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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%  plus grand ou égal
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%%    le e de l'exponentielle
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
%\setlength\parskip{3pt}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Baccalauréat Spécialité : l'intégrale 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat spécialité 
~\decofourright\\ \vspace{1cm} L'intégrale de mars à septembre
 2023}}

\vspace{1cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large 
\textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\phantomsection
\hypertarget{Sommaire}{}
\index{sommaire@\emph{sommaire}}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} 
\Large 

\hyperlink{Centresetrangers1}{Centres étrangers J1 13 mars 2023} \dotfill \pageref{Centresetrangers1}\\
\hyperlink{Centresetrangers2}{Centres étrangers  J2 14 mars 2022} \dotfill \pageref{Centresetrangers2}\\
\hyperlink{Polynesie1}{Polynésie J1 13 mars 2023} \dotfill \pageref{Polynesie1}\\
\hyperlink{Polynesie2}{Polynésie J2 14 mars 2023} \dotfill \pageref{Polynesie2}\\
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\hyperlink{Metropole2}{Métropole J2 21 mars 2023} \dotfill \pageref{Metropole2}\\
\hyperlink{Centresetrangers3}{Centres étrangers 2 J1 21 mars 2023} \dotfill \pageref{Centresetrangers3}\\
\hyperlink{Centresetrangers4}{Centres étrangers 2 J2 22 mars 2023} \dotfill \pageref{Centresetrangers4}\\
\hyperlink{Asie1}{Asie J1 23 mars 2023} \dotfill \pageref{Asie1}\\
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\hyperlink{AmeriqueNord1}{Amérique du Nord J1 27 mars 2023} \dotfill \pageref{AmeriqueNord1}\\
\hyperlink{Reunion1}{La Réunion J1 28 mars 2023} \dotfill \pageref{Reunion1}\\
\hyperlink{AmeriqueNord2}{Amérique du Nord J2 28 mars 2023} \dotfill \pageref{AmeriqueNord2}\\
\hyperlink{Reunion2}{La Réunion J2 29 mars 2023} \dotfill \pageref{Reunion2}\\
\hyperlink{NCaledo1}{Nouvelle-Calédonie J1 28 août 2023} \dotfill \pageref{NCaledo1}\\
\hyperlink{NCaledo2}{Nouvelle-Calédonie J2 29 août 2023} \dotfill \pageref{NCaledo2}\\
\hyperlink{Polynesie3}{Polynésie 7 septembre 2023} \dotfill \pageref{Polynesie3}\\
\hyperlink{Metropole3}{Métropole J1 11 septembre 2023} \dotfill \pageref{Metropole3}\\
\hyperlink{Metropole4}{Métropole J2 12 septembre 2023} \dotfill \pageref{Metropole4}\\
\hyperlink{AmeriSud1}{Amérique du Sud J1  26 septembre 2023}\dotfill \pageref{AmeriSud1}\\
\hyperlink{AmeriSud2}{Amérique du Sud J2 27 septembre 2023}\dotfill \pageref{AmeriSud2}\\

\end{tabularx}
\vspace{1cm}

\hyperlink{Index}{À la fin index des notions abordées}

%À la fin de chaque exercice cliquer sur {\blue *} pour aller à l'index
\newpage ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers Groupe I
\phantomsection
\hypertarget{Centresetrangers1}{}

\label{Centresetrangers1}
\lfoot{\small{Centres étrangers groupe 1}}
\rfoot{\small{13 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\bf\decofourleft~Baccalauréat Centres étrangers Groupe 1
\footnote{Groupe 1 (A) : Burkina Faso, Côte d'Ivoire, Ghana, Guinée, Mali, Mauritanie, Sénégal et Togo. \\
Groupe 1 (B) : Algérie, Angola, Bénin, Cameroun, Congo, Gabon, Irlande, Niger, Nigeria, Portugal, République centrafricaine, République démocratique du Congo, Royaume-Uni, Tchad et Tunisie. \\
Groupe 1 (C) : Belgique – Danemark – Égypte – Guinée équatoriale – Luxembourg – Norvège – Pays-Bas - Suède. \\
Centres étrangers du groupe 1 (D) : Afrique du Sud – Arabie saoudite – Bahreïn – Burundi - Comores – Djibouti - Éthiopie – Jordanie – Kenya – Koweït – Madagascar – Mozambique - Qatar. \\
Groupe 1 (E) : Émirats arabes unis, Iran, République de Maurice.} 
- 13 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 1\\[7pt] 
ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  QCM\hfill 5 points}\index{QCM}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie.
Aucune justification n'est demandée.

\smallskip

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

\bigskip

\textbf{Question 1 :}

\medskip

On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par 
\[u_n = \dfrac{1 + 2^n}{3 + 5^n}.\]\index{suite}

Cette suite :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} diverge vers $+\infty$ &\textbf{c.~~} converge vers 0\\
\textbf{b.~~} converge vers $\dfrac25$ &\textbf{d.~~} converge vers $\dfrac13$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 2 :}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par $f(x) = x^2\ln x$.\index{fonction logarithme népérien}

L'expression de la fonction dérivée de $f$ est :\index{dérivée}

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} $f'(x) = 2x\ln x$.&\textbf{c.~~} $f'(x) = 2$.\\
\textbf{b.~~} $f'(x) = x(2\ln x + 1)$.&\textbf{d.~~} $f'(x) = x$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 3 :}

\medskip

On considère une fonction $h$ définie et continue sur $\R$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous:

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(8.5,2.5)
%\psframe(8.5,2.5)
%\psline(0,2)(8.5,2)\psline(2.5,0)(2.5,2.5)
%\uput[u](1.25,1.9){$x$}\uput[u](3,1.9){$- \infty$}\uput[u](5.5,1.9){$1$}\uput[u](8,1.9){$+\infty$}
%\rput(1.25,1){Variations de $h$}\uput[u](3,0){$- \infty$}\rput(5.5,1){0}\uput[d](8,2){$+ \infty$}
%\psline{->}(3.1,0.5)(5,0.95)\psline{->}(6,1.05)(8,1.5)
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & -\infty   & \esp & +\infty \\
 \hline
%f'(x) & & \pmb{+} & \\  
%\hline
 &   & & \Rnode{max}{+\infty}   \\
\text{Variations de $h$ } & &  &  \\
 & \Rnode{min}{-\infty} & & 
\ncline{->}{min}{max}
\rput*(-2,0.8){\Rnode{zero}{0}}
\rput(-2,1.9){\Rnode{alpha}{1}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

On note $H$ la primitive de $h$ définie sur $\R$ qui s'annule en $0$.\index{primitive}

Elle vérifie la propriété :

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~}$H$ est positive sur $]-\infty~;~0]$.& \textbf{c.~~} $H$ est négative sur $]-\infty~;~1]$.\\
\textbf{b.~~}$H$ est croissante sur $]-\infty~;~1]$.& \textbf{d.~~}$H$ est croissante sur $\R$.
\end{tabularx}

%\medskip
\newpage

\textbf{Question 4 :}

\medskip

Soit deux réels $a$ et $b$ avec $a < b$.

On considère une fonction $f$ définie, continue, strictement croissante sur l'intervalle
$[a~;~b]$ et qui s'annule en un réel $\alpha$.

Parmi les propositions suivantes, la fonction en langage Python qui permet de donner
une valeur approchée de $\alpha$ à $0,001$ est:\index{Python}

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~}&\textbf{c.~~}\\
\begin{tabular}{l}
def racine$(a, b)$:\\
\quad while abs$(b - a)> = 0.001$:\\
\qquad $m = (a + b)/2$ \\
\qquad if $f(m) < 0$ :\\
\qquad \quad $b = m$\\
\qquad  else:\\
\qquad \quad $a = m$ \\
\quad return $m$
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{l}
def racine$(a, b)$:\\
\quad $m = (a + b)/2$\\
\quad while abs$(b - a)<=0.001$:\\
\qquad if $f(m)< 0$ :\\
\qquad \quad $a = m$ \\
\qquad else:\\
\qquad \quad $b = m$ \\
\quad return $m$
\end{tabular}\\
\medskip
\textbf{b.~~}&
\medskip\textbf{d.~~}\\
\begin{tabular}{l}
def racine$(a, b)$: \\
\quad $m = (a + b)/2$\\
\quad while abs$(b - a)>= 0.001$:\\
\qquad if $f(m) < 0$:\\
\qquad \quad$a = m$\\
\qquad else:\\
\qquad \quad $b = m$\\
\quad return $m$\\
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{l}
def racine $(a, b)$:\\
\quad while abs $(b - a)>= 0.001$:\\
\qquad $m =(a + b)/2$\\
\qquad if $f(m) < 0$:\\
\qquad \quad $a = m$\\
\qquad else :\\
\qquad\quad$b = m$\\
\quad return $m$
\end{tabular}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5 :}

\medskip

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher dont $7$ sont bleues et les autres vertes.

On effectue trois tirages successifs avec remise. La probabilité d'obtenir exactement deux boules vertes est :\index{probabilités}

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~}$\left(\dfrac{7}{10}\right)^2 \times \dfrac{3}{10}$&\textbf{c.~~} $\ds\binom{10}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$\\
\textbf{b.~~}$\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$&\textbf{d.~~}$\ds\binom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill6 points}

\medskip

\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une entreprise, chargée de l'entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On estime que :
\begin{itemize}
\item lorsqu'une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu'elle soit encore en bon état le lundi suivant est $0,9$ ;
\item lorsqu'une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu'elle soit en bon état le lundi suivant est $0,4$.
\end{itemize}

\smallskip

On s'intéresse à l'état d'une trottinette lors des phases de contrôle.\index{probabilités}

Soit $n$ un entier naturel.

On note $B_n$ l'évènement \og la trottinette est en bon état $n$ semaines après sa mise en service\fg{} et $p_n$ la probabilité de $B_n$.

Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon état.
On a donc $p_0 = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner $p_1$ et montrer que $p_2 = 0,85$.

\emph{On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.}\index{arbre pondéré}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$B_n$~}\taput{$p_n$}}
{\TR{$B_{n+1}$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{B_{n+1}}$}\tbput{\ldots}
}
\pstree{\TR{$\overline{B_n}$~}\tbput{\ldots}}
{\TR{$B_{n+1}$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{B_{n+1}}$}\tbput{\ldots}
}}

\end{center}

\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $p_{n+1} 
= 0,5p_n + 0,4$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,\: $p_n \geqslant 0,8$.\index{démonstration par récurrence}
		\item À partir de ce résultat, quelle communication l'entreprise peut-elle envisager pour valoriser la fiabilité du parc ?
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = p_n - 0,8$. 
		
Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme
et la raison.\index{suite géométrique}
		\item En déduire l'expression de $u_n$ puis de $p_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(p_n\right)$.\index{limite de suite}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on modélise la situation de la façon suivante :
\begin{itemize}
\item l'état d'une trottinette est indépendant de celui des autres ;
\item la probabilité qu'une trottinette soit en bon état est égale à $0,8$.
\end{itemize}
\smallskip

On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lot de $15$ trottinettes, associe le nombre de trottinettes en bon état.\index{variable aléatoire}

Le nombre de trottinettes du parc étant très important, le prélèvement de 15 trottinettes peut être assimilé à un tirage avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.\index{loi binomiale}
\item Calculer la probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état.
\item Calculer la probabilité qu'au moins $10$ trottinettes soient en bon état dans un
lot de $15$.
\item On admet que $E(X) = 12$. Interpréter le résultat.\index{espérance}
\end{enumerate}

%\bigskip
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 6 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
On considère le prisme droit ABFEDCGH, de base ABFE, trapèze rectangle en A. 

On associe à ce prisme le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\imath}, \vect{\jmath},\vect{k}\right)$ tel que : 

\[\vect{\imath} = \dfrac14\vect{\text{AB}}, \quad \vect{\jmath} = \dfrac14\vect{\text{AD}}, \quad \vect{k} = \dfrac18\vect{\text{AE}}.\]

De plus on a $\vect{\text{BF}} = \dfrac12\vect{\text{AE}}$.

On note I le milieu du segment [EF].

On note J le milieu du segment [AE].
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,8)
%\psgrid
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,1.4)(5.7,0)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,1.4)(0.2,7.3)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0.2,1.4)(4.2,3.2)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(4.2,3.2)(5.2,3.7)
\psline(2.6,0.8)(4.2,1.6)(4.2,4.2)(2.6,3.4)(2.6,0.8)%BCGFB
\psline(4.2,4.2)(1.8,7.3)(0.2,6.8)(2.6,3.4)%GHEF
\psline(0.2,4)(1.35,5.2)(4.2,4.2)%JIG
\psline(1.35,5.2)(1.8,7.3)%IH
\psline(2.6,0.8)(4.2,4.2)%FE
\psline[linestyle=dashed](4.2,1.6)(1.8,2.1)(1.8,7.3)%CDH
\psline[linestyle=dashed](1.8,7.3)(0.2,4)(4.2,4.2)%HJG
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,1.4)(0.8,1.24)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,1.4)(0.7,1.6)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,1.4)(0.2,2.2)
\uput[dl](0.2,1.4){A} \uput[d](2.6,0.8){B} \uput[r](4.2,1.6){C} \uput[ul](1.8,2.1){D}
\uput[l](0.2,6.8){E} \uput[dl](2.6,3.4){F} \uput[r](4.2,4.2){G} \uput[u](1.8,7.3){H}
\uput[d](1.35,5.2){I} \uput[l](0.2,4){J} \uput[d](0.5,1.3){$\vect{\imath}$} \uput[ur](0.35,1.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[l](0.2,1.8){$\vect{k}$}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\bigskip\index{géométrie}

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points I et J.
\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan (IGJ).\index{vecteur normal}
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (IGJ).\index{equation de plan@équation de plan}
	\end{enumerate}	
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire au
plan (IGJ) et passant par H.\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}
\item On note L le projeté orthogonal du point H sur le plan (IGJ).

Montrer que les coordonnées de L sont $\left(\dfrac83~;~ \dfrac43~;~\dfrac{16}{3}\right)$.
\item Calculer la distance du point H au plan (IGJ).
\item Montrer que le triangle IGJ est rectangle en I.\index{triangle rectangle}
\item En déduire le volume du tétraèdre IGJH.\index{volume de tétraèdre}
\end{enumerate}

\begin{center}
On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule :

$V = \dfrac13 \times (\text{aire de la base}) \times  \text{hauteur}.$
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill3 points}

\medskip

Un biologiste a modélisé l'évolution d'une population de bactéries (en milliers d'entités) par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(t) = \text{e}^3 - \text{e}^{-0,5t^2 + t + 2}\]\index{fonction exponentielle}

où $t$ désigne le temps en heures depuis le début de l'expérience.

\medskip

À partir de cette modélisation, il propose les trois affirmations ci-dessous.

Pour chacune d'elles, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item\textbf{Affirmation 1} : \og La population augmente en permanence \fg.

\item\textbf{Affirmation 2} : \og  À très long terme, la population dépassera \np{21000} bactéries\fg.

\item\textbf{Affirmation 3} : \og La population de bactéries aura un effectif de \np{10000} à deux reprises au cours du temps \fg.
\end{list}
%%%%%%%%%%  fin Centres étrangers 1 13 mars 2023
\newpage
%%%%%%%%%%  Polynésie 13 mars 2023
\phantomsection
\hypertarget{Polynesie1}{}
\label{Polynesie1}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{13 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Polynésie 13 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 4 points \hfill Thème: probabilités}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées indépendamment}

\medskip

Les utilisateurs de vélo d'une ville sont classés en deux catégories disjointes:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]ceux qui utilisent le vélo dans leurs déplacements professionnels ;
\item[$\bullet~~$]ceux qui utilisent le vélo uniquement pour leurs loisirs.
\end{itemize}

\medskip

Un sondage donne les résultats suivants:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]21\,\% des utilisateurs ont moins de 35 ans.

Parmi eux, 68\,\% utilisent leur vélo uniquement pour leurs loisirs alors que les autres l'utilisent dans leurs déplacements professionnels ;
\item[$\bullet~~$]parmi les 35 ans ou plus, seuls 20\,\% utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels, les autres l'utilisent uniquement pour leurs loisirs.
\end{itemize}

On interroge au hasard un utilisateur de vélo de cette ville.

Dans tout l'exercice on considère les évènements suivants:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$J$ : \og la personne interrogée a moins de 35 ans \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$T$ : \og la personne interrogée utilise le vélo dans ses déplacements professionnels \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$\overline{J}$ et $\overline{T}$ sont les évènements contraires de $J$ et $T$.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de $35$~ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels.\index{probabilités}

\emph{On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.}\index{arbre pondéré}
\item Calculer la valeur exacte de la probabilité de $T$.
\item On considère à présent un habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels.

Démontrer que la probabilité qu'il ait moins de 35 ans est $0,30$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse uniquement aux personnes utilisant leur vélo dans leurs déplacements professionnels.

\medskip

On admet que 30\,\% d'entre elles ont moins de $35$~ans.

On sélectionne au hasard parmi elles un échantillon de $120$~personnes auxquelles on va soumettre un questionnaire supplémentaire.

On assimile la sélection de cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.

\medskip

On demande à chaque individu de cet échantillon son âge.

\medskip

$X$ représente le nombre de personnes de l'échantillon ayant moins de $35$~ans.

\medskip

\emph{Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.\index{loi binomiale}
\item Calculer la probabilité qu'au moins $50$ utilisateurs de vélo parmi les $120$ aient moins de $35$~ans.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 5 points \hfill Thème: géométrie dans l'espace}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormée \Oijk.\index{géométrie}

On considère:
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$d_1$ la droite passant par le point H(2~;~3~;~0) et de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ ;
\item[$\bullet~~$]$d_2$ la droite de représentation paramétrique :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2k - 3\\
y &=&k\\
z &=&5
\end{array}\right. \quad \text{où }\:k \:\text{décrit }\: \R.\]
\end{itemize}

\medskip

Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d'une droite $\Delta$ qui soit perpendiculaire aux droites $d_1$ et $d_2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un vecteur directeur $\vect{v}$ de la droite $d_2$.\index{vecteur directeur}
		\item Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
		\item Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$  ne sont pas sécantes.
		\item Quelle est la position relative des droites $d_1$ et $d_2$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le vecteur $\vect{w}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}$ est orthogonal à $\vect{u}$ et à $\vect{v}$.\index{vecteur normal}
		\item On considère le plan $P$ passant par le point H et dirigé par les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{w}$.
		
On admet qu'une équation cartésienne de ce plan est :
\[5x + 4y - z - 22 = 0.\]

Démontrer que l'intersection du plan $P$ et de la droite $d_2$ est le point M(3~;~3~;~5).
	\end{enumerate}
\item Soit $\Delta$ la droite de vecteur directeur $\vect{w}$ passant par le point M.

Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc donnée par:\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&- r + 3 \\
y &= &2r + 3\\
z &=& 3r + 5
\end{array}\right. \quad \text{où }\:r\: \text{décrit }\R.\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les droites $\Delta$ et $d_1$ sont perpendiculaires
en un point L dont on déterminera les coordonnées.
		\item Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ est solution du problème posé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 5 points \hfill Thème: fonction exponentielle, algorithmique}

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. 

Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation :} La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^x - x$ est convexe.
\item \textbf{Affirmation :} L'équation $\left(2\text{e}^x - 6\right)\left(\text{e}^x + 2\right) = 0$ admet $\ln (3)$ comme unique solution dans $\R$.\index{fonction exponentielle}
\item \textbf{Affirmation :}
\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{\text{e}^x - x} = 0.\]

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (6x + 5)\text{e}^{3x}$ et $F$ la fonction définie sur $\R$ par :

$F(x) = (2x + 1)\text{e}^{3x} + 4$.

