère un individu qui perçoit les sons dont la fréquence, exprimée en hertz, est comprise entre 50 et \np{15000}. 

\begin{enumerate}
\item  La fréquence, exprimée en hertz, de la note FA$_{5}$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 554&  \textbf{b.~~} \np{1397}& \textbf{c.~~} \np{1760}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Le nombre de notes LA d'octaves différentes que l'individu peut percevoir est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 7&  \textbf{b.~~} 8& \textbf{c.~~} 9\\
\end{tabularx}
\end{center} 

\item  La plus basse note audible pour cet individu est: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} SOL$_{0}$&  \textbf{b.~~} SOL\#$_{0}$& \textbf{c.~~} LA$_{0}$\\
\end{tabularx}
\end{center}
  
\item  Le nombre entier d'octaves commençant par DO que cet individu peut percevoir est: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 7&  \textbf{b.~~} 8& \textbf{c.~~} 9\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item  En ajoutant neuf quintes à la note DO$_{3}$ on trouve la note:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} DO\#$_{8}$&  \textbf{b.~~} RÉ$_{8}$& \textbf{c.~~} RÉ\#$_{8}$\\
\end{tabularx}
\end{center} 

\item En ajoutant $n$ quintes à la note DO$_{3}$ on trouve un MI audible par l'individu considéré.
 
Le nombre $n$ vaut:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 4&  \textbf{b.~~} 5& \textbf{c.~~} 6\\
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} Enseignement obligatoire (au choix)  \hfill 7 points}

\medskip
 
On désigne par I l'intervalle $[-2~;~2]$.
 
On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, par
 
\[f(x) = \dfrac{x + 2}{\text{e}^x }.\]
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm. 

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle I. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I,~$f'(x) = \dfrac{-x - 1}{\text{e}^x}$.  
		\item Étudier, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, le signe de $f'(x)$. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer, sous la forme $y = ax + b$, l'équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$. 
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant. On donnera dans chaque cas la valeur décimale arrondie au centième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$		&$-2$	&$- 1,8$&$- 1,5$&$- 1$ 	&$- 0,5$&0 	&0,5 	&1 	&1,5 	&2  \\  \hline
$f(x)$	&		&		&		&		&		&	&		&	&		& \\  \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\item Construire, dans le repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm, la courbe $\mathcal{C}$, la tangente $\mathcal{T}$ ainsi que la tangente parallèle à l'axe des abscisses. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} Enseignement renforcé (au choix) \hfill 7 points}

\medskip 
  
On désigne par I l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{6}\right]$.
 
On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, par : 

\[f(x) = 6\sin (2x) - 4 \sin (3x).\]
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $10$~cm.
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer $f(0),~f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$. 
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle I. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, $f'(x) = 12[\cos (2x) - \cos (3x)]$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(0)$. 
		\item  On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{6}\right],\: \cos (2x) > \cos (3x)$.
		
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle 1.
	\end{enumerate} 
\item Construire dans le repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $10$~cm, la courbe $\mathcal{C}$ en indiquant les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses $0,~\dfrac{\pi}{12}$ et $\dfrac{\pi}{6}$. 
\item On considère la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la droite passant par le point de coordonnées $\left(\dfrac{\pi}{6}~;~0\right)$ parallèle à l'axe des ordonnées et la courbe $\mathcal{C}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer cette partie du plan sur le graphique. 
		\item On désigne par $\mathcal{A}$ la mesure, en unités d'aire, de l'aire de la partie du plan hachurée.
		 
Donner l'expression de la mesure $\mathcal{A}$ à l'aide d'une intégrale. 
		\item  On considère la fonction $F$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, par :
		 
\[F(x) = -3 \cos (2x) + \dfrac{4}{3} \cos (3x).\] 
 
Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle I. 
		\item  En déduire la valeur exacte de la mesure $\mathcal{A}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}