\textbf{Affirmation :} $F$ est la primitive de $f$ sur $\R$ qui prend la valeur 5 quand $x = 0$.
\item On considère la fonction \texttt{mystere} définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre.\index{primitive}

On rappelle que \texttt{len}(L) représente la longueur de la liste L.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{def mystere(L)} :\\
	\quad  S $= 0$\\
	\quad \textbf{for} i in range(\texttt{len}(L)) :\\
	\quad \qquad S = S + L[i]\\
	\quad \textbf{return} S / \texttt{len}(L)\\ \hline
	\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Affirmation :} L'exécution de \texttt{mystere}([1, 9, 9, 5, 0, 3, 6, 12, 0, 5]) renvoie $50$.
\end{enumerate}\index{Python}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 6 points \hfill Thème: suites, fonctions}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = - 1$ et, pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+1} = 0,9u_n - 0,3.\]\index{suite}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \N$,\: $u_n  = 2 \times 0,9^n - 3$.\index{démonstration par récurrence}
		\item En déduire que pour tout $n \in \N,\: \: - 3 < u_n \leqslant - 1$.
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$  est strictement décroissante.
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et préciser sa limite.
	\end{enumerate}
\item On se propose d'étudier la fonction $g$ définie sur $]-3~;~-1]$ par :
\[g(x) = \ln (0,5 x + 1,5) - x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction $g$ (limites, variations, image de $-1$)
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(8.5,3.5)
\psframe(8.5,3.5)\psline(0,3)(8.5,3)\psline(2.5,0)(2.5,3.5)
\uput[u](1.25,2.9){$x$} \uput[u](2.7,2.9){$-3$} \uput[u](5.5,2.9){$-2$}\uput[u](8.2,2.9){$-1$} \uput[d](5.5,3){$g(-2)$}\uput[u](3.15,0){$- \infty$}\uput[u](8.3,0){$1$}
\rput(1.25,1.5){Variations de $g$}
\psline(2.65,0)(2.65,3)\psline(2.75,0)(2.75,3)
\psline{->}(3.2,0.5)(5.2,2.5)\psline{->}(5.8,2.5)(8.2,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
		\item En déduire que l'équation $g(x) = 0$ a exactement une solution que l'on
notera $\alpha$ et dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-3}$.\index{théorème des valeurs intermédiaires}
	\end{enumerate}
\item Dans la suite de l'exercice, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $ \in \N$, par :
\[v_n = \ln \left(0,5 u_n + 1,5\right).\]
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la formule donnée à la question \textbf{1. a.}, démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $\ln (0,9)$.\index{suite arithmétique}
		\item Soit $n$ un entier naturel.
		
Démontrer que $u_n = v_n$ si, et seulement si $g\left(u_n\right) = 0$.
		\item Démontrer qu'il n'existe aucun rang $k \in \N$ pour lequel $u_k = \alpha$.
		\item En déduire qu'il n'existe aucun rang $k \in \N$ pour lequel $v_k = u_k$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%  fin Polynésie 13 mars 2023
\newpage
%%%%%%%%%  Centres étrangers J2 14 mars 2023
\phantomsection
\hypertarget{Centresetrangers2}{}

\label{Centresetrangers2}
\lfoot{\small{Centres étrangers groupe 1}}
\rfoot{\small{14 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\bf\decofourleft~Baccalauréat Centres étrangers Groupe 1
\footnote{Groupe 1 (A) : Burkina Faso, Côte d'Ivoire, Ghana, Guinée, Mali, Mauritanie, Sénégal et Togo. \\
Groupe 1 (B) : Algérie, Angola, Bénin, Cameroun, Congo, Gabon, Irlande, Niger, Nigeria, Portugal, République centrafricaine, République démocratique du Congo, Royaume-Uni, Tchad et Tunisie. \\
Groupe 1 (C) : Belgique – Danemark – Égypte – Guinée équatoriale – Luxembourg – Norvège – Pays-Bas - Suède. \\
Centres étrangers du groupe 1 (D) : Afrique du Sud – Arabie saoudite – Bahreïn – Burundi - Comores – Djibouti - Éthiopie – Jordanie – Kenya – Koweït – Madagascar – Mozambique - Qatar. \\
Groupe 1 (E) : Émirats arabes unis, Iran, République de Maurice.} 
- 14 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt] 
ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  QCM\hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\index{QCM}

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie.

Aucune justification n'est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

\medskip

\textbf{Question 1 :}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^x$.\index{fonction exponentielle}

Une primitive $F$ sur $\R$ de la fonction $f$ est définie par:\index{primitive}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.} $F(x) = \dfrac{x^2}{2}\text{e}^x$&\textbf{B} $F(x) = (x - 1)\text{e}^x$\\
\textbf{C.} $F(x) = (x + 1)\text{e}^x$&\textbf{D.} $F(x) = \dfrac2 x \text{e}^{x^2}$.
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2 :}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et deux fois dérivable
sur $]0~;~+\infty[$. On sait que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le maximum de la fonction $f$ est atteint au point d'abscisse 3 ;\index{maximum}
\item[$\bullet~~$] le point P d'abscisse 5 est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$.\index{point d'inflexion}
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=0.85cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture*}(-1,-3)(14,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-3)(14,6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{14}{x 1 sub 2.71828 x 0.5 mul exp div 10 mul}
\psplotTangent[linestyle=dashed]{5}{5}{x 1 sub 2.71828 x 0.5 mul exp div 10 mul}
\psplotTangent[linestyle=dashed]{3}{2}{x 1 sub 2.71828 x 0.5 mul exp div 10 mul}
\uput[r](0.85,-2){\red $\mathcal{C}$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](5,3.2834)\uput[ur](5,3.2834){P}
\end{pspicture*}
\end{center}

On a:\index{dérivée}\index{dérivée seconde}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~~} pour tout $x \in  ]0~;~5[,\:f(x)$ et $f'(x)$ sont de même signe;&
\textbf{B.~~} pour tout $x \in ]5~;~+\infty[\:, f(x)$ et $f'(x)$ sont de même signe;\\
\textbf{C.~~} pour tout $x \in ]0~;~5[,\: f'(x)$ et $f''(x)$ sont de même signe;&
\textbf{D.~~} pour tout $x \in  ]5~;~+\infty[,\: f(x)$ et $f''(x)$ sont de même signe.
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3 :}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(t) = \dfrac{a}{b + \text{e}^{-t}}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.\index{fonction exponentielle}

On sait que $g(0) = 2$ et $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}  g(t) = 3$. 

Les valeurs de $a$ et $b$ sont:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~~} $a = 2$ et $b = 3$&\textbf{B.~~} $a = 4$ et $b = \dfrac43$\\
\textbf{C.~~} $a = 4$ et $b = 1$&\textbf{D.~~}$a = 6$ et $b = 2$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4 :}

\medskip

Alice dispose de deux urnes A et B contenant chacune quatre boules indiscernables au toucher.

L'urne A contient deux boules vertes et deux boules rouges.

L'urne B contient trois boules vertes et une boule rouge.

Alice choisit au hasard une urne puis une boule dans cette urne. Elle obtient une boule verte.

La probabilité qu'elle ait choisi l'urne B est:\index{probabilités}

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2.1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~~} $\dfrac38$&\textbf{B.~~} $\dfrac12$\\
\textbf{C.~~} $\dfrac35$&\textbf{D.~~} $\dfrac58$
\end{tabularx}
\end{center}
\renewcommand\arraystretch{1}

\medskip

\textbf{Question 5 :}

\medskip

On pose $S = 1 + \dfrac12  + \dfrac13 + \dfrac14 + \ldots + \dfrac{1}{100}$.

Parmi les scripts Python ci-dessous, celui qui permet de calculer la somme $S$ est :\index{Python}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~}&\textbf{b.~~}\\
\begin{tabular}{l}
def somme$\_{}$a():\\
\quad S = 0\\
\quad for k in range(100):\\
\qquad S=1/(k+1) \\
\quad return S
\end{tabular}&\begin{tabular}{l}
def somme$\_{}$b():\\
\quad S = 0\\
\quad for k in range(100) :\\
\qquad S = S + 1/(k + 1)\\
\quad return S
\end{tabular}\\
\textbf{c.~~}&\textbf{d.~~}\\
\begin{tabular}{l}
def somme$\_{}$c():\\
\quad k = 0\\
\quad while S < 100 :\\
\qquad S = S+1/(k+1)\\
\quad return S
\end{tabular}&
\begin{tabular}{l}
def somme$\_{}$d():\\
\quad k = 0\\
\quad while k $< 100$: \\
\qquad S = S + 1/(k + 1)\\
\quad return S
\end{tabular}
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]-1,5~;~+ \infty[$ par
\[f(x) = \ln (2x + 3) - 1.\]\index{fonction logarithme népérien}

Le but de cet exercice est d'étudier la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ définie par  :
\begin{center}
$u_0 = 0$ et $u_{n+1}  = f\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$.\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $]-1,5~;~ +\infty[$ par $g(x) = f(x) - x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-1,5$.\index{limite de fonction}

On admet que la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$ est $-\infty$.

\item Étudier les variations de la fonction $g$ sur $]-1,5~;~ +\infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, dans l'intervalle $]-0,5~;~ +\infty[$, l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$.\index{théorème des valeurs intermédiaires}
		\item Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la suite} \boldmath $\left(u_n\right)$\unboldmath

\medskip

On admet que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1,5~;~ +\infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un nombre réel. Montrer que si $x \in [-1~;~\alpha]$ alors $f(x) \in  [-1~;~\alpha]$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :\index{démonstration par récurrence}
		\[ -1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha.\]
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.\index{suite convergente}
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 6 points}

\medskip

La figure ci-dessous correspond à la maquette d'un projet architectural.

Il s'agit d'une maison de forme cubique (ABCDEFGH) accolée à un garage de forme cubique (BIJKLMNO) où L est le milieu du segment [BF] et K est le milieu du segment [BC].

Le garage est surmonté d'un toit de forme pyramidale (LMNOP) de base carrée LMNO et de sommet P positionné sur la façade de la maison.\index{géométrie}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(0,-4.5)(6.8,4.7)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.1,0.3)(2.2,-0.6)(3.4,-1.8)(4.85,-0.9)(3.65,0.3)%PLMNO
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,-1)\uput[d](0.5,-0.5){$\vect{\imath}$}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,1.3)\uput[l](0,0.65){$\vect{k}$}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{->}(0,0)(1.5,1.1)\uput[u](0.75,0.55){$\vect{\jmath}$}
\psline(0,0)(4.2,-4.2)
\psline(0,1.1)(0,3.6)
\psline(0,2.6)(2.2,0.4)(2.2,-2.2)%EFB
\psline(0,2.6)(2.9,4.4)(5.1,2.2)(2.2,0.4)%EHG
\psline(5.1,2.2)(5.1,-0.4)(4.5,-0.8)%HC?
\psline[linestyle=dashed](2.2,-2.2)(5.1,-0.4)%BKC
\psline[linestyle=dashed](4.2,3)(1.5,1.1)
\psline(2.2,-0.6)(3.4,-1.8)(3.4,-3.4)%LMI
\psline(3.4,-1.8)(4.85,-0.9)(4.85,-2.5)(3.4,-3.4)%MNJI
\psline(5.8,4.1)(4.22,3.)
\psline[linestyle=dashed](4.85,-2.5)(3.65,-1.3)(3.65,0.3)%JKOL
\psline[linestyle=dashed](2.9,4.4)(2.9,2.1)(5.1,-0.4)%HDC
\psline[linestyle=dashed](3.65,0.3)(2.2,-0.6)%OL
\pspolygon(3.1,0.3)(2.2,-0.6)(3.4,-1.8)%PLM
\pspolygon(3.1,0.3)(3.65,0.3)(4.85,-0.9)%PON
\uput[l](0,0){A} \uput[dl](2.2,-2.2){B} \uput[r](5.1,-0.4){C} \uput[l](2.9,2.1){D}
\uput[l](0,2.6){E} \uput[u](2.2,0.4){F} \uput[ur](5.1,2.2){G} \uput[u](2.9,4.4){H}
\uput[dl](3.4,-3.4){I} \uput[dr](4.85,-2.5){J} \uput[r](3.65,-1.3){K} \uput[l](2.2,-0.6){L}
\uput[dl](3.4,-1.8){M} \uput[r](4.85,-0.9){N} \uput[ur](3.65,0.3){O} \uput[u](3.1,0.3){P}
\end{pspicture}
\end{center}

On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$, avec $\vect{\imath} = \dfrac12\vect{\text{AB}},~\vect{\jmath} = \dfrac12\vect{\text{AD}}$ et $\vect{k} = \dfrac12\vect{\text{AE}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, donner les coordonnées des points H, M et N.\index{lecture graphique}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (HM).\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}
	\end{enumerate}
\item L'architecte place le point P à l'intersection de la droite (HM) et du plan (BCF).

Montrer que les coordonnées de P sont $\left(2~;~\dfrac23~;~\dfrac43\right)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{PM}} \cdot \vect{\text{PN}}$.\index{produit scalaire}
		\item Calculer la distance PM.
		
On admet que la distance PN est égale à $\dfrac{\sqrt{11}}{3}$.
		\item Pour satisfaire à des contraintes techniques, le toit ne peut être construit que si l'angle $\widehat{\text{MPN}}$ ne dépasse pas $55\degres$.
		
Le toit pourra-t-il être construit ?\index{trigonométrie}
	\end{enumerate}
\item Justifier que les droites (HM) et (EN) sont sécantes.

Quel est leur point d'intersection ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}  \hfill 3 points}

\medskip

Une société de production s'interroge sur l'opportunité de programmer un jeu télévisé. 

Ce jeu réunit quatre candidats et se déroule en deux phases :

$\bullet~~$La première phase est une phase de qualification.

Cette phase ne dépend que du hasard. Pour chaque candidat, la probabilité de se qualifier est $0,6$.

$\bullet~~$La deuxième phase est une compétition entre les candidats qualifiés. 

Elle n'a lieu que si deux candidats au moins sont qualifiés. 

Sa durée dépend du nombre de candidats qualifiés comme l'indique le tableau ci-dessous (lorsqu'il n'y a pas de deuxième phase, on considère que sa durée est nulle).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\small Nombre de candidats qualifiés pour la deuxième phase&0&1&2&3&4\\ \hline
\small Durée de la deuxième phase en minutes&0 &0 &5 &9 &11\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Pour que la société décide de retenir ce jeu, il faut que les deux conditions suivantes soient vérifiées :

\medskip

Condition \no 1 : La deuxième phase doit avoir lieu dans au moins 80\,\% des cas.

\smallskip

Condition \no 2 : La durée moyenne de la deuxième phase ne doit pas excéder $6$~minutes.

\textbf{Le jeu peut-il être retenu ?}
%%%%%%%%%%  fin Centres étrangers J2 14 mars 2023
\newpage
%%%%%%%%%%  Polynésie J214 mars 2023
\phantomsection
\hypertarget{Polynesie2}{}
\label{Polynesie2}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{14 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Polynésie 14 mars 2023~\decofourright\\[7pt] Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 5 points \hfill Thème: probabilités, suites}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées indépendamment}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
Chaque jour, un athlète doit sauter une  haie en fin d'entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente que

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]si l'athlète franchit la haie un jour,  alors il la franchira dans $90\,\%$ des cas le jour suivant ;
\item[$\bullet~~$]si l'athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans $70\,\%$ des cas il ne la franchira pas non plus Je lendemain.
\end{itemize}\index{probabilités}

On note  pour tout entier naturel $n$ :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$R_n$ l'évènement : \og L'athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance \fg,
\item[$\bullet~~$]$p_n$ la probabilité de l'évènement $R_n$. On considère que $p_0 = 0,6$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel,  recopier l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les
pointillés.\index{arbre pondéré}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R_n$~}\taput{$p_n$}}
{\TR{$R_{n+1}$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{R_{n+1}}$}\tbput{\ldots}
}
\pstree{\TR{$\overline{R_n}$~}\tbput{$1 - p_n$}}
{\TR{$R_{n+1}$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{R_{n+1}}$}\tbput{\ldots}
}
}
\end{center}
\item Justifier en vous aidant de l'arbre que, pour tout entier naturel $n$, on a :
\[p_{n+1} = 0,6p_n + 0,3.\]

\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = p_n - 0,75$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.\index{suite géométrique}
		\item Démontrer que, pour tout entier $n$ naturel $n$ :
		\[p_n = 0,75 - 0,15 \times  0,6^n.\]
		
		\item En déduire que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.\index{suite convergente}
		\item Interpréter la valeur de $\ell$ dans le cadre de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Apres de nombreuses séances d'entraînement, l'entraineur estime maintenant que l'athlète franchit chaque haie avec une probabilité de $0,75$ et ce indépendamment d'avoir franchi ou non les haies précédentes.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l'athlète à l'issue d'un $400$~mètres haies qui comporte $10$~haies,

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.\index{loi binomiale}
\item Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que l'athlète franchisse les $10$~haies.
\item Calculer $p(X \geqslant 9)$, à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 5 points \hfill Thème: géométrie dans l'espace}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.\index{géométrie}

On considère :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]le point A$(1~;~-1~;~-1)$ ;
\item[$\bullet~~$]le plan $\mathcal{P}_1$, d'équation : $5x +2y + 4z= 17$ ;
\item[$\bullet~~$]le plan $\mathcal{P}_2$ d'équation : $10x+ 14y + 3z = 19$;
\item[$\bullet~~$]la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1+2t\\
y &=& - t\\ 
z&=&3-2t
\end{array}\right. \quad \text{où } \:t \:\text{décrit } \R.\]
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles.\index{plans parallèles}
\item Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite d'intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que A n'appartient pas à $\mathcal{P}_1$.
		\item Justifier que A n'appartient pas à $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item  Pour tout réel $t$, on note $M$ le point de $\mathcal{D}$ de coordonnées $(1 +2t~;~-t~;~3 - 2t)$.

On considère alors la fonction $f$ qui à tout réel $t$ associe A$M^2$, soit $f(t) = \text{A}M^2$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $t$, on a: $f(t) = 9t^2 - 18t + 17$.
		\item Démontrer que la distance AM est minimale lorsque $M$ a pour
coordonnées $(3~;~-1~;~1)$.
	\end{enumerate}
\item  On note H le point de coordonnées $(3~;~-1~;~1)$.

Démontrer que la droite (AH) est perpendiculaire à $\mathcal{D}$.\index{droites perpendiculaires}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 5 points \hfill Thème: étude de fonctions}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées indépendamment}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le plan  est ramené à un repère orthogonal.

On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$, ainsi que celle de sa dérivée $f'$ et de sa dérivée seconde $f''$.

\begin{center}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%%\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0. 0.}
%\newrgbcolor{ffvvqq}{1. 0.3333333333333333 0.}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2.pt,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.5,-4.05)(8,5.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,-4)(8,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0,-3.95)(8,5)
\psline[linewidth=4.pt](-3.320081944682136,4.772338854767012)(-1.5600159659972166,4.772338854767012)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red,plotpoints=2000]{0}{8}{4.0/(1.0+2.718281828^(-3.0*x+12.0))}\uput[r](5,3.6){\red $\mathcal{C}_2$}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{0}{8}{4.0*3.0*2.71828^(-3.0*x+12.0)/(2.0*2.71828^(-3.0*x+12.0)+(2.71828^(-3.0*x+12.0))^(2.0)+1.0)}\uput[r](5,0.6){\blue $\mathcal{C}_3$}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=2000]{0}{8}{(-4.0*3.0^(2.0)*2.71828^(-3.0*x+12.0)+4.0*3.0^(2.0)*(2.71828^(-3.0*x+12.0))^(2.0))/(3.0*2.71828^(-3.0*x+12.0)+(2.71828^(-3.0*x+12.0))^(3.0)+3.0*(2.71828^(-3.0*x+12.0))^(2.0)+1.0)}\uput[r](5,-1.6){$\mathcal{C}_1$}
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*](-2.79206215107666,4.772338854767012)
%\rput[bl](-2.8888657799043305,5.068528903353232){$a = 3$}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.\index{dérivée}\index{dérivée seconde}
\item Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$ au point d'abscisse 4.\index{coefficient directeur}
\item Donner avec la précision permise par le graphique, l'abscisse de chaque point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_1$.\index{point d'inflexion}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit un réel $k$ strictement positif.

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par:
\[g(x) = \dfrac{4}{1 + \text{e}^{- kx}}.\]\index{fonction exponentielle}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $-\infty$,
\item  Prouver que $g'(0) = k$.\index{nombre dérivé}
\item  En admettant le résultat ci-dessous obtenu avec un logiciel de calcul formel,
prouver que la courbe de $g$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse 0.\index{point d'inflexion}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c l|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{$\triangleright$ Calcul formel}\\ \hline
&g(x) =4/(1 + e{}\^{}(-kx))\\
1&\\
&$\to g(x) = \dfrac{4}{\text{e}^{-kx} + 1}$\\ \hline
&Simplifier$(g''(x))$\\
2&\\
&$\to g''(x) = - 4\text{e}^{kx}\left(\text{e}^{kx} - 1\right)\dfrac{k^2}{\left(\text{e}^{kx} + 1 \right)^3}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 5 points \hfill Thème: suites, fonction logarithme, algorithmique}

\medskip

\emph{Pour  chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque
réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation :} La suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \dfrac{(- 1)^n}{n + 1}$ est bornée.\index{suite bornée}
\item \textbf{Affirmation :} Toute suite bornée est convergente.
\item \textbf{Affirmation :} Toute suite croissante tend vers $+\infty$.
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + 2x + 2\right)$.

\textbf{Affirmation :} La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[-3~;~1]$.\index{fonction convexe}
\item On considère la fonction \textbf{mystere} définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre. 

On rappelle que \texttt{len}(L) renvoie la longueur, c'est-à-dire
le nombre d'éléments de la liste L.\index{Python}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
 def \textbf{mystere}(L) :\\
\qquad M = L[0]\\
\qquad \# \emph{On initialise M avec le premier élément de la liste }L\\
\qquad for i in range(len(L)) : \\
\qquad \quad if L[i] > M :\\
\qquad \qquad M = L[i]\\
\qquad return M \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Affirmation :} L'exécution de \textbf{mystere}( [2, 3, 7,0 ,6, 3, 2, 0, 5]) renvoie 7.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%  fin Polynésie J2 14 mars 2023
\newpage
%%%%%%%%%%  Métropole-Antilles-Guyane 20 mars 2023
\phantomsection
\hypertarget{Metropole1}{}

\label{Metropole1}
\lfoot{\small{Métropole, Antilles-Guyane, Maroc}}
\rfoot{\small{20 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole\footnote{Antilles-Guyane, Maroc} 20 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}\index{QCM}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.\\
Les questions sont indépendantes.}

\medskip

Un technicien contrôle les machines équipant une grande entreprise. Toutes ces machines sont identiques.

On sait que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]20\,\% des machines sont sous garantie;
\item[$\bullet~~$]0,2\,\% des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie;
\item[$\bullet~~$]8,2\,\% des machines sont défectueuses.
\end{itemize}

\smallskip

Le technicien teste une machine au hasard.

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$G$: \og la machine est sous garantie \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$D$: \og la machine est défectueuse\fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$\overline{G}$ et $\overline{D}$ désignent respectivement les évènements contraires de $G$ et $D$.
\end{itemize}\index{probabilités}

Pour répondre aux questions 1 à 3, on pourra s'aider de l'arbre proposé ci-contre.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}\index{arbre pondéré}

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$G$~~}\taput{}}
{\TR{}\taput{}
\TR{}\tbput{}
}
\pstree{\TR{~}\tbput{}}
{\TR{}\taput{}
\TR{}\tbput{}
}}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité $p_G(D)$ de l'évènement $D$ sachant que $G$ est réalisé est égale à :\index{probabilité conditionnelle}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0,002 &\textbf{b.~~} 0,01 &\textbf{c.~~} 0,024 & \textbf{d.~~} 0,2
\end{tabularx}
\end{center}

\item La probabilité $p\left(\overline{G} \cap D\right)$ est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0,01 &b. 0,08 &\textbf{c.~~} 0,1  &\textbf{d.~~} 0,21
\end{tabularx}
\end{center}
\item La machine est défectueuse. La probabilité qu'elle soit sous garantie est
environ égale, à $10^{-3}$ près, à : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0,01  &\textbf{b.~~} 0,024  &\textbf{c.~~} 0,082 &\textbf{d.~~} 0,1
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

Pour les questions 4 et 5, on choisit au hasard et de façon indépendante $n$ machines de l'entreprise, où $n$ désigne un entier naturel non nul. 

On assimile ce choix à un tirage avec remise, et on désigne par $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque lot de $n$ machines le nombre de machines défectueuses dans ce lot.

On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,082$.\index{loi binomiale}

\begin{enumerate}[resume]
\item Dans cette question, on prend $n =50$.

La valeur de la probabilité $p(X > 2)$, arrondie au millième, est de : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0,136 &\textbf{b.~~} 0,789 &\textbf{c.~~} 0,864 &d. 0,924
\end{tabularx}
\end{center}
\item On considère un entier $n$ pour lequel la probabilité que toutes les machines d'un lot de taille $n$ fonctionnent correctement est supérieure à $0,4$. 

La plus grande valeur possible pour $n$ est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}5 &\textbf{b.~~} 6 &\textbf{c.~~} 10 &d. 11
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
\[f(x) = x^2 - 8\ln (x)\]
où ln désigne la fonction logarithme népérien.\index{fonction logarithme népérien}

On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$, on note $f'$ sa fonction dérivée. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$.\index{limite de fonction}
\item On admet que, pour tout $x > 0$,\: $f(x) = x^2\left(1 - 8\dfrac{\ln (x)}{x^2}\right)$.

En déduire la limite: $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
\item Montrer que, pour tout réel $x$ de $]0~;~+\infty[$, $f'(x) = \dfrac{2\left(x^2 - 4\right)}{x}$.
\item Étudier les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations complet.

On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.\index{minimum}
\item Démontrer que, sur l'intervalle ]0~;~2], l'équation $f(x) = 0$ admet une solution
unique $\alpha$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\alpha$).\index{théorème des valeurs intermédiaires}
\item On admet que, sur l'intervalle $[2~;~ +\infty[$, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\beta$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\beta$).

En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item Pour tout nombre réel $k$, on considère la fonction $g_k$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par:
\[g_k(x) = x^2 - 8\ln (x) + k.\]

En s'aidant du tableau de variations de $f$, déterminer la plus petite valeur de $k$
pour laquelle la fonction $g_k$ est positive sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise a créé une Foire Aux Questions (\og FAQ \fg) sur son site internet.

\medskip

On étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois.

\bigskip

\textbf{Partie A : Première modélisation}

\medskip

Dans cette partie, on admet que, chaque mois :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]90\,\% des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ ;
\item[$\bullet~~$]130 nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ.
\end{itemize}

Au cours du premier mois, $300$ questions ont été posées.

\medskip

Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le $n$-ième
mois, on modélise la situation ci-dessus à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \begin{center}$u_1 =3$ \quad et, pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\:u_{n+1} = 0,9u_n + 1,3$.\end{center}\index{suite}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$ et $u_3$ et proposer une interprétation dans le contexte de l'exercice. \item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :
\[u_n = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0,9^n.\]
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.62\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item  En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\item On considère le programme ci-contre, écrit en langage Python.\index{Python}

Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(8.5) et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\renewcommand\arraystretch{0.9}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|} \hline
def seuil(p) :\\
\qquad n=1\\
\qquad u=3\\
\qquad while u<=p :\\
\qquad  \qquad n=n+1\\
\qquad \qquad u=0.9*u+1.3 \\
\qquad return n\\ \hline
\end{tabularx}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Partie B : Une autre modélisation}

\medskip

Dans cette partie, on considère une seconde modélisation à l'aide d'une nouvelle
suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par:
\[v_n = 9 - 6 \times \text{e}^{-0,19\times(n - 1)}.\]\index{fonction exponentielle}

Le terme $v_n$ est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le $n$-ième mois sur la FAQ.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser les valeurs arrondies au centième de $v_1$ et $v_2$.
\item Déterminer, en justifiant la réponse, la plus petite valeur de $n$ telle que $v_n > 8,5$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Comparaison des deux modèles}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'entreprise considère qu'elle doit modifier la présentation de son site lorsque plus de 850 questions sont présentes sur la FAQ. 

Parmi ces deux modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ?

Justifier votre réponse.
\item En justifiant la réponse, pour quelle modélisation y a-t-il le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
On considère le cube ABCDEFCH d'arête 1.\index{géométrie}

On appelle I le point d'intersection du plan (GBD) avec la droite (EC).

L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.3,5.7)
\psframe(0.8,0.3)(4.8,4.3)
\psline(4.8,0.3)(6.3,1.3)(6.3,5.3)(4.8,4.3)%BCGF
\psline(6.3,5.3)(2.3,5.3)(0.8,4.3)%GHE
\psline(4.8,0.3)(6.3,5.3)%BG
\psline[linestyle=dashed](0.8,0.3)(2.3,1.3)(6.3,1.3)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2.3,1.3)(2.3,5.3)%DH
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](4.8,0.3)(2.3,1.3)(6.3,5.3)%BDG
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](0.8,4.3)(6.3,1.3)%EC
\uput[d](0.8,0.3){A} \uput[d](4.8,0.3){B} \uput[dr](6.3,1.3){C} \uput[d](2.3,1.3){D}
\uput[u](0.8,4.3){E} \uput[u](4.8,4.3){F} \uput[u](6.3,5.3){G} \uput[u](2.3,5.3){H}
\uput[dl](4.5,2.27){I} \uput[dl](3.55,0.8){J}
\psdots(4.5,2.27)(3.55,0.8)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner dans ce repère les coordonnées des points E, C, G.
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}
\item Démontrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan (GBD) est :\index{equation de plan@équation de plan}
\[x + y - z - 1 = 0.\]
		\item Montrer que le point I a pour coordonnées $\left(\dfrac23~;~\dfrac23~;~\dfrac13\right)$.
		\item En déduire que la distance du point E au plan (GBD) est égale à $\dfrac{2\sqrt 3}{3}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle BDG est équilatéral.
		\item Calculer l'aire du triangle BDG.\index{aire de triangle}
		
On pourra utiliser le point J, milieu du segment [BD].
	\end{enumerate}
\item Justifier que le volume du tétraèdre EGBD est égal à $\dfrac13$.\index{volume de tétraèdre}

\emph{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac13 Bh$ où $B$ est 
l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%  fin Métropole-Antilles-Guyane-Maroc J1 20 mars 2023
\newpage
%%%%%%%%%  Métropole-Antilles-Guyane-Maroc 21 mars 2023 J2
\phantomsection
\hypertarget{Metropole2}{}
\label{Metropole2}
\lfoot{\small{Métropole, Antilles-Guyane, Maroc}}
\rfoot{\small{21 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole\footnote{Antilles-Guyane, Maroc} 21 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\\index{QCM}
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.}

\bigskip

Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie, le joueur doit choisir entre deux \og mondes \fg : soit le monde A, soit le monde B.

\smallskip

On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs.\index{probabilités}

Lorsqu'il joue une partie, on admet que:
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à $\dfrac25$ ;
\item[$\bullet~~$] si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu'il gagne la partie est de $\dfrac{7}{10}$ ;
\item[$\bullet~~$] la probabilité que le joueur gagne la partie est de $\dfrac{12}{25}$.
\end{itemize}

On considère les évènements suivants : 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og Le joueur choisit le monde A \fg{};
\item[$\bullet~~$] $B$ : \og Le joueur choisit le monde B \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $G$ : \og Le joueur gagne la partie \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{7}{10}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{3}{25}$&\textbf{c.~~} $\dfrac{7}{25}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{24}{125}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item La probabilité $P_B(G)$ de l'événement $G$ sachant que $B$ est réalisé est égale à :\index{probabilité conditionnelle}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{5}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{1}{3}$&\textbf{c.~~} $\dfrac{7}{15}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{5}{12}$
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice, un joueur effectue 10 parties successives.

On assimile cette situation à un tirage aléatoire avec remise.\index{loi binomiale}

On rappelle que la probabilité de gagner une partie est de $\dfrac{12}{25}$.
\begin{enumerate}[resume]
\item La probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne exactement $6$ parties est égale à : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~~} $0,859$&\textbf{b.~~}0,671&\textbf{c.~~}0,188&\textbf{d.~~}  0,187
\end{tabularx}
\end{center}
\item On considère un entier naturel $n$ pour lequel la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus $n$ parties est de $0,207$. Alors :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~~} $n = 2$&\textbf{b.~~} $n = 3$&\textbf{c.~~} $n = 4$&\textbf{d.~~} $n = 5$
\end{tabularx}
\end{center}
\item La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~~} $1 - \left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$&\textbf{b.~~} $\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$&\textbf{c.~~} $\left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$&\textbf{d.~~}$1 - \left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Des biologistes étudient l'évolution d'une population d'insectes dans un jardin botanique. 

Au début de l'étude la population est de \np{100000}~insectes.

Pour préserver l'équilibre du milieu naturelle nombre d'insectes ne doit pas dépasser \np{400000}.

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude d'un premier modèle en laboratoire}

\medskip

L'observation de l'évolution de ces populations d'insectes en laboratoire, en l'absence de tout prédateur, montre que le nombre d'insectes augmente de 60\,\% chaque mois.\index{suite}

En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l'évolution de la population d'insectes à l'aide d'une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, \: $u_n$ modélise le nombre d'insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois.

On a donc $u_0 = 0,1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ : \:$u_n = 0,1 \times 1,6^n$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.\index{limite de suite}
\item En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n > 0,4$.
\item Selon ce modèle, l'équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude d'un second modèle}

\medskip

En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation.

Ils modélisent le nombre d'insectes à l'aide de la suite $\left(v_n\right)$, définie par :

\begin{center}$v_0 = 0,1$ \quad et, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = 1,6v_n - 1,6v_n^2$,\end{center}

où, pour tout entier naturel $n,\: v_n$ est le nombre d'insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre d'insectes au bout d'un mois.
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac12\right]$ par
\[f(x) = 1,6x - 1,6x^2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $f(x) = x$.
		\item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac12\right]$.\index{fonction croissante}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: 0 \leqslant v_n  \leqslant  v_{n+1} \leqslant  \dfrac12$.\index{démonstration par récurrence}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente.\index{suite convergente}
		
On note $\ell$ la valeur de sa limite. On admet que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$.
		\item Déterminer la valeur de $\ell$. 
		
Selon ce modèle, l'équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item  On donne ci-contre la fonction seuil, écrite en langage Python.\index{Python}
	\begin{enumerate}
		\item Qu'observe-t-on si on saisit seuil(0.4) ?
		\item Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(0.35).
		
Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
def seuil(a) :\\
\qquad v=0.1\\
\qquad n=0\\
\qquad while v<a :\\
\qquad \qquad v=1.6*v-1.6*v*v\\
\qquad \qquad n=n+1\\
\qquad return n\\ \hline
\end{tabularx}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]le plan $\mathcal{P}_1$ dont une équation cartésienne est $2x + y - z +2 = 0$,
\item[$\bullet~~$]le plan $\mathcal{P}_2$ passant par le point B(1~;~1~;~2) et dont un vecteur normal est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$.
\end{itemize}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées d'un vecteur $\vect{n_1}$ normal au plan $\mathcal{P}_1$.\index{vecteur normal}
		\item On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l'un des plans est orthogonal à un vecteur normal à l'autre plan.
		
Montrer que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_2$.\index{equation de plan@équation de plan}

		\item On note $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0\\y &=& -2 + t\\ z&=&\phantom{2+t}t
\end{array}\right.,\quad t \in  \R$.\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}

Montrer que la droite $\Delta$ est l'intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
	\end{enumerate}
On considère le point A(1~;~1~;~1) et on admet que le point A n'appartient ni à $\mathcal{P}_1$ ni à $\mathcal{P}_2$.

On note H le projeté orthogonal du point A sur la droite $\Delta$.
\item On rappelle que, d'après la question 2. b, la droite $\Delta$ est l'ensemble des points $M_t$ de coordonnées $(0~;~-2 + t~;~t)$, où $t$ désigne un nombre réel quelconque.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $t$,\: A$M_t = \sqrt{2t^2 - 8t + 11}$.
		\item En déduire que AH $= \sqrt 3$.
	\end{enumerate}
\item On note $\mathcal{D}_1$ la droite orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$ passant par le point A et H$_1$ le projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathcal{P}_1$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}_1$.\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}
		\item En déduire que le point H$_1$ a pour coordonnées $\left(- \dfrac13~;~\dfrac13~;~\dfrac53\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item Soit H$_2$ le projeté orthogonal de A sur le plan $\mathcal{P}_2$.

On admet que H$_2$ a pour coordonnées $\left(\dfrac43~;~\dfrac23~;~\dfrac43\right)$
et que H a pour coordonnées (0~;~0~;~2). 

Sur le schéma ci-contre, les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$
sont représentés, ainsi que les points A, H$_1$, H$_2$, H. 

Montrer que AH$_1$HH$_2$ est un rectangle.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.4,8.6)
%\psgrid
\pspolygon(0,2.7)(5.5,0.5)(7.2,4.3)(1.7,6.5)
\psline(2.5,0)(2.5,4.7)(4.2,8.4)(4.2,5.3)
\psline(1.8,0)(3.1,2.7)
\psline[linestyle=dashed](3.1,2.7)(3.6,3.62)
\psline[linestyle=dashed](4.2,5.3)(4.2,1.1)
\psline(3.6,3.62)(5.6,8)
\psline(4.2,1.1)(3.7,0)
\pspolygon(3.1,2.7)(4.6,2.3)(4.6,3.4)(3.1,3.8)%HH2AH1
\uput[l](2,0.4){$\Delta$}\rput(0.4,2.8){$\mathcal{P}_2$}\rput(4,7.4){$\mathcal{P}_1$}
\uput[dl](3.1,2.7){H}\uput[dr](4.6,2.3){H$_2$}\uput[ur](4.6,3.4){A}\uput[ul](3.1,3.8){H$_1$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) = \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right),\]\index{fonction exponentielle}

où ln désigne la fonction logarithme népérien.
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij. 

La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=2.25cm,yunit=2.25cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3,-0.8)(2.4,2.6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-0.8)(2.4,2.6)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{-3}{2.4}{2.71828 x neg exp 1 add ln}
\psplotTangent[linestyle=dashed]{0}{4}{2.71828 x neg exp 1 add ln}
\psline[linestyle=dashed](-3,2.7)(3.4,-0.45)
\psdots(-2.2,2.3)(2.3,0.1)
\uput[u](-2.2,2.3){$M_a$}\uput[u](2.3,0.1){$N_a$}
\uput[dl](-1.6,1.8){\red $\mathcal{C}$}\uput[d](2.3,-0.43){$T_0$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.\index{limite de fonction}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		
Interpréter graphiquement ce résultat.
		\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
		
Calculer $f'(x)$ puis montrer que, pour tout nombre réel $x$,\: $f'(x) = \dfrac{-1}{1 + \text{e}^x}$.
\index{dérivée}
		\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}	
\item On note $T_0$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $T_0$.\index{equation de la tangente@équation de la tangente}
		\item Montrer que la fonction $f$ est convexe sur $\R$.\index{fonction convexe}
		\item En déduire que, pour tout nombre réel $x$, on a :
		\[f(x) \geqslant  - \dfrac12x + \ln (2).\]
		\end{enumerate}	
\item Pour tout nombre réel $a$ différent de 0, on note $M_a$ et $N_a$ les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $-a$ et $a$. 

On a donc : $M_a\left(-a~;~ f(-a)\right)$ et $N_a\left(a~;~ f(a)\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x) - f(-x) = - x$.
		\item En déduire que les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ sont parallèles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%  fin Métropole-Antilles-Guyane-Maroc 21 mars 2023 J2
\newpage
%%%%%%%%%  Centres étrangers (Europe) 21 mars 2023 J1
\phantomsection
\hypertarget{Centresetrangers3}{}
\label{Centresetrangers3}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{21 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Centres étrangers\footnote{Europe} 21 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par
\[g(x) = \ln \left(x^2\right) + x - 2\]\index{fonction logarithme népérien}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.\index{limite de fonction}
\item  On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.\index{dérivée}
\item \begin{enumerate}
\item  Démontrer qu'il existe un unique réel strictement positif $\alpha$  tel que $g(\alpha) = 0$.
\item Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.\index{théorème des valeurs intermédiaires}
\end{enumerate}
\item En déduire le tableau de signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par:
\[f(x) = \dfrac{(x-2)}{x}\ln(x).\]\index{fonction logarithme népérien}
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0.\index{limite de fonction}
\item Interpréter graphiquement le résultat.
\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$.\index{dérivée}

\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$,
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie C}
\medskip

Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la courbe représentative de la fonction $\ln$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Dans un souci de préservation de l'environnement, Monsieur Durand décide de se rendre
chaque matin au travail en utilisant son vélo ou les transports en commun.

S'il choisit de prendre les transports en commun un matin, il reprend les transports en
commun le lendemain avec une probabilité égale à $0,8$.

S'il utilise son vélo un matin, il reprend son vélo le lendemain avec une probabilité égale
à $0,4$.

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note:
\begin{itemize}
\item  $T_n$ l'évènement \og Monsieur Durand utilise les transports en commun le $n$-ième jour\fg
\item  $V_n$ l'évènement \og  Monsieur Durand utilise son vélo le $n$-ième jour\fg
\item On note $p_n$ la probabilité de l'évènement $T_n$,
\end{itemize}\index{probabilités}

Le premier matin, il décide d'utiliser les transports en commun. Ainsi, la probabilité de
l'évènement $T_1$ est $p_1 = 1$.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les
2\ieme{} et 3\ieme{} jours,\index{arbre pondéré}

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,levelsep=3cm,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{$T_1$~}}
{\pstree{\TR{$T_2$~}\taput{$\dots$}}
	{
	\TR{$T_3$~}\taput{$\dots$}
	\TR{$V_3$~}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$V_2$~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$T_3$~}\taput{$\dots$}
	\TR{$V_3$~}\tbput{$\dots$}
	}
}
\end{center}

\item Calculer $p_3$
\item  Le 3\ieme{} jour, M. Durand utilise son vélo.\index{probabilités}

Calculer la probabilité qu'il ait pris les transports en commun la veille.

\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les
$n$-ième et $(n + 1)$-ième jours.

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,levelsep=3cm,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$T_n$~}\taput{$p_n$}}
	{
	\TR{$T_{n+1}$~}\taput{$\dots$}
	\TR{$V_{n+1}$~}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$V_n$~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$T_{n+1}$~}\taput{$\dots$}
	\TR{$V_{n+1}$~}\tbput{$\dots$}
	}
}
\end{center}

\item  Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = 0,2p_n + 0,6$.
\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a
\[p_n = 0,75 + 0,25 \times 0,2^{n-1}.\]\index{démonstration par récurrence}
\item Déterminer la limite de la suite $(p_n)$ et interpréter le résultat dans le contexte de
l'exercice.\index{limite de suite}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\\index{QCM}
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
Les cinq questions sont indépendantes.}

\bigskip

Dans tout l'exercice, $\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une primitive de la fonction $f$, définie sur $\R$ par $f(x) =x\text{e}^x$, est la fonction $F$, définie sur $\R$, par :\index{fonction exponentielle}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{a.~~} $F(x) =\dfrac{x^2}{2}\text{e}^x$&\textbf{c.~~} $F(x) = (x + 1)\text{e}^x$\\
\textbf{b.~~} $F(x) = (x - 1)\text{e}^x$ &\textbf{d.~~} $F(x) =x^2 \text{e}^{x^2}$ 
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = \ln \left(\dfrac{x - 1}{2x+ 4}\right).$

La fonction $g$ est définie sur:\index{ensemble de définition}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{a.~~}$\R$				& \textbf{c.~~} $]-\infty~;~-2[ \cup ]1~;~+\infty[$\\
\textbf{c.~~}$]-2~;~ +\infty[$ 	&\textbf{d.~~} $]-2~;~1[$
\end{tabularx}
\end{center}

\item  La fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)= (x + 1)\text{e}^{x}$ est :\index{fonction convexe}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{a.~~} concave sur $\R$& \textbf{c.~~} convexe sur $] -\infty~;~-3]$ et concave sur $[-3~;~+\infty[$\\
\textbf{b.~~} convexe sur $\R$& \textbf{d.~~} concave sur $]-\infty~;~-3]$ et convexe sur $[-3~;~+\infty[$
\end{tabularx}
\end{center}
\item Une suite $\left(u_n\right)$ est minorée par 3 et converge vers un réel $\ell$.\index{fonction bornée}

On peut affirmer que :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{a.~~} $\ell = 3$ 		&\textbf{c.~~} La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.\\
\textbf{b.~~} $\ell \geqslant 3$ &\textbf{d.~~} La suite $\left(u_n\right)$ est constante à partir d'un certain rang.
\end{tabularx}
\end{center}

\item  La suite $\left(w_n\right)$ est définie par $w_1 = 2$ et pour tout entier naturel $n$ strictement positif, 

$w_{n+1} = \dfrac1n w_n$.\index{suite géométrique}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{a.~~} La suite $\left(w_n\right)$ est géométrique&\textbf{c.~~} $w_5 = \dfrac{1}{15}$\\
\textbf{b.~~} La suite $\left(w_n\right)$ n'admet pas de limite&\textbf{d.~~}La suite $\left(w_n\right)$ converge vers 0.
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère les
points
\begin{center}A$(-1~;~-3~;~2)$,\qquad B$(3~;~-2~;~6)$ \quad et \quad  C$(1~;~2~;~-4)$.\end{center}

\smallskip\index{géométrie}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points A, B et C définissent un plan que l'on notera $\mathcal{P}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}$  est normal au plan $\mathcal{P}$.\index{vecteur normal}
		\item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est $13x - 16y - 9z- 17 = 0$.\index{equation de plan@équation de plan}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On note $\mathcal{D}$ la droite passant par le point F$(15~;~-16~;~-8)$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}
\item On appelle E le point d'intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $\mathcal{P}$.

Démontrer que le point E a pour coordonnées (2~;~0~;~1).
\item Déterminer la valeur exacte de la distance du point F au plan $\mathcal{P}$.
\item Déterminer les coordonnées du ou des point(s) de la droite $\mathcal{D}$ dont la distance au plan $\mathcal{P}$ est égale à la moitié de la distance du point F au plan $\mathcal{P}$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%% fin Centres étrangers (Europe) 21 mars 2023 J1
\newpage
%%%%%%%%%  Centres étrangers (Europe) 22 mars 2023 J2
\phantomsection
\hypertarget{Centresetrangers4}{}

\label{Centresetrangers4}
\lfoot{\small{Centres étrangers groupe 2}}
\rfoot{\small{22 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Centres étrangers\footnote{Europe} 22 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par:
\[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- 3x}}.\]\index{fonction exponentielle}

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

On nomme A le point de coordonnées $\left(0~;~\dfrac12\right)$ et B le point de coordonnées $\left(1~;~\dfrac54\right)$.

On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=2.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2.5,-0.5)(3,1.5)
\psgrid[subgriddiv=4](-3,-1)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2.5,-0.5)(3,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(1.1,1.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{3}{2.71828 x 3 mul exp 2.71828 x 3 mul exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{3}{3 x mul 4 div 0.5 add}
\uput[l](0,0.5){A}\uput[dr](1,1.25){B}
\uput[dr](1,0){1}\uput[ul](0,1){1}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,0.5)(1,1.25)
\uput[d](2.8,0.9){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[r](-1.2,-0.4){$\mathcal{T}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\textbf{Partie A : lectures graphiques}\index{lecture graphique}

\medskip

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$.\index{equation de la tangente@équation de la tangente}
\item Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.\index{fonction convexe}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.

Déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f'$.\index{dérivée}
\item Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$.\index{limite de fonction}
		\item Déterminer la limite en $- \infty$ de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0,99$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Tangente et convexité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer par le calcul une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.\index{equation de la tangente@équation de la tangente}

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.

On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$.

On admet que $f''$ est définie sur $\R$ par :
\[f''(x) = \dfrac{9\text{e}^{-3x} \left(\text{e}^{-3x} - 1\right)}{\left(1 + \text{e}^{-3x} \right)^3}.\]

\item Étudier le signe de la fonction $f''$ sur $\R$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction $f$ est convexe.
		\item Que représente le point A pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?\index{fonction convexe}
\item En déduire la position relative de la tangente $\mathcal{T}$ et de la courbe $\mathcal{C}_f$.

Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie par :
\[f(x) = x - \ln (1 + x).\]

\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]-1~;~+ \infty[$.

Déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f'$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$.
		\item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-1~;~0[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$, on a :
\[f(x) = \ln \left(\dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\right).\]
		\item En déduire la limite en $+\infty$ de la fonction $f$.\index{limite de fonction}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 10$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n+1} = u_n- \ln \left(1 + u_n\right).\]\index{suite}

On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est bien définie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur arrondie au millième de $u_1$.
\item En utilisant la question 3. a. de la partie A, démontrer par récurrence que, pour
tout entier naturel $n$, on a $u_n \geqslant 0$.\index{démonstration par récurrence}
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
\item Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ converge.\index{suite convergente}
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.\index{géométrie}

On considère les points 
\begin{center}A(3~;~0~;~1),\qquad  B(2~;~1~;~2)\quad  et \quad C$(- 2~;~- 5~;~1)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.\index{triangle rectangle}
\item Vérifier que le plan (ABC) a pour équation cartésienne:\index{equation de plan@équation de plan}
\[-x + y - 2z + 5 = 0.\]

\item On considère le point S$(1~;~-2~;~4)$.

Déterminer la représentation paramétrique de la droite ($\Delta$), passant par S et
orthogonale au plan (ABC).\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}
\item On appelle H le point d'intersection de la droite ($\Delta$) et du plan (ABC).

Montrer que les coordonnées de H sont $(0~;~-1~;~2)$.
\item Calculer la valeur exacte de la distance SH.
\item On considère le cercle $\mathcal{C}$, inclus dans le plan (ABC), de centre H, passant par le
point B. On appelle $\mathcal{D}$ le disque délimité par le cercle $\mathcal{C}$.

Déterminer la valeur exacte de l'aire du disque $\mathcal{D}$.\index{aire d'un disque}
\item En déduire la valeur exacte du volume du cône de sommet S et de base le
disque $\mathcal{D}$.\index{volume d'un cône}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\\index{QCM}
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
Les cinq questions sont indépendantes.}

\medskip

Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que 4\,\% des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.

On choisit au hasard $n$ pièces produites par la chaîne de fabrication.

Le nombre de pièces produites est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses tirées.

Dans les trois questions suivantes, on prend $n = 50$.\index{probabilités}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité, arrondie au millième, de tirer au moins une pièce défectueuse ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} 1&\textbf{b.~~} 0,870&\textbf{c.~~} 0,600&\textbf{d.~~} 0,599\
\end{tabularx}
\end{center}

\item La probabilité $p(3 < X \leqslant 7)$ est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{a.~~}$p(X \leqslant 7) - p(X > 3)$&
\textbf{b.~~}$p(X \leqslant 7) - p(X \leqslant 3)$\\
\textbf{c.~~}$p(X < 7)- p(X > 3)$&
\textbf{d.~~}$p(X < 7) - p(X \geqslant 3)$
\end{tabularx}
\end{center}
\item Quel est le plus petit entier naturel $k$ tel que la probabilité de tirer au plus $k$ pièces défectueuses soit supérieure ou égale à $95\,\%$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}2&\textbf{b.~~}3&\textbf{c.~~}4&\textbf{d.~~}5
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

Dans les questions suivantes, $n$ ne vaut plus nécessairement $50$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Quelle est la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}$0,04^n$&\textbf{b.~~}$0,96^n$&\textbf{c.~~}$1 - 0,04^n$ &\textbf{d.~~}$1 - 0,96^n$
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la fonction Python ci-dessous. Que renvoie-t-elle ?\index{Python}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{def} seuil (x) :\\
\qquad n=1\\
\qquad \textbf{while} 1-0.96**n $<$ x :\\
\qquad \quad  n = n + 1\\
\qquad \textbf{return} n\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Le plus petit nombre $n$ tel que la probabilité de tirer au moins une pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x.
		\item Le plus petit nombre $n$ tel que la probabilité de ne tirer aucune pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x.
		\item Le plus grand nombre $n$ tel que la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses soit supérieure ou égale à x.
		\item Le plus grand nombre $n$ tel que la probabilité de ne tirer aucune pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%  fin Centres étrangers (Europe) 21 mars 2023 J2
\newpage
%%%%%%%%%  Asie 23 mars 2023 J1
\phantomsection
\hypertarget{Asie1}{}
\label{Asie1}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{23 mars 2023 Jour 1}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Asie 23 mars 2023~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie par $u_0 = 400$ et pour tout entier naturel $n$ :\index{suite} 
\[u_{n+1} = 0,9u_n + 60.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
		\item Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$
	\end{enumerate}	
\item Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a l'inégalité 
\[0  \leqslant u_n  \leqslant u_{n+1} \leqslant  600.\]\index{démonstration par récurrence}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est convergente.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$. Justifier.
	\end{enumerate}
\item On donne une fonction écrite en langage Python :\index{Python}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{def} mystere(seuil):\\
\qquad n=0\\
\qquad u=400\\
\qquad \textbf{while} u <= seuil :\\
\qquad \qquad n = n+1\\
\qquad \qquad u = 0.9*u+60\\
\qquad \textbf{return} n\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelle valeur obtient-on en tapant dans la console de Python: mystere (500) ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un arboriculteur possède un verger dans lequel il a la place de cultiver au maximum $500$~arbres.

Chaque année il vend 10\,\% des arbres de son verger et puis il replante $60$ nouveaux arbres.

Le verger compte $400$ arbres en 2023.

L'arboriculteur pense qu'il pourra continuer à vendre et à planter les arbres au même rythme pendant les années à venir.

Va-t-il être confronté à un problème de place dans son verger ? Expliquer votre réponse.

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On considère le cube ABCDEFGH qui est représenté en ANNEXE.\index{géométrie}

Dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}~;~\vect{\text{AE}}\right)$, on considère les points M, N et P de coordonnées :
\begin{center}M$\left(1~;~1~;~\dfrac34\right)$, \qquad N$\left(0~;~\dfrac12~;~1\right)$, \qquad P$\left(1~;~0~;~-\dfrac54\right)$\end{center}

Dans cet exercice, on se propose de calculer le volume du tétraèdre FMNP.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{MN}}$ et $\vect{\text{MP}}$.
\item Placer les points M, N et P sur la figure donnée en ANNEXE qui sera à rendre avec la copie.
\item Justifier que les points M, N et P ne sont pas alignés.\index{points alignés}

Dès lors les trois points définissent le plan (MNP).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{MN}} \cdot \vect{\text{MP}}$, puis en déduire la nature du triangle MNP. \index{produit scalaire}
		\item Calculer l'aire du triangle MNP.\index{aire d'un triangle}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}(5~;~-8~;~4)$ est un vecteur normal au plan (MNP).\index{vecteur normal}
		\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (MNP) est $5x - 8y + 4z = 0$.\index{equation de plan@équation de plan}
	\end{enumerate}	
\item On rappelle que le point F a pour coordonnées F(1~;~0~;~1). 

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ orthogonale au plan (MNP) et passant par le point F.\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}
\item On note L le projeté orthogonal du point F sur le plan (MNP). 

Montrer que les coordonnées du point L sont: L$\left(\dfrac47~;~\dfrac{24}{35}~;~\dfrac{23}{35}\right)$.
\item Montrer que FL $= \dfrac{3\sqrt{105}}{35}$ puis calculer le volume du tétraèdre FMNP. 

On rappelle que le volume V d'un tétraèdre est donné par la formule :\index{volume de tétraèdre}

\begin{center}$V = \dfrac13 \times  \text{aire d'une base} \times \text{hauteur associée à cette base}$.\end{center}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Soit $k$ un réel strictement positif.

Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de solutions de l'équation 
\[\ln (x) = kx\]\index{fonction logarithme népérien}
 de paramètre $k$.
 
\smallskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Conjectures graphiques :}

\medskip

On a représenté, ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe d'équation $y = \ln (x)$, la droite d'équation $y = x$ ainsi que la droite d'équation $y = 0,2x$ :

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-1.2)(16.5,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-1)(16.5,9)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.1}{16.5}{x ln}\uput[d](15,2.3){\red $y = \ln x$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16.5}{x 0.2 mul}\uput[4](14,3.3){\blue $y = 0,2 x$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{16.5}{x}\uput[ul](8.5,8.5){$y = x$}
\end{pspicture*}
\end{center}

À partir du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation $\ln (x) = kx$ pour $k = 1$ puis pour $k = 0,2$.\index{lecture graphique}
\item Étude du cas $k = 1$ :

On considère la fonction $f$, définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$, par: 
\[f(x) = \ln (x) - x.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.\index{dérivée}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.

Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s'il y en a.

Les limites aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.
		\item En déduire le nombre de solutions de l'équation $\ln (x) = x$.
	\end{enumerate}	
\item Étude du cas général :

$k$ est un nombre réel strictement positif.

On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par:
\[g(x) = \ln (x) - kx.\]

On admet que le tableau des variations de la fonction $g$ est le suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7.5,2.5)
\psframe(7.5,2.5)\psline(0,1.5)(7.5,1.5)
\psline(1.5,0)(1.5,2.5)
\uput[u](0.75,1.4){$x$} \uput[u](1.65,1.4){$0$} \uput[u](4.5,1.4){$\dfrac 1k$} 
\uput[u](7,1.4){$+ \infty$}
\rput(0.75,0.75){$g(x)$}\uput[u](2,0){$- \infty$}\uput[d](4.5,1.5){$g\left(\frac 1k\right)$}
\uput[u](7,0){$- \infty$}
\psline{->}(2,0.5)(4,1)\psline{->}(5,1)(7,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Donner, en fonction du signe de $g\left(\dfrac 1k\right)$ le nombre de solutions de l'équation $g(x) = 0$.
		\item Calculer $g\left(\dfrac 1k\right)$ en fonction du réel $k$.
		\item Montrer que $g\left(\dfrac 1k\right) > 0$ équivaut à $\ln (k) < - 1$.
		\item Déterminer l'ensemble des valeurs de $k$ pour lesquelles l'équation $\ln (x) = kx$ possède exactement deux solutions.
		\item Donner, selon les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l'équation $\ln (x) = kx$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
 Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.}

\bigskip

Une urne contient 15 billes indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 15. 

La bille numérotée 1 est rouge.

Les billes numérotées 2 à 5 sont bleues.

Les autres billes sont vertes.

\medskip

On choisit une bille au hasard dans l'urne.

On note $R$ (respectivement $B$ et $V$) l'évènement : \og La bille tirée est rouge \fg{} (respectivement bleue et verte).\index{probabilités}

\medskip

\textbf{Question 1 :}

\medskip

Quelle est la probabilité que la bille tirée soit bleue ou numérotée d'un nombre pair ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A&Réponse B&Réponse C&Réponse D\\
$\dfrac{7}{15}$&$\dfrac{9}{15}$&$\dfrac{11}{10}$&\small Aucune des
affirmations précédentes n'est juste.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2 :}

\medskip

Sachant que la bille tirée est verte, quelle est la probabilité qu'elle soit numérotée 7?\index{probabilité conditionnelle}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A&Réponse B&Réponse C&Réponse D\\
$\dfrac{1}{15}$&$\dfrac{7}{15}$&$\dfrac{1}{10}$&\small Aucune des
affirmations précédentes n'est juste.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Un jeu est mis en place. Pour pouvoir jouer, le joueur paie la somme de $10$ euros appelée la mise.

Ce jeu consiste à tirer une bille au hasard dans l'urne.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Si la bille tirée est bleue, le joueur remporte, en euro, trois fois le numéro de la bille. 
\item[$\bullet~~$]Si la bille tirée est verte, le joueur remporte, en euro, le numéro de la bille.
\item[$\bullet~~$]Si la bille tirée est rouge, le joueur ne remporte rien.
\end{itemize}
\smallskip

On note $G$ la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la différence entre ce qu'il remporte et sa mise de départ.

Par exemple, si le joueur tire la bille bleue numérotée 3, alors son gain algébrique est $-1$ euro.

\medskip

\textbf{Question 3 :}

\medskip

Que vaut P(G = 5)?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A&Réponse B&Réponse C&Réponse D\\
$\dfrac{1}{15}$&$\dfrac{2}{15}$&$\dfrac{1}{3}$&\small Aucune des
affirmations précédentes n'est juste.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4 :}

\medskip

Quelle est la valeur de $P_R(G = 0)$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A&Réponse B&Réponse C&Réponse D\\
$0$&$\dfrac{1}{15}$&$1$&\small Aucune des
affirmations précédentes n'est juste.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5 :}

\medskip

Que vaut $P_{(G = - 4)}(V)$ ? 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A&Réponse B&Réponse C&Réponse D\\
$\dfrac{1}{15}$&$\dfrac{4}{15}$&$\dfrac{1}{2}$&\small Aucune des
affirmations précédentes n'est juste.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9.3,9)
\pspolygon(0.5,1.3)(5.5,0.6)(5.5,6.3)(0.5,7)%ABFE
\uput[dl](0.5,1.3){A} \uput[d](5.5,0.6){B} \uput[u](5.5,6.3){F} \uput[l](0.5,7){E} 
\psline(5.5,0.6)(8.2,1.7)(8.2,7.4)(5.5,6.3)%BCGF
\uput[r](8.2,1.7){C} \uput[ur](8.2,7.4){G} 
\psline(8.2,7.4)(3.7,8.1)(0.5,7)%GHE
\uput[u](3.7,8.1){H}
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.3)(3.7,2.4)(3.7,8.1)%ADH
\psline[linestyle=dashed](3.7,2.4)(8.2,1.7)%DC
\uput[d](3.7,2.4){D}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%  fin Asie 23 mars 2023 J1
\newpage
%%%%%%%%%  Asie 24 mars 2023 J2
\phantomsection
\hypertarget{Asie2}{}
\label{Asie2}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{24 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Asie 24 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère deux cubes ABCDEFGH et BKLCFJMG positionnés comme sur la figure suivante:

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(10.2,7.8)
\pspolygon(0.2,2.5)(5.8,0.3)(5.8,4.1)(0.2,6.3)%AKJE
\psline(3,1.4)(3,5.2)(6.8,6.2)%BFG
\psline(5.8,0.3)(9.6,1.3)(9.6,5.1)(5.8,4.1)%KLMJ
\psline(6.8,6.2)(4,7.3)(0.2,6.3)%GHE
\psline(9.6,5.1)(6.8,6.2)%MG
\psline[linestyle=dashed](4,7.3)(4,3.5)(9.6,1.3)%HDL
\pspolygon[linestyle=dashed](3,1.4)(6.8,2.4)(6.8,6.2)%BCG
\psline[linestyle=dashed](0.2,2.5)(4,3.5)%ADC
%\psline[linestyle=dotted](4,3.5)(6.8,2.4)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,2.5)(3,1.4)%AB
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{->}(0.2,2.5)(4,3.5)%AD
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,2.5)(0.2,6.3)%AE
\psline(3,1.4)(1.6,5.75)(6.8,6.2)%BIG
\uput[dl](0.2,2.5){A} \uput[dl](3,1.4){B} \uput[ur](6.8,2.4){C} \uput[ul](4,3.5){D}
\uput[l](0.2,6.3){E} \uput[dl](3,5.2){F} \uput[ur](6.8,6.2){G} \uput[u](4,7.3){H}
\uput[u](5.8,4.1){J} \uput[d](5.8,0.3){K} \uput[r](9.6,1.3){L} \uput[ur](9.6,5.1){M}
\uput[u](1.6,5.75){I}
\end{pspicture}
\end{center}

Le point I est le milieu de [EF].

Dans toute la suite de l'exercice, on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}~;~\vect{\text{AE}}\right)$.\index{géométrie}

Ainsi, par exemple, les points F, G et J ont pour coordonnées 

\begin{center}F(1~;~0~;~1),\qquad  G(1~;~1~;~1)\quad et\quad  J(2~;~0~;~1).\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume du tétraèdre FIGB est égal à $\dfrac{1}{12}$ d'unité de volume.\index{volume de tétraèdre}

On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule :

\begin{center}$V = \dfrac13 \times \text{aire d'une base} \times  \text{hauteur correspondante}$.\end{center}
\item Déterminer les coordonnées du point I.
\item Montrer que le vecteur $\vect{\text{DJ}}$ un vecteur normal au plan (BIG).\index{vecteur normal}
\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan (BIG) est $2x - y + z - 2 = 0$.\index{equation de plan@équation de plan}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, orthogonale à (BIG) et passant par F.\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}
\item
	\begin{enumerate}
		\item La droite $d$ coupe le plan (BIG) au point L.
		
Montrer que les coordonnées du point L sont $\left(\dfrac23~;~\dfrac16~;~\dfrac56\right)$.
		\item Calculer la longueur FL.
		\item Déduire des questions précédentes l'aire du triangle IGB.\index{aire de triangle}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = \ln \left(\e^{2x}  - \e^x  + 1\right).\]\index{fonction exponentielle}

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative représentée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1.35cm,arrowsize=2pt 3,comma=true}
\begin{pspicture*}(-3.6,-2)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.5,-1.95)(3,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2]
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{2}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp sub 1 add ln} \uput[dr](1.4,2.5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Un élève formule les conjectures suivantes à partir de cette représentation graphique :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{1.~~}L'équation $f(x) = 2$ semble admettre au moins une solution.\\
\textbf{2.~~}Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ semble être croissante est $[- 0,5~;~+\infty[$.\\
\textbf{3.~~}L'équation de la tangente au point d'abscisse $x = 0$ semble être: $y = 1,5x$.\\ \hline
\end{tabularx}\index{lecture graphique}

\medskip

Le but de cet exercice est de valider ou rejeter les conjectures concernant la fonction $f$.

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

On définit sur $\R$ la fonction $g$ définie par 
\[g(x) = \e^{2x} - \e^x + 1.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x)$.\index{limite de fonction}
\item Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.
\item Montrer que $g'(x) = \e^x\left(2\e^x - 1\right)$ pour tout $x \in  \R$.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$.

Dresser le tableau des variations de la fonction $g$ en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s'il y en a, ainsi que les limites de $g$ en $-\infty$ et $+ \infty$.
\item En déduire le signe de $g$ sur $\R$.
\item Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat
de la question 5 en posant $X = \e^x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.
\item La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f'$.

Justifier que $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$ pour tout $x \in \R$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$.
\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[-\ln (2)~;~ +\infty[$.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-\ln (2)~;~ +\infty[$ et déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

À l'aide des résultats de la partie B, indiquer, pour chaque conjecture de l'élève, si elle est vraie ou fausse. Justifier.

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Marie Sklodowska-Curie ($1867-1934$) est une physicienne (mais aussi chimiste et mathématicienne), polonaise naturalisée française.\\
Deux Prix Nobel lui ont été décernés: un en Physique (partagé avec son mari et Henri Becquerel) en $1903$ et un en Chimie en $1911$ pour la découverte de deux nouveaux éléments, le polonium (nom donné en hommage à ses origines) et le radium}.

\medskip

On décide d'étudier le rayonnement radioactif du polonium lors de la désintégration des noyaux atomiques au cours du temps.

Au début de l'expérience, on dispose d'un morceau de $2$~g de polonium.

On sait que $1$~g de polonium contient $3 \times 10^{21}$ noyaux atomiques.

On admet que, au bout de 24 heures, $0,5\,\%$ des noyaux se sont désintégrés et que, pour compenser cette disparition, on ajoute alors $0,005$ g de polonium.

On modélise la situation à l'aide d'une suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ ; on note $v_0$ le nombre de noyaux contenus dans le polonium au début de l'expérience. 

Pour $n \geqslant 1,\: v_n$ désigne le nombre de noyaux contenus dans le polonium au bout de $n$ jours écoulés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $v_0 = 6\times 10^{21}$.
		\item Expliquer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a 
		\[v_{n+1} = 0,995v_n + 1,5 \times  10^{19}.\]
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, par récurrence sur $n$, que $0 \leqslant v_{n+1}  \leqslant v_n$.
		\item En déduire que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est convergente.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie, pour tout entier naturel $n$, par: \[u_n = v_n - 3 \times 10^{21}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est géométrique de raison $0,995$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: v_n = 3 \times 10^{21}\left(0,995^n + 1\right)$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item Déterminer, par le calcul, au bout de combien de jours le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à $4,5 \times 10^{21}$. Justifier la réponse.
\item On souhaite disposer de la liste des termes de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$. 

Pour cela, on utilise une fonction appelée noyaux programmée en langage Python et retranscrite partiellement ci-après.

\begin{center}
\begin{tabular}{l |l|}\cline{2-2}
1 &def noyaux (n) :\\
2 &\qquad V =6*10**21\\
3&\qquad L=[V]\\
4&\qquad for k in range (n):\\
5&\qquad \qquad V= ...\\
6&\qquad \qquad L.append(V)\\
7&\qquad return L\\ \cline{2-2}
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item À la lecture des questions précédentes, proposer deux solutions différentes pour compléter la ligne 5 de la fonction noyaux afin qu'elle réponde au problème.
		\item Pour quelle valeur de l'entier n la commande noyaux(n) renverra-t-elle les relevés quotidiens du nombre de noyaux contenus dans l'échantillon de polonium pendant 52 semaines d'étude ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

On considère L une liste de nombres constituée de termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme 7 et de raison 3, le dernier nombre de la liste est \np{2023} soit: 

\begin{center}L = [7, 10, \ldots , \np{2023}].\end{center}

\textbf{Question 1 :} Le nombre de termes de cette liste est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A &Réponse B & Réponse C&Réponse D\\ 
\np{2023}& 673& 672&\np{2016}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\textbf{Question 2 :} On choisit au hasard un nombre dans cette liste. La probabilité de tirer un nombre pair est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A &Réponse B& Réponse C&Réponse D\\
$\dfrac12$&$\dfrac{34}{673}$&$\dfrac{336}{673}$&$\dfrac{337}{673}$\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

On rappelle qu'on choisit au hasard un nombre dans cette liste. 

On s'intéresse aux évènements suivants :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Évènement $A$ : \og obtenir un multiple de 4 \fg
\item[$\bullet~~$]Évènement $B$ : \og obtenir un nombre dont le chiffre des unités est 6 \fg
\end{itemize}

Pour répondre aux questions suivantes on pourra utiliser l'arbre pondéré ci-dessous et on donne
$p(A \cap B) = \dfrac{34}{673}$.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}\taput{\small$\dfrac{168}{673}$}}
{\TR{$B$~~}\taput{}
\TR{$\overline{B}$}\tbput{}
}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~~}\tbput{}}
{\TR{$B$~~}\taput{\small $\dfrac{33}{505}$}
\TR{$\overline{B}$}\tbput{}
}
}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3 :}

La probabilité d'obtenir un multiple de 4 ayant 6 comme chiffre des unités est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A &Réponse B& Réponse C&Réponse D\\
$\dfrac{168}{673} \times \dfrac{34}{673}$&$\dfrac{34}{673}$&$\dfrac{17}{84}$&$\dfrac{168}{34}$\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4 :} $P_B(A)$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A &Réponse B& Réponse C&Réponse D\\
$\dfrac{36}{168}$&$\dfrac12$&$\dfrac{33}{168}$&$\dfrac{34}{67}$\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5:} On choisit, au hasard, successivement, $10$ éléments de cette liste. 

Un élément peut être choisi plusieurs fois. La probabilité qu'aucun de ces $10$ nombres ne soit un multiple de 4 est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A &Réponse B& Réponse C&Réponse D\\
$\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}$&$1 - \left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}$&$\left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}$&
$1 - \left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}$\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%%%%%%%%  fin Asie 24 mars 2023 J2
\newpage
%%%%%%%%%  Amérique du Nord J1 27 mars 2023
\hypertarget{AmeriqueNord1}{}
\label{AmeriqueNord1}

\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{27 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Nord 27 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Dans un souci d'améliorer sa politique en matière de développement durable, une entreprise a réalisé une enquête statistique sur sa production de déchets.

Dans cette enquête, les déchets sont classés en trois catégories :

\begin{itemize}
\item $69\,\%$ des déchets sont minéraux et non dangereux;
\item $28\,\%$ des déchets sont non minéraux et non dangereux;
\item les déchets restants sont des déchets dangereux.
\end{itemize}

Cette enquête statistique nous apprend également que :

\begin{itemize}
\item $73\,\%$ des déchets minéraux et non dangereux sont recyclables ;
\item $49\,\%$ des déchets non minéraux et non dangereux sont recyclables ;
\item $35\,\%$ des déchets dangereux sont recyclables.
\end{itemize}

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette entreprise, on prélève au hasard un déchet. On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $M$ : \og Le déchet prélevé est minéral et non dangereux \fg{} ;
\item $N$ : \og Le déchet prélevé est non minéral et non dangereux \fg{};
\item $D$ : \og Le déchet prélevé est dangereux \fg{};
\item $R$ : \og Le déchet prélevé est recyclable \fg.
\end{itemize}

On note $\overline{R}$ l'évènement contraire de l'évènement $R$.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation de l'énoncé.
\end{enumerate}

%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
\begin{center}
	% Racine à Gauche, développement vers la droite
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		% Styles (MODIFIABLES)
		\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
		\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
		\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
		\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
		% Dimensions (MODIFIABLES)
		\def\DistanceInterNiveaux{3}
		\def\DistanceInterFeuilles{1}
		% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
		\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
		\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
		\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
		\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
		% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
		\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(2.5)*\InterFeuilles}) {};
		\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$M$};
		\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$R$};
		\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{R}$};
		\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$N$};
		\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$R$};
		\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{R}$};
		\node[noeud] (Rc) at ({\NiveauB},{(4.5)*\InterFeuilles}) {$D$};
		\node[feuille] (Rca) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$R$};
		\node[feuille] (Rcb) at ({\NiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$\overline{R}$};
		% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
		\draw[fleche] (R.east)--(Ra.west) node[etiquette] {$\dots$};
		\draw[fleche] (Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette] {$\dots$};
		\draw[fleche] (Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette] {$\dots$};
		\draw[fleche] (R.east)--(Rb.west) node[etiquette] {$\dots$};
		\draw[fleche] (Rb.east)--(Rba.west) node[etiquette] {$\dots$};
		\draw[fleche] (Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette] {$\dots$};
		\draw[fleche] (R.east)--(Rc.west) node[etiquette] {$\dots$};
		\draw[fleche] (Rc.east)--(Rca.west) node[etiquette] {$\dots$};
		\draw[fleche] (Rc.east)--(Rcb.west) node[etiquette] {$\dots$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}
%:Fin

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Justifier que la probabilité que le déchet soit dangereux et recyclable est égale à \np{0,0105}.
\item Déterminer la probabilité $P\left(M \cap \overline{R}\right)$ et interpréter la réponse obtenue dans le contexte de l'exercice.
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $P(R)=\np{0,6514}$.
\item On suppose que le déchet prélevé est recyclable. Déterminer la probabilité que ce déchet soit non minéral et non dangereux. \emph{On donnera la valeur arrondie au dix-millième.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On rappelle que la probabilité qu'un déchet prélevé au hasard soit recyclable est égale à \np{0,6514}.

\begin{enumerate}
\item Afin de contrôler la qualité de la collecte dans l'entreprise, on prélève un échantillon de 20 déchets pris au hasard dans la production. On suppose que le stock est suffisamment important pour assimiler le prélèvement de cet échantillon à un tirage avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de déchets recyclables dans cet échantillon.

	\begin{enumerate}
		\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

		\item Donner la probabilité que l'échantillon contienne exactement 14 déchets recyclables. \emph{On donnera la valeur arrondie au dix-millième.}
	\end{enumerate}

\item Dans cette question, on prélève désormais $n$ déchets, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

	\begin{enumerate}
		\item Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ qu'aucun déchet de cet échantillon ne soit recyclable.
		\item Déterminer la valeur de l'entier naturel $n$ à partir de laquelle la probabilité qu'au moins un déchet du prélèvement soit recyclable est supérieure ou égale à \np{0,9999}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x)=\mathrm{e}^{3 x}-(2 x+1) \mathrm{e}^{x}\]

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

\medskip

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

On définit la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ par :

\[g(x)=3 \mathrm{e}^{2 x}- 2 x - 3\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-\infty$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et on note $g'$ sa fonction dérivée. Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a $g'(x)=6 \mathrm{e}^{2 x}-2$.
		\item Étudier le signe de la fonction dérivée $g'$ sur $\mathbb{R}$.
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$. Vérifier que la fonction $g$ admet un minimum égal à $\ln (3) - 2$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $x=0$ est solution de l'équation $g(x) = 0$.
		\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une deuxième solution, non nulle, notée $\alpha$, dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\item Déduire des questions précédentes le signe de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Étude de la fonction \boldmath$f$\unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a $f'(x)=\mathrm{e}^{x} g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la \textbf{partie A}.
\item En déduire alors le signe de la fonction dérivée $f'$ puis les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
\item Pourquoi la fonction $f$ n'est-elle pas convexe sur $\mathbb{R}$ ? Expliquer.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
Les cinq questions sont indépendantes.}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

\smallskip

On considère les points A$(-1~;~2~;~5)$,\quad B$(3~;~6~;~3)$,\quad C$(3~;~0~;~9)$\quad et \quad D$(8~;~-3~;~-8)$.

On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.

\begin{enumerate}
\item ABC est un triangle :

\begin{tabularx}{\linewidth}
{@{}>{\bfseries}p{5mm}@{}X >{\bfseries}p{5mm}@{}X}
a.& isocèle rectangle en A&
b.& isocèle rectangle en B\\
c.& isocèle rectangle en C&
d.& équilatéral\\
\end{tabularx}

\item Une équation cartésienne du plan (BCD) est :

\begin{tabularx}{\linewidth}
{@{}>{\bfseries}p{5mm}@{}X >{\bfseries}p{5mm}@{}X}
a.& $2 x+y+z-15=0$&
b.& $9 x-5 y+3=0$\\
c.& $4 x+y+z-21=0$&
d.& $11 x+5 z-73=0$\\
\end{tabularx}

\item On admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $x- 2y - 2z + 15 = 0$.

On appelle H le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

On peut affirmer que :

\begin{tabularx}{\linewidth}
{@{}>{\bfseries}p{5mm}@{}X >{\bfseries}p{5mm}@{}X}
a.& H$(-2~;~17~;~12)$&
b.& H$(3~;~7~;~2)$\\
c.& H$(3~;~2~;~7)$&
d.& H$(-15~;~1~;~-1)$\\
\end{tabularx}

\item Soit la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l}x=\phantom{-}5+t \\ y=\phantom{-}3-t \\ z =-1 + 3t\end{array}\right.$, avec $t$ réel.

Les droites (BC) et $\Delta$ sont :

\begin{tabularx}{\linewidth}
{@{}>{\bfseries}p{5mm}@{}X >{\bfseries}p{5mm}@{}X}
a.& confondues&
b.& strictement parallèles\\
c.& sécantes&
d.& non coplanaires\\
\end{tabularx}

\item On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y + 2z - 6 = 0$.

On admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $x-2 y-2 z+15=0$.

On peut affirmer que :

\begin{tabularx}{\linewidth}
{@{}>{\bfseries}p{5mm}@{}X }
a.& les plans $\mathcal{P}$ et (ABC) sont strictement parallèles\\
b.& les plans $\mathcal{P}$ et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (AB)\\
c.& les plans $\mathcal{P}$ et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (AC)\\
d.& les plans $\mathcal{P}$ et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (BC)\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=5$ et pour tout entier naturel $n$,

\[	u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+\frac{11}{u_{n}}\right)\]

On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est bien définie.

\medskip

\textbf{Partie A - Étude de la suite \boldmath$ \left(u_{n}\right)$}\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner $u_{1}$ et $u_{2}$ sous forme de fractions irréductibles.
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty [$ par :

\[f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{11}{x}\right)\]

Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[\sqrt{11}~;~+\infty\right[$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $: u_{n} \geqslant u_{n+1} \geqslant \sqrt{11}$.
\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers une limite réelle. On note $a$ cette limite.
\item Après avoir déterminé et résolu une équation dont $a$ est solution, préciser la valeur exacte de $a$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Application géométrique}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on considère un rectangle $R_{n}$ d'aire 11 dont la largeur est notée $\ell_{n}$ et longueur $L_{n}$

La suite $\left(L_{n}\right)$ est définie par $L_{0}=5$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[L_{n+1}=\frac{L_{n}+\ell_{n}}{2} \]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi $\ell_{0}=2,2$.
		\item Établir que pour tout entier naturel $n$,

\[\ell_{n}=\frac{11}{L_{n}}.\]
	\end{enumerate}
\item Vérifier que la suite $\left(L_{n}\right)$ correspond à la suite $\left(u_{n}\right)$ de la \textbf{partie A}.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $\ell_{n} \leqslant \sqrt{11} \leqslant L_{n}$.
\item On admet que les suites $\left(L_{n}\right)$ et $\left(\ell_{n}\right)$ convergent toutes les deux vers $\sqrt{11}$. Interpréter géométriquement ce résultat dans le contexte de la \textbf{partie B}.
\item Voici un script, écrit en langage Python, relatif aux suites étudiées dans cette partie :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\bfseries \ttfamily}l >{\ttfamily}l|} \hline
1 & def heron(n): \\
2 & \quad $L$=5 \\
3 & \quad $\ell$=2.2 \\
4 & \quad for i in range(n): \\
5 & \qquad $L$ = ($L$+$\ell$) / 2 \\
6 & \qquad $\ell$ = 11 / $L$ \\
7 & \quad return round($\ell$,6), round($L$,6)\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On rappelle que la fonction Python \texttt{round(x,k)} renvoie une version arrondie du nombre \texttt{x} avec \texttt{k} décimales.

	\begin{enumerate}
		\item Si l'utilisateur tape \texttt{heron(3)} dans une console d'exécution Python, qu'obtient-il comme valeurs de sortie pour $\ell$ et $L$ ?
		\item Donner une interprétation de ces deux valeurs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%  fin Amérique du Nord J1 27 mars 2023
\newpage
%%%%%%%%%  La Réunion J1 28 mars 2023
\hypertarget{Reunion1}{}
\label{Reunion1}

\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{28 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat LA RÉUNION 28 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise appelle des personnes par téléphone pour leur vendre un produit. 

\begin{itemize}
\item L'entreprise appelle chaque personne une première fois:
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à 0,6 ;
\item[$\bullet~~$]si la personne décroche, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à 0,3.
\end{itemize}
\item Si la personne n'a pas décroché au premier appel, on procède à un second appel: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à $0,3$ ;
\item[$\bullet~~$]si la personne décroche, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à 0,2.
\end{itemize}
\item Si une personne ne décroche pas au second appel, on cesse de la contacter.
\end{itemize}

\medskip

On choisit une personne au hasard et on considère les évènements suivants : 

\begin{description}
\item[ ] $D_1$ : \og la personne décroche au premier appel\fg{} ;
\item[ ] $D_2$ : \og la personne décroche au deuxième appel\fg{} ;
\item[ ] $A$ : \og la personne achète le produit \fg.
\end{description}

\begin{center}\emph{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante}\end{center}

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre.
\item En utilisant l'arbre pondéré, montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est 

$P(A) = 0,204$.
\item On sait que la personne a acheté le produit.

Quelle est la probabilité qu'elle ait décroché au premier appel ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D_1$~}\taput{\ldots}}
	{\TR{$A$}\taput{0,3}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{D_1}$~}\tbput{0,6}}
	{\pstree{\TR{$D_{2}$}\taput{\ldots}}
		{\TR{$A$}\taput{\ldots}
		\TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}
		}
	\TR{$\overline{D_{2}}$}\tbput{\ldots}
		}
}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On rappelle que, pour une personne donnée, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à $0,204$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère un échantillon aléatoire de $30$ personnes.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l'échantillon qui achètent le produit.
	\begin{enumerate}
		\item On admet que X suit une loi binomiale. Donner, sans justifier, ses paramètres. 
		\item Déterminer la probabilité qu'exactement 6 personnes de l'échantillon achètent
le produit. Arrondir le résultat au millième.
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}
Interpréter le résultat.
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.

On considère désormais un échantillon de $n$ personnes. 

Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité qu'au moins l'une des personnes de l'échantillon achète le produit soit supérieure ou égale à $0,99$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par:
\begin{center}\boldmath $f(x) = 3x + 1 - 2x \ln (x)$.\unboldmath\end{center}

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0~;~+\infty[$. 

On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0 et en $+\infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $f'(x) = 1- 2\ln (x)$.
		\item Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
		
On fera figurer dans ce tableau les limites ainsi que la valeur exacte de l'extremum.
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $]0~;~+\infty[$. On notera $\alpha$ cette solution.
		\item En déduire le signe de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}	
\item On considère une primitive quelconque de la fonction $f$ sur
l'intervalle $]0~;~+\infty[$. On la note $F$.

Peut-on affirmer que la fonction $F$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[\e^{\frac12}~;~+ \infty\right[$ ? Justifier.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
		
Quelle est la position de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à ses tangentes ?
		\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.
		\item Déduire des questions 5. a et 5 .b que pour tout réel $x$ strictement positif:

\[\ln (x) \geqslant  1 - \dfrac 1x.\].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n+1} = \dfrac12u_n + \dfrac12n + 1.\]

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Cette partie est un questionnaire à choix multiples.\\ Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\Aucune justification n'est demandée.\\Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La valeur de $u_2$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{11}{4}$& \textbf{b.~~} $\dfrac{13}{2}$\\
\textbf{c.~~} 3,5&\textbf{b.~~}2,7
\end{tabularx}
\end{center}

\item La suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} arithmétique de raison $\dfrac12$&\textbf{b.~~} géométrique de raison $\dfrac12$\\
\textbf{c.~~}  constante. &\textbf{d.~~}  ni arithmétique, ni géométrique.
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python.

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
$n$ désigne un entier naturel non nul. 

On rappelle qu'en langage Python
\og i in range (n)\fg{} signifie que i varie de 0 à $n-1$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{tabular}{|c|l|}\hline
1&def terme (n)\\
2&\qquad U=3\\
3&\qquad for i in range(n): \\
4& \dotfill \\
5&\qquad return U\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}

Pour que terme (n) renvoie la valeur de $u_n$, on peut compléter la ligne 4 par : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}U = U/2 + (i$+$1)/2+1	&\textbf{b.~~} U = U/2 + n/2 + 1\\
\textbf{c.~~}U = U/2 + (i$-$1)/2+1 	&\textbf{d.~~} U = U/2 + i/2 + 1
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
\[n \leqslant u_n \leqslant n + 3.\]

\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{n}\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous tel que AB $= 1$.

On note M le centre de la face BCGF et N le centre de la face EFGH.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.6)
\psframe(0.3,0.3)(4,4)%HGFE
\psline(4,0.3)(5.7,1.4)(5.7,5.1)(4,4)%GCBF
\psline(5.7,5.1)(2,5.1)(0.3,4)%BAE
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(2,1.4)(2,5.1)%HDA
\psline[linestyle=dashed](2,1.4)(5.7,1.4)%DC
\uput[u](2,5.1){A} \uput[u](5.7,5.1){B} \uput[r](5.7,1.4){C} \uput[dr](2,1.4){D}
\uput[l](0.3,4){E} \uput[u](4,4){F} \uput[dr](4,0.3){G} \uput[dl](0.3,0.3){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{D}~;~ \vect{\text{DH}},~\vect{\text{DC}},~\vect{\text{DA}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner sans justifier les coordonnées des points F et C.
\item Calculer les coordonnées des points M et N.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{\text{AG}}$ est normal au plan (HFC).
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (HFC).
	\end{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG).
\item Démontrer que le point R de coordonnées $\left(\dfrac23~;~\dfrac23;~\dfrac13\right)$ est le projeté orthogonal du point G sur le plan (HFC).
\item On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (FG) est:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1\\
y&=&1\\ 
z&=&t
\end{array}\right.\:\:(t \in \R).\]

Démontrer qu'il existe un unique point K sur la droite (FG) tel que le triangle KMN soit rectangle en K.
\item Quelle fraction du volume du cube ABCDEFGH le volume du tétraèdre FNKM représente-t-il ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%  fin La Réunion J1 28 mars 2023
\newpage
%%%%%%%%%  Amérique du Nord J2 28 mars 2023
\hypertarget{AmeriqueNord2}{}
\label{AmeriqueNord2}

\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{28 mars 2023}}

\thispagestyle{empty}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Nord 28 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{\large Partie A}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-7.1,-8)(3.1,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-7,-7.95)(3,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7}{3}{x dup mul 3 x mul sub 1 add 2.71828 x exp mul}
\end{pspicture*}
%\includegraphics[max width=\textwidth]{2023_03_29_f608f13ad2bd4a2a2c83g-1}
\end{center}

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. On utilisera des valeurs approchées si besoin.
\item Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble être convexe.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Partie B}

\medskip

On admet que la fonction $f$ de la partie $\mathbf{A}$ est définie sur $\mathbb{R}$ par 
\[f(x)=\left(x^{2}- 5 x + 6\right) \mathrm{e}^{x}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right) \mathrm{e}^{x}$.
\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
\end{enumerate}

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. On admet que, pour tout réel $x$, on a $f''(x) = (x + 1)(x - 2) \mathrm{e}^{x}$.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
		\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-1~;~2]$, on a $f(x) \leqslant x + 6$.	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On étudie un groupe de \np{3000} sportifs qui pratiquent soit l'athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.

En 2023, le club A compte \np{1700} membres et le club B en compte \np{1300}.

\smallskip

On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$, où $n$ désigne le rang de l'année à partir de 2023.

L'année 2023 correspond au rang 0. On a alors $a_{0}= \np{1700}$ et $b_{0} = \np{1300}$.

Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :
\begin{itemize}
\item durant l'étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;
\item chaque année, $15\,\%$ des sportifs du club A quittent ce club et adhèrent au club B ;
\item chaque année, $10\,\%$ des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club $A$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.
\item Pour tout entier naturel $n$, déterminer une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$.
\item Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)$ vérifie la relation suivante pour tout entier naturel $n$, on a : 
\[a_{n+1}= 0,75 a_{n} + 300.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a :
\[1200 \leqslant a_{n+1} \leqslant a_{n} \leqslant \np{1700}.\]
		\item En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ converge.
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=a_{n}- \np{1200}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n, a_{n}= 500 \times 0,75^{n}+ \np{1200}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
		\item Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le programme Python ci-dessous afin qu'il renvoie la plus petite valeur de n à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à \np{1280}.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{tabular}{l l}
\textbf{def}&seuil() :\\
&n = 0\\&A = \np{1700}\\
&\textbf{while ...} :\\
&\qquad n=n+1\\
&\qquad A = \ldots\\
&\textbf{return}\ldots\\
\end{tabular}
%\includegraphics[max width=\textwidth]{2023_03_29_f608f13ad2bd4a2a2c83g-2}
\end{center}
		\item Déterminer la valeur renvoyée lorsqu'on appelle la fonction seuil.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé d'unité $1 \mathrm{~cm}$, on considère les points

\begin{center}$\mathrm{D}(3~;~1~;~5)$, \qquad 
$\mathrm{E}(3~;~-2~;~-1)$, \qquad 
$\mathrm{F}(-1~;~2~;~1)$, \qquad 
$\mathrm{G}(3~;~2~;~-3)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{EF}}$ et $\overrightarrow{\text{FG}}$.
		\item Justifier que les points $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ et $\mathrm{G}$ ne sont pas alignés.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FG).
		\item On appelle $\mathrm{H}$ le point de coordonnées $(2~;~2~;~-2)$.

Vérifier que $\mathrm{H}$ est le projeté orthogonal de E sur la droite (FG) .
		\item Montrer que l'aire du triangle EFG est égale à $12\mathrm{~cm}^{2}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (EFG).
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (EFG) .
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $\mathrm{D}$ et orthogonale au plan (EFG) .
		\item On note K le projeté orthogonal du point D sur le plan (EFG).

À l'aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point $\mathrm{K}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la distance $D K$ est égale à $5 \mathrm{~cm}$.
		\item En déduire le volume du tétraèdre DEFG.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. \\Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\Les cinq questions sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ par 
\[f(x)= 0,05 - \dfrac{\ln x}{x - 1}.\]

La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $+\infty$&\textbf{b.~~}0,05&\textbf{c.~~}$-\infty$&\textbf{d.~~}0
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère une fonction $h$ continue sur l'intervalle $[-2 ; 4]$ telle que :

\[h(-1)=0, \qquad h(1) = 4, \qquad h(3) = -1.\]

On peut affirmer que :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
\textbf{a.~~} la fonction $h$ est croissante sur l'intervalle $[-1~;~1]$.\\
\textbf{b.~~} la fonction $h$ est positive sur l'intervalle $[-1~;~1]$.\\
\textbf{c.~~} il existe au moins un nombre réel $a$ dans l'intervalle $[1~;~3]$ tel que $h(a) = 1$.\\
\textbf{d.~~} l'équation $h(x)=1$ admet exactement deux solutions dans l'intervalle 

$[-2~;~4]$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs telles que 

$\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty$ et $\left(v_{n}\right)$ converge vers 0 .

On peut affirmer que :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}la suite $\left(\frac{1}{v_{n}}\right)$ converge.&
\textbf{b.~~} la suite $\left(\frac{v_{n}}{u_{n}}\right)$ converge.\\
\textbf{c.~~} la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.&
\textbf{d.~~} $\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(-u_{n}\right)^{n}=-\infty$
\end{tabularx}
\end{center}

\item Pour participer à un jeu, un joueur doit payer $4$ \euro.

Il lance ensuite un dé équilibré à six faces :

\begin{itemize}
\item s'il obtient 1, il remporte $12$ \euro{};
\item s'il obtient un nombre pair, il remporte $3$\euro{};
\item sinon, il ne remporte rien.
\end{itemize}

En moyenne, le joueur :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}gagne $3,50$ \euro&\textbf{b.~~}perd $3$ \eurologo.\\
\textbf{c.~~}perd $1,50$ \euro&\textbf{d.~~}perd $0,50$ \euro.
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;~p)$.

On sait que $P(X = 0) = \dfrac{1}{125}$. On peut affirmer que :

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}$p = \dfrac{1}{5}$&\textbf{b.~~}$P(X = 1) =\dfrac{124}{125}$\\
\textbf{c.~~}$p = \dfrac{4}{5}$&\textbf{d.~~}$P(X= 1) =\dfrac{4}{5}$
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%  fin Amérique du Nord J2 28 mars 2023
\newpage
%%%%%%%%%  La Réunion J2 29 mars 2023
\hypertarget{Reunion2}{}

\label{Reunion2}

\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{29 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat LA RÉUNION 29 mars 2023~\decofourright\\[7pt] Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Un commerçant vend deux types de matelas: matelas RESSORTS et matelas MOUSSE. 

On suppose que chaque client achète un seul matelas.

On dispose des informations suivantes :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 20\,\% des clients achètent un matelas RESSORTS.

Parmi eux, 90\,\% sont satisfaits de leur achat.
\item[$\bullet~~$] 82\,\% des clients sont satisfaits de leur achat.
\end{itemize}

\emph{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On choisit au hasard un client et on note les évènements :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$R$ : \og le client achète un matelas RESSORTS \fg,
\item[$\bullet~~$]$S$ : \og le client est satisfait de son achat \fg.
\end{itemize}

On note $x = P_{\overline{R}}(S)$, où $P_{\overline{R}}(S)$ désigne la probabilité de $S$ sachant que $R$ n'est pas réalisé.

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre décrivant la situation.
\item Démontrer que $x = 0,8$.
\item On choisit un client satisfait de son achat.

Quelle est la probabilité qu'il ait acheté un matelas RESSORTS ?

On arrondira le résultat à $10^{-2}$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R$~~}\taput{\ldots}}
{\TR{$S$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{S}$}\tbput{\ldots}
}
\pstree{\TR{$\overline{R}$~~}\tbput{\ldots}}
{\TR{$S$}\taput{$x$}
\TR{$\overline{S}$}\tbput{\ldots}
}}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit 5 clients au hasard. 

On considère la variable aléatoire $X$ qui donne le
nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces 5 clients.
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
		\item Déterminer la probabilité qu'au plus trois clients soient satisfaits de leur achat.
		
On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.

On choisit à présent $n$ clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.
	\begin{enumerate}
		\item On note $p_n$ la probabilité que les $n$ clients soient tous satisfaits de leur achat.
		
Démontrer que $p_n = 0,82^n$.
		\item Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $p_n < 0,01$. 
		
Interpréter dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n +1} = \dfrac{6u_n + 2}{u_n +5}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
\[f(x) = \dfrac{6x + 2 }{x +5}.\]

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		
En déduire que pour tout réel $x > 2$, on a $f(x) > 2$.
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a $u_n > 2$.
	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a :
\[u_{n+1} - u_n = \dfrac{\left(2 - u_n\right)\left(u_n + 1\right)}{u_n +5}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel par:
\[v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 1}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_0$.
		\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac47$.
		\item Déterminer, en justifiant, la limite de $\left(v_n\right)$.
		
En déduire la limite de $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.53\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
		\item  On considère la fonction
Python seuil ci-contre, où A est un nombre réel strictement plus grand que 2.

Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande seuil (2.001) puis interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.43\linewidth}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textbf{def}&seuil (A) :\\
&n = 0\\
&u = 8\\
&\textbf{while} u $>$ A :\\
&\qquad u = (6*u + 2)/(u + 5)\\
&\qquad n = n + 1\\
&\textbf{return} n\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 5 points}

\medskip

On se place dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

On considère le point A(1~;~1~;~0) et le vecteur $\vect{u}\begin{pmatrix}0\\2\\- 1\end{pmatrix}$.

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation : $x + 4y + 2z + 1 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $(d)$ la droite passant par A et dirigée par le vecteur $\vect{u}$.

Déterminer une représentation paramétrique de $(d)$.
\item Justifier que la droite $(d)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants en un point B dont les coordonnées sont (1~;~-1~;~1).
\item On considère le point C$(1~;~-1~;~-1)$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le triangle ABC est isocèle en A.
		\item Soit H le milieu du segment [BC].
		
Calculer la longueur AH puis l'aire du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item Soit D le point de coordonnées $(0~;~-1~;~1)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite (BD) est une hauteur de la pyramide ABCD.
		\item Déduire des questions précédentes le volume de la pyramide ABCD.
	\end{enumerate}
	
\begin{center}On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par:
	\[V = \dfrac13 \mathcal{B} \times h,\]

où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\Aucune justification n'est demandée.\\Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte
ni n'enlève de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2x\e^x$.

Le nombre de solutions sur $\R$ de l'équation $f(x) = - \dfrac{73}{100}$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0 &\textbf{b.~~} 1 &\textbf{c.~~}2&\textbf{d.~~}une infinité.
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
\[g(x) = \dfrac{x+ 1}{\e^x}.\]

La limite de la fonction $g$ en $- \infty$ est égale à : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $-\infty$&\textbf{b.~~} $+\infty$ &\textbf{c.~~} 0&\textbf{d}elle n'existe pas.
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par:
\[h(x) = (4x - 16)\e^{2x}.\]

On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthogonal.

On peut affirmer que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $h$ est convexe sur $\R$.&\textbf{b.~~} $\mathcal{C}_h$ possède un point d'inflexion en $x = 3$.\\
\textbf{c.~~} $h$ est concave sur $\R$.&\textbf{d.~~} $\mathcal{C}_h$ possède un point d'inflexion 

en $x = 3,5$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la fonction $k$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :
\[k(x) = 3 \ln (x) - x.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $k$ dans un repère orthonormé.

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x = \text{e}$.

Une équation de $T$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $y = (3 - \text{e})x$&\textbf{b.~~} $y = \left(\dfrac{3 - \text{e}}{\text{e}}\right)x$\\
\textbf{c.~~} $y = \left(\dfrac{3}{\text{e} }- 1\right)x + 1$&\textbf{d.~~}$y = (\text{e} - 1)x + 1$
\end{tabularx}
\end{center}
\item On considère l'équation $[\ln (x)]^2 + 10 \ln (x) + 21 = 0$, avec $x \in ]0~;~+\infty[$.

Le nombre de solutions de cette équation est égal à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0&\textbf{b.~~} 1&\textbf{c.~~} 2&\textbf{d.~~} une infinité.
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%  fin La Réunion J2 29 mars 2023
\newpage
%%%%%%%%%  Nouvelle-Calédonie J1 28 août 2023
\hypertarget{NCaledo1}{}

\label{NCaledo1}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Jour 1}}
\rfoot{\small{28 août 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Nouvelle-Calédonie 28 août 2023 Jour 1~\decofourright\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ }}

\bigskip

Durée de l'épreuve : \textbf{4 heures}

\medskip

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé

\medskip

Le sujet propose 4 exercices

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 5 points\hfill}

\medskip

Une entreprise de location de bateaux de tourisme propose à ses clients deux types de bateaux : bateau à voile et bateau à moteur.

Par ailleurs, un client peut prendre l'option PILOTE. Dans ce cas, le bateau, qu'il soit à voile ou à moteur, est loué avec un pilote.\index{probabilités}

On sait que:
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 60\,\% des clients choisissent un bateau à voile;
parmi eux, 20\,\% prennent l'option PILOTE.
\item[$\bullet~$] 42\,\% des clients prennent l'option PILOTE.
\end{itemize}

On choisit au hasard un client et on considère les évènements :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]$V$: \og le client choisit un bateau à voile\fg{} ;
\item[$\bullet~$]$L$: \og le client prend l'option PILOTE ».
\end{itemize}

\begin{center}\emph{Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante}\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un arbre pondéré que l'on complètera au fur et à mesure.\index{arbre pondéré}
\item Calculer la probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu'il ne prenne pas l'option PILOTE.
\item Démontrer que la probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu'il prenne l'option PILOTE est égale à $0,30$.
\item En déduire $P_{\overline{V}}(L)$, probabilité de $L$ sachant que $V$ n'est pas réalisé.\index{probabilité conditionnelle}
\item Un client a pris l'option PILOTE.

Quelle est la probabilité qu'il ait choisi un bateau à voile ? Arrondir à $0,01$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
Lorsqu'un client ne prend pas l'option PILOTE, la probabilité que son bateau subisse une avarie est égale à $0,12$. Cette probabilité n'est que de $0,005$ si le client prend l'option PILOTE.

On considère un client. On note $A$ l'évènement: \og son bateau subit une avarie \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(L \cap A)$ et $P\left(\overline{L} \cap A\right)$.
\item L'entreprise loue \np{1000} bateaux.

À combien d'avaries peut-elle s'attendre ?\index{espérance}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
On rappelle que la probabilité qu'un client donné prenne l'option PILOTE est égale à 0,42.

On considère un échantillon aléatoire de $40$ clients. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients de l'échantillon prenant l'option PILOTE.\index{variable aléatoire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Donner sans justification ses paramètres.\index{loi binomiale}
\item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'au moins $1$5~clients prennent l'option PILOTE.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 5 points\hfill}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, par:\index{suite}
\[u_{n+1} = 5u_n - 4n - 3.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $u_1 = 12$.
		\item Déterminer $u_2$ en détaillant le calcul.
		\item À l'aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[u_n\geqslant n + 1.\]\index{démonstration par récurrence}
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: \[v_n = u_n - n - 1.\]
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.\index{suite géométrique}
		
Donner sa raison et son premier terme $v_0$.
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$ :
\[u_n = 2 \times 5^n + n + 1.\]
		\item En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
\begin{minipage}[t]{0.68\linewidth}
On considère la fonction ci-contre, écrite de manière incomplète en langage Python et destinée à renvoyer le plus petit entier naturel $n$
tel que $u_n \geqslant 10^7$.\index{Python}
\begin{enumerate}
		\item Recopier le programme et compléter les deux instructions manquantes.
		\item Quelle est la valeur renvoyée par cette fonction ?
	\end{enumerate}
\end{minipage}	
\hfill
\begin{minipage}[t]{0.27\linewidth}
\begin{tabular}[t]{|l|}\hline
def suite() :\\
\hspace{0.75cm} u = 3\\
\hspace{0.75cm} n = 0 \\
\hspace{0.75cm} while \ldots :\hspace*{0.5cm}\\
\hspace{1.25cm} \quad u = \ldots \\
\hspace{1.25cm} \quad n = n + 1\\
\hspace{0.75cm} return n\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 5 points\hfill}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. \\
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. \\
Aucune justification n'est demandée. \\
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte
ni n'enlève de point.}\index{QCM}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: $f(x) = (x + 1)\text{e}^x$.\index{fonction exponentielle}

Une primitive $F$ de $f$ sur $\R$ est définie par:
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~}$F(x) = 1+x\e^x$ &\textbf{b.~}$F(x) = (1+x)\e^x$\\
\textbf{c.~}$F(x) = (2 + x)\e^x$&\textbf{d.~}$F(x) = \left(\dfrac{x^2}{2}  + x\right)\e^x$.
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
Dans toute la suite de l'exercice, on se place dans l'espace muni d'un repère
orthonormé \Oijk

\begin{enumerate}[resume]
\item On considère les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ dont des représentations paramétriques sont respectivement:\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}
\begin{center}
$\left(d_1\right)\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2+r\\
y&=&1 + r\\
z&=&- r
\end{array}\right. \:(r \in \R)$\quad et 
$\left(d_2\right)\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\phantom{-}1 - s\\
y&=&-1 + s\\
z&=&\phantom{-}2 - s
\end{array}\right. \:(s \in \R)$\end{center}

Les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$  sont:
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~}sécantes.&\textbf{b.~}strictement parallèles.\\
\textbf{c.~}confondues.&\textbf{d.~}non coplanaires.
\end{tabularx}
\end{center}
\item 
On considère le plan $(P)$ dont une équation cartésienne est:
\[2x - y + z - 1 = 0.\]
On considère la droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est:
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2 + u\\
y&=&4 + u\\
z&=&1 - u
\end{array}\right. \:(u \in \R)\]
La droite $(\Delta)$  est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~}sécante et non orthogonale\newline \hspace*{0.3cm} au plan $(P)$.&b. incluse dans le plan $(P)$.\\
\textbf{c.~}strictement parallèle au plan $(P)$.&\textbf{d.~} orthogonale au plan $(P)$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère le plan $\left(P_1\right)$ dont une équation cartésienne est $x - 2y + z + 1 = 0$, ainsi que le plan $\left(P_2\right)$ dont une équation cartésienne est $2x + y + z - 6 = 0$.\index{equation de plan@équation de plan}

Les plans $\left(P_1\right)$ et $\left(P_2\right)$ sont:
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~}sécants et perpendiculaires.&\textbf{b.~} confondus.\\
\textbf{c.~} sécants et non perpendiculaires.& \textbf{d.~} strictement parallèles.
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère les points E(1~;~2~;~1), F(2~;~4~;~3) et G$(-2~;~ 2~;~5)$.

On peut affirmer que la mesure $\alpha$ de l'angle $\widehat{\text{FEG}}$ vérifie:\index{calcul d'angle}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{a.~~}$\alpha = 90\degres$&\textbf{b.~\phantom{-}}$\alpha > 90\degres$
 &\textbf{c.~~}$\alpha = 0\degres$&\textbf{d.~~}$\alpha \approx  71\degres$
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 5 points\hfill}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :
\[f(x) = 5x^2 + 2x - 2x^2\ln (x).\]\index{fonction logarithme népérien}

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan.

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $0$ est égale à $0$.\index{limite de fonction}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$.\index{dérivée}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$
\[f''(x) = 4(1 - \ln (x)).\]\index{dérivée seconde}
		\item En déduire le plus grand intervalle sur lequel la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes.\index{convexité}
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f'$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

(On admettra que $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x>0}} f'(x) = 2$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f'(x) = - \infty$.)
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f'(x) = 0$ admet dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ ainsi que le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant l'égalité $f'(\alpha) = 0$, démontrer que : 
		
\[\ln (\alpha) = \dfrac{4\alpha + 1}{2\alpha}.\]
 En déduire que $f(\alpha) = \alpha^2 + \alpha$.
		\item En déduire un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ du maximum de la fonction $f$.\index{maximum}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie J1 28 août 2023
\newpage
%%%%%%%%%%  Nouvelle-Calédonie J2 29 août 2023
\hypertarget{NCaledo2}{}

\label{NCaledo2}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité Jour 2}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{29 août 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Nouvelle-Calédonie 29 août 2023 Jour 2~\decofourright\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ }}

\bigskip

Durée de l'épreuve : \textbf{4 heures}

\medskip

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé

\medskip

Le sujet propose 4 exercices

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 5 points\hfill}

\medskip

\begin{minipage}{6.7cm}On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1 représenté ci-contre.

On note K le milieu du segment [HG].\index{géométrie}

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AB}}, \vect{\text{AE}}\right)$.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que les points C, F et K définissent un plan.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner, sans justifier, les longueurs KG, GF et GC.
		\item Calculer l'aire du triangle FGC.\index{aire de triangle}
		\item Calculer le volume du tétraèdre FGCK.\index{volume de tétraèdre}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{6.7cm}
\psset{unit=0.75cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2.8,-2.4)(5,5.3)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(0,0)(0,3)
\psline[linestyle=dashed](-1.3,-1.3)
\psline[linewidth=1.25pt](3,0)(5,0)
\psline[linewidth=1.25pt](0,3)(0,5.3)
\psline[linewidth=1.25pt](-1.3,-1.3)(-2.8,-2.8)
\psframe[linewidth=1.25pt](-1.3,-1.3)(1.7,1.7)
\psline[linewidth=1.25pt](1.7,-1.3)(3,0)(3,3)(1.7,1.7)
\psline[linewidth=1.25pt](3,3)(0,3)(-1.3,1.7)
\uput[ur](0,0){A} \uput[dr](3,0){B} \uput[dr](1.7,-1.3){C} \uput[dr](-1.3,-1.3){D}
\uput[ul](0,3){E} \uput[ur](3,3){F} \uput[ul](1.7,1.7){G} \uput[ul](-1.3,1.7){H}
\uput[ul](-2.8,-2.8){$x$} \uput[u](5,0){$y$} \uput[r](0,5.3){$z$}
\psdots(0,0)(3,0)(1.7,-1.3)(-1.3,-1.3)(0,3)(3,3)(1.7,1.7)(-1.3,1.7)(0.2,1.7)
\uput[u](0.2,1.7){K}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\smallskip
	
On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par:
\[V = \dfrac13\mathcal{B} \times h,\]
où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.

\begin{enumerate}[start=3]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$.
		
Démontrer que $\vect{n}$ est normal au plan (CFK).\index{vecteur normal}
		\item  En déduire qu'une équation cartésienne du plan (CFK) est:
\[x + 2y + z - 3 = 0.\]\index{equation de plan@équation de plan}
	\end{enumerate}
\item On note $\Delta$ la droite passant par le point G et orthogonale au plan (CFK). 

Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est:\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1 + t\\
y&=&1 + 2t\\
z&=&1 + t
\end{array}\right. \quad  (t \in \R))\]
\item Soit L le point d'intersection entre la droite $\Delta$ et le plan (CFK).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point L.
		\item En déduire que LG $= \dfrac{\sqrt 6}{6}$.
	\end{enumerate}
\item En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l'aire du triangle CFK.\index{aire de triangle}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 5 points\hfill}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par:
\[f(x) = x\e^{-x}.\]\index{fonction exponentielle}
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $[0~;~ +\infty[$.

On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En remarquant que pour tout $x$ dans $[0~;~ +\infty[$, on a 
\[f(x) = \dfrac{x}{\e^x}.\]
démontrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède une asymptote en $+ \infty$ dont on donnera une équation.\index{asymptote}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$ : 
\[f'(x) = (1 - x)\e^{-x}.\]\index{dérivée}
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~ +\infty[$ , sur lequel on fera figurer les valeurs aux bornes ainsi que la valeur exacte de l'extremum.\index{extremum}
\item Déterminer, sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, le nombre de solutions de l'équation 
\[f(x) = \dfrac{367}{\np{1000}}.\]
\item On admet que pour tout $x$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$ : 
\[f''(x) = \e^{-x}(x - 2).\]\index{dérivée seconde}

Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.\index{convexité}

\begin{minipage}{6cm}
\item Soit $a$ un réel appartenant à $[0~;~ +\infty[$ et A le
point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$.

On note $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ en A.

On note H$_a$ le point d'intersection de la droite $T_a$ et de l'axe des ordonnées.

On note $g(a)$ l'ordonnée de H$_a$.

La situation est représentée sur la figure ci-contre.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{7cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(6,0.5)
\psaxes[linewidth=1.15pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,0)(6,0.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{6}{x 2.71828 x exp div}
\uput[u](4,0.073){\red $\mathcal{C}_f$}
\psplotTangent{0.75}{1.25}{x 2.71828 x exp div}
\uput[u](0.75,0.354){A}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](0.75,0)(0.75,0.354)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.3,0)(-0.3,0.265)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](0,0.265)(-0.3,0.265)
\uput[l](-0.3,0.1325){$g(a)$}
\uput[ul](0,0.265){H$_a$}
\uput[d](0.75,0){$a$}\uput[u](2,0.4){$T_a$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'une équation réduite de la tangente $T_a$ est:
\[y = \left[(1- a)\e^{-a}\right]x + a^2\e^{-a}.\]\index{equation de la tangente@équation de la tangente}
		\item En déduire l'expression de $g(a)$.
		\item Démontrer que $g(a)$ est maximum lorsque A est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.\index{maximum}\index{point d'inflexion}
		
\emph{Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 5 points\hfill}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$ : 
\[u_{n+1} = \dfrac{-u_n - 4}{u_n + 3}.\]\index{suite}

On admet que $u_n$ est défini pour tout entier naturel $n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.
\item On considère la fonction \texttt{terme} ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python :\index{Python}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\texttt{def terme (n) :}\\
\hspace{0.75cm}\texttt{u = \ldots}\\
\hspace{0.75cm}\texttt{for i in range(n):}\\
\hspace{1.25cm}\texttt{u = \ldots}\\
\hspace{0.75cm}\texttt{return(u)}\\ \hline
\end{tabular}
\qquad 
\begin{tabular}{p{5cm}}
On rappelle qu'en langage Python, \og \texttt{i in range (n)} \fg{} signifie
que $i$ varie de $0$ à $n - 1$.
\end{tabular}
\end{center}

Recopier et compléter le cadre ci-dessus de sorte que, pour tout entier naturel $n$, l'instruction \texttt{terme (n)} renvoie la valeur de $u_n$.
\item Soit la fonction $f$ définie sur $]- 3~;~+\infty[$ par:
\[f(x) = \dfrac{- x - 4}{x+ 3}.\]

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]- 3~;~+\infty[$.\index{fonction croissante}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
\[- 2 < u_{n+1} \leqslant u_n.\]\index{démonstration par récurrence}
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.\index{suite convergente}
\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:
\[v_n = \dfrac{1}{u_n + 2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner $v_0$.
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison 1.\index{suite arithmétique}
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 1 :$
\[u_n = \dfrac{1}{n + 0,5}  - 2.\]
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.\index{limite de suite}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 5 points\hfill}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. \\
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. \\
Aucune justification n'est demandée. \\
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte
ni n'enlève de point.}\index{QCM}

\begin{center}
\textbf{L'énoncé ci-dessous est commun aux questions 1. et 2.}\end{center}

Les $200$ adhérents d'un club sont des filles ou des garçons. Ces adhérents pratiquent l'aviron ou le basket selon la répartition figurant dans le tableau ci-dessous.\index{probabilités}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Aviron} &\textbf{Basket}&\textbf{Total}\\ \hline
\textbf{Filles} &25& 80 &105\\ \hline
\textbf{Garçons}& 50 &45& 95\\ \hline
\textbf{Total}& 75& 125& 200\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On choisit un adhérent au hasard et on considère les évènements suivants:

\begin{description}
\item[ ] $F$ : l'adhérent est une fille ;
\item[ ] $A$ : l'adhérent pratique l'aviron.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité de $F$ sachant $A$ est égale à :\index{probabilité conditionnelle}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$\dfrac{25}{100}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{25}{75}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{25}{105}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{75}{105}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item La probabilité de l'évènement $A \cup  F$ est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$\dfrac{9}{10}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{1}{8}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{31}{40}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{5}{36}$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center} \textbf{L'énoncé ci-dessous est commun aux questions 3. et 4.}\end{center}

Pour se rendre à son travail, Albert peut utiliser au choix le bus ou le train.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,1)
\rput(-3,0){\rnode{A}{\psframebox{Maison}}}
\rput(3,0){\rnode{B}{\psframebox{Travail}}}
\rput(0,1){\rnode{C}{\psframebox{Bus}}}
\rput(0,-1){\rnode{D}{\psframebox{Train}}}
\ncarc[linewidth=2pt,arcangle=20]{->}{A}{C}\ncarc[linewidth=2pt,arcangle=-20]{->}{A}{D}
\ncarc[linewidth=2pt,arcangle=20]{->}{C}{B}\ncarc[linewidth=2pt,arcangle=-20]{->}{D}{B}
\end{pspicture}
\end{center}

La probabilité que le bus soit en panne est égale à $b$.

La probabilité que le train soit en panne est égale à $t$.

Les pannes de bus et de train surviennent de façon indépendante.

\item La probabilité $p_1$ que le bus ou le train soient en panne est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $p_1 = bt$ &\textbf{b.~~} $p_1 = 1 - bt$ &\textbf{c.~~} $p_1 = b + t$ &\textbf{d.~~} $p_1 = b + t - bt$
\end{tabularx}
\end{center}
\item La probabilité $p_2$ que Albert puisse se rendre à son travail est égale à : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$p_2 = bt$ &\textbf{b.~~} $p_2 = 1 - bt$ &\textbf{c.~~} $p_2 = b + t $&\textbf{d.~~} $p_2 = b + t - bt$
\end{tabularx}
\end{center}
\item On considère une pièce de monnaie pour laquelle la probabilité d'obtenir FACE est égale à $x$.

On lance la pièce $n$ fois. Les lancers sont indépendants.

La probabilité $p$ d'obtenir au moins une fois FACE sur les $n$ lancers est égale à 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$p = x^n$&\textbf{b.~~} $p = (1 - x)^n$& \textbf{c.~~}$p = 1 - x^n$& \textbf{d.~~}$p = 1 - (1 - x)^n$
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%  fin Nouvelle-Calédonie J2 29 août 2023
\newpage
%%%%%%%%%%  
\hypertarget{Polynesie3}{}

\label{Polynesie3}

\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Polynésie 7 septembre 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L'usage de la calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé.

\textbf{Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée.}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 4 points \hfill Thème: probabilités}\index{probabilités}

\medskip

Une concession automobile vend des véhicules à moteur électrique et des véhicules à moteur thermique.

Certains clients, avant de se rendre sur le site de la concession, ont consulté la plate- forme numérique de la concession. On a ainsi observé que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$~~]20\,\% des clients sont intéressés par les véhicules à moteur électrique et 80\,\% préfèrent s'orienter vers l'achat d'un véhicule à moteur thermique ;
\item[$\bullet$~~]lorsqu'un client souhaite acheter un véhicule à moteur électrique, la probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique est de $0,5$ ;
\item[$\bullet$~~]lorsqu'un client souhaite acheter un véhicule à moteur thermique, la probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique est de $0,375$.
\end{itemize}

On considère les évènements suivants:


\begin{itemize}
\item[$\bullet$~~]$C$ : \og un client a consulté la plate-forme numérique \fg{} ;
\item[$\bullet$~~]$E$ : \og un client souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique \fg{} ;
\item[$\bullet$~~]$T$ : \og un client souhaite acquérir un véhicule à moteur thermique \fg.
\end{itemize}

Les clients font des choix indépendants les uns des autres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'un client choisi au hasard souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique et ait consulté la plate-forme numérique.
		
On pourra utiliser un arbre pondéré.\index{arbre pondéré}
		\item Démontrer que $P(C) = 0,4$.
		\item On suppose qu'un client a consulté la plate-forme numérique.
		
Calculer la probabilité que le client souhaite acheter un véhicule à moteur
électrique.\index{probabilité conditionnelle}
	\end{enumerate}
\item La concession accueille quotidiennement $17$ clients en moyenne.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de clients souhaitant acquérir un véhicule à moteur électrique.\index{variable aléatoire}
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.\index{loi binomiale}
		\item Calculer la probabilité qu'au moins trois des clients souhaitent acheter un véhicule à moteur électrique lors d'une journée.
		
Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 6 points \hfill Thème: fonctions}

\medskip

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment}

\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = \left(x + \dfrac12\right)\e^{-x} + x.\]\index{fonction exponentielle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.\index{limite de fonction}
\item On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x \in \R$,

\[f''(x) = \left(x - \dfrac32\right) \e^{-x}.\]\index{dérivée seconde}

		\item En déduire les variations et le minimum de la fonction $f'$ sur $\R$.
		\item Justifier que pour tout $x \in \R,\: f'(x) > 0$.
		\item En déduire que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $\R$.\index{théorème des valeurs intermédiaires}
		\item Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ de cette solution.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip

On considère une fonction $h$, définie et dérivable sur $\R$, ayant une expression de la forme 

\begin{center}$h(x)= (ax + b)\e^{-x} + x$, \:où $a$ et $b$\: sont deux réels.\end{center}

Dans un repère orthonormé ci-après figurent:

\begin{itemize}
\item[$\bullet$~~]la courbe représentative $\mathcal{C}_h$ de la fonction $h$ ;
\item[$\bullet$~~]les points A et B de coordonnées respectives $(-2~;~-2,5)$ et (2~;~3,5).
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-5.9,-4.9)(5.9,5.9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-5.9,-4.9)(5.9,5.9)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-4}{4}{1.5 x mul 0.5 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-4}{4}{x 0.5 add 2.71828 x exp div x add}
\psdots(-2,-2.5)(2,3.5)
\uput[r](-2,-2.5){A}\uput[r](2,3.5){B}\uput[dr](3.8,4){\cyan $\mathcal{C}_h$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Conjecturer, avec la précision permise par le graphique, les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $h$.\index{lecture graphique}
\item Sachant que la fonction $h$ admet sur $\R$ une dérivée seconde d'expression

\[h''(x) = - \dfrac32 \e^{- x} + x\e^{- x}.\]

valider ou non la conjecture précédente.
\item Déterminer une équation de la droite (AB).
\item Sachant que la droite (AB) est tangente à la courbe représentative de la fonction
$h$ au point d'abscisse 0, en déduire les valeurs de $a$ et $b$.\index{equation de la tangente@équation de la tangente}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 5 points \hfill Thème: suites, algorithmique}\index{suite}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac34 x^2 - 2x + 3.\]

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
\item En déduire, que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left[\dfrac43~;~2\right]$,\: $f(x)$ appartient à l'intervalle $\left[\dfrac43~;~2\right]$.
\item Démontrer que pour tout $x$ réel, $x \leqslant f(x)$.

Pour cela, on pourra démontrer que pour tout réel $x$ :

\[f(x) - x = \dfrac34(x - 2)^2.\]

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par un réel $u_0$ et pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+1} = f\left(u_n\right).\]

On a donc, pour tout entier naturel $n$,

\[u_{n+1} = \dfrac34 u_n^2 - 2u_n + 3.\]

\item Étude du cas: $\dfrac43 \leqslant u_0 \leqslant  2$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
\[u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2.\]\index{démonstration par récurrence}

		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.\index{suite convergente}
		\item Prouver que la limite de la suite est égale à 2.
	\end{enumerate}
\item Étude du cas particulier : $u_0 = 3$.

On admet que dans ce cas la suite $\left(u_n\right)$ tend vers $+\infty$.

Recopier et compléter la fonction \og \texttt{seuil} \fg{} suivante écrite en Python, afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ soit supérieur ou égal à 100.\index{Python}

\begin{center}
\texttt{
\begin{tabular}{|l|}\hline
def seuil() :\\
\quad  u = 3\\
\quad  n = 0\\
\quad while \ldots\\
\quad\qquad  u = \ldots\\
\quad\qquad  n = \ldots\\
\quad return n\\ \hline
\end{tabular}}
\end{center}

\item Étude du cas : $u_0 > 2$.

À l'aide d'un raisonnement par l'absurde, montrer que $\left(u_n\right)$ n'est pas convergente.\index{raisonnement par l'absurde}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 5 points \hfill Thème: géométrie dans l'espace}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point \\ Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question traitée et la lettre de la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk{} dans lequel on considère :\index{géométrie}

\begin{itemize}
\item[$\bullet$~~] les points A$(6~;~-6~;~6)$,  B$(-6~;~0~;~6)$ et C$(-2~;~-2~;~11)$.
\item[$\bullet$~~] la droite $(d)$ orthogonale aux deux droites sécantes (AB) et (BC) et passant par le point A ;
\item[$\bullet$~~] la droite $\left(d'\right)$ de représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& -6 - 8t\\
y &=& \phantom{-6 -}4t,\\
z &=& \phantom{-}6 + 5t
\end{array}\right. \text{avec }\:t \in \R.\]
\end{itemize}\index{droite orthogonal}

\medskip

\textbf{Question 1}

Parmi les vecteurs suivants, lequel est un vecteur directeur de la droite $(d)$ ?\index{vecteur directeur}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\vect{u_1}\begin{pmatrix}-6\\3\\0\end{pmatrix}$&
\textbf{b.~} $\vect{u_2}\begin{pmatrix}1\\2\\6\end{pmatrix}$&
\textbf{c.~} $\vect{u_3}\begin{pmatrix}1\\2\\0,2\end{pmatrix}$&
\textbf{d.~} $\vect{u_4}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

Parmi les équations suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite (AB) ?\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~}$\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 2t + 6\\
y &=&-6\\
z&=&t+6
\end{array}\right. \:\text{avec }\: t \in \R$&
\textbf{b.~}$\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 2t - 6\\
y &=&- 6\\
z&=&- t - 6
\end{array}\right. \:\text{avec }\: t \in \R$\\
\textbf{c.~}$\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 2t + 6\\
y &=&-t -6\\
z&=&6
\end{array}\right. \:\text{avec }\: t \in \R$&
\textbf{d.~}$\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 2t + 6\\
y &=&t - 6\\
z&=&6
\end{array}\right. \:\text{avec }\: t \in \R$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3}

Un vecteur directeur de la droite $\left(d'\right)$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\vect{v_1}\begin{pmatrix}-6\\0\\6\end{pmatrix}$&
\textbf{b.~} $\vect{v_2}\begin{pmatrix}-14\\4\\11\end{pmatrix}$&
\textbf{c.~} $\vect{v_3}\begin{pmatrix}8\\-4\\-5\end{pmatrix}$&
\textbf{d.~} $\vect{v_4}\begin{pmatrix}8\\4\\5\end{pmatrix}$
\end{tabularx}
\end{center}\index{vecteur directeur}

\medskip

\textbf{Question 4}

Lequel des quatre points suivants appartient à la droite $\left(d'\right)$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~}M$_1(50~;~-28~;~-29)$&\textbf{b.~}M$_2(-14~;~-4~;~1)$\\
\textbf{c.~}M$_3(2~;~-4~;~-1)$& \textbf{d.~}M$_4 (-3~;~0~;~3)$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5}

Le plan d'équation $x = 1$ a pour vecteur normal:\index{vecteur normal}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\vect{n_1}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$&
\textbf{b.~} $\vect{n_2}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$&
\textbf{c.~} $\vect{n_3}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$&
\textbf{d.~} $\vect{n_4}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$
\end{tabularx}
\end{center}
%%%%%%%  finPolynésie 7 septembre 2023 J1  %%%%
\newpage
%%%%%%%%%%   Métropole J1 11 septembre 2023
\hypertarget{Metropole3}{}

\label{Metropole3}

\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Métropole, Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{11 septembre 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 11 septembre 2023~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\\index{QCM}
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) = x \e^{x^2 - 3}.\]\index{fonction exponentielle}

Une des primitives $F$ de la fonction $f$ sur $\R$ est définie par:\index{primitive}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~}$F(x) = 2x\e^{x^2 - 3}$&\textbf{b.~}$F(x) = \left(2x^2 + 1\right)\e^{x^2 - 3}$\\
\textbf{c.~}$F(x) = \dfrac12 x\e^{x^2 - 3}$&\textbf{d.~}$F(x) = \dfrac12 \e^{x^2 - 3}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: \[u_n = \e^{2n+1}.\]\index{suite}

La suite $\left(u_n\right)$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}arithmétique de raison 2 ; &\textbf{b.~~} géométrique de raison e;\\
\textbf{c.~~}géométrique de raison e$^2$ ; &\textbf{d.~~} convergente vers e. 
\end{tabularx}
\end{center}

Pour les questions \textbf{3.} et \textbf{4.}, on considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par:
\[u_0 = 15 \quad \text{et pour tout entier naturel }\: n \quad :\: u_{n+1} = 1,2u_n + 12.\]

\item La fonction Python suivante, dont la ligne 4 est incomplète, doit renvoyer la plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $u_n > \np{10000}$.\index{Python}

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\ttfamily}l|}\hline
def seuil() :\\
\qquad n=0\\
\qquad u=15\\
\qquad while \ldots \ldots:\\
\qquad \quad n=n+1\\
\qquad \quad u=1,2$*$u+12\\
\qquad return(n)\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

À la ligne 4, on complète par :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~}u$\leqslant \np{10000}$ ; &\textbf{b.~}u $=\np{10000}$ &\textbf{c.~} u$> \np{10000}$;&\textbf{d.~}$n\leqslant \np{10000}$.\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par : $v_n = u_n + 60$. 

La suite $\left(v_n\right)$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~} une suite décroissante ; &\textbf{b.~} une suite géométrique de raison 1,2 ;\\
\textbf{c.~} une suite arithmétique de raison $60$ ;&\textbf{d.~} une suite ni géométrique ni arithmétique.
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.\index{géométrie}

On considère les points 
\begin{center}A$(1~;~0~;~-1)$,\quad  B$(3~;~-1~;~2)$, \quad C$(2~;~-2~;~ -1)$ \quad et \quad D$(4~;~-1~;~-2)$.\end{center}

On note $\Delta$ la droite de représentation paramétrique \index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&\phantom{-}0\\
y &=&\phantom{-}2 + t\\
z &=& -1 + t
\end{array}\right.\:,\:\: \text{avec } t\in \R.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B et C définissent un plan que l'on notera 
$\mathcal{P}$.
		\item Montrer que la droite (CD) est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
		
Sur le plan $\mathcal{P}$, que représente le point C par rapport à D ?
		\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est: $2x + y - z - 3 = 0$.\index{equation de plan@équation de plan}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la distance CD.
		\item Existe-t-il un point M du plan $\mathcal{P}$ différent de C vérifiant MD $= \sqrt 6$ ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
		
Soit H le projeté orthogonal du point D sur la droite $\Delta$.
		\item Montrer que H est le point de $\Delta$ associé à la valeur $t = -2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ donnée ci-dessus.
		\item En déduire la distance du point D à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes.\\\index{probabilités}
Les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.}

Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif.

Dans une population, ce test donne les résultats suivants :
\begin{itemize}
\item Si un individu est allergique, le test est positif dans 97\,\% des cas;
\item Si un individu n'est pas allergique, le test est négatif dans 95,7\,\% des cas.
\end{itemize}

Par ailleurs, 20\,\% des individus de la population concernée présentent un test positif.

On choisit au hasard un individu dans la population, et on note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement \og l'individu est allergique \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $T$ l'évènement \og l'individu présente un test positif \fg.
\end{itemize}

On notera $\overline{A}$ et $\overline{T}$ les évènements contraires de $A$ et $T$.
On appelle par ailleurs $x$ la probabilité de l'évènement $A$ : $x = p(A)$.\index{probabilité conditionnelle}

\begin{minipage}{9cm}
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre ci-contre décrivant la situation,
en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.\index{arbre pondéré}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer l'égalité : $p(T) = 0,927x + 0,043$.
		\item En déduire la probabilité que l'individu choisi soit allergique.
	\end{enumerate}	
\item Justifier par un calcul l'affirmation suivante :

\og Si le test d'un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de 80\,\% de chances que cet individu soit allergique \fg.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{5.5cm}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{$x$}}
{\TR{$T$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{T}$}\tbput{\ldots}
}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~}\tbput{\ldots}}
{\TR{$T$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{T}$}\tbput{\ldots}
}
}
\end{center}
\end{minipage}

\textbf{Partie B}

\medskip

On réalise une enquête sur les allergies dans une ville en interrogeant $150$~habitants choisis au hasard, et on admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.

On sait que la probabilité qu'un habitant choisi au hasard dans cette ville soit allergique est égale à $0,08$.

On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $150$~habitants choisis au hasard associe le nombre de personnes allergiques dans cet échantillon.\index{variable aléatoie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ?\index{loi binomiale}

Préciser ses paramètres.
\item Déterminer la probabilité que $20$~personnes exactement parmi les $150$ interrogées soient allergiques.
\item Déterminer la probabilité qu'au moins 10\,\% des personnes parmi les $150$ interrogées soient allergiques.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

On définit sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ la fonction $g$ par : 
\[g(x) = \dfrac 2x - \dfrac{1}{x^2} + \ln x \quad \text{où ln désigne la fonction logarithme népérien}.\]

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[ = I$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.\index{fonction logarithme népérien}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour $x > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui du trinôme du second degré $\left(x^2 - 2x + 2\right)$.
\item En déduire que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$.\index{fonction croissante}
\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur l'intervalle [0,5~;~1], que l'on notera $\alpha$.\index{théorème des valeurs intermédiaires}
\item On donne le tableau de signes de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[ = I$ :
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,1)
\psline(0,0.5)(4,0.5)\psline(1,0)(1,1)\psline(1.1,0)(1.1,0.5)
\uput[u](0.5,0.4){$x$} \uput[u](1.2,0.4){$0$} \uput[u](2.5,0.4){$\alpha$} \uput[u](3.7,0.4){$+\infty$}
\uput[u](0.5,-0.1){$g(x)$}\uput[u](1.75,-0.1){$-$}\uput[u](2.5,-0.1){$0$}
\uput[u](3.25,-0.1){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}

Justifier ce tableau de signes à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[ = I$ par: 
\[f(x) = \e^x \ln x.\]\index{fonction exponentielle}

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0~;~+\infty[$, on note $f'$ sa fonction dérivée, $f''$ sa fonction dérivée seconde et on admet que :

pour tout nombre réel $x > 0,\:\: f'(x) = \e^x \left(\dfrac 1x + \ln x\right)$.

Démontrer que, pour tout nombre réel $x > 0$, on a : $f''(x) = \e^x \left(\dfrac 2x - \dfrac{1}{x^2} + \ln x\right)$.
\item On pourra remarquer que pour tout réel $x > 0$,\: $f''(x) = \e^x \times  g(x)$, où $g$ désigne la fonction étudiée dans la partie A.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de signes de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$. Justifier.
		\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion A.\index{point d'inflexion}
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Justifier.\index{convexité}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
		\item Montrer que $f'(\alpha) = \dfrac{\e^{\alpha}}{\alpha^2}(1 - \alpha)$.

On rappelle que $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $g(x) = 0$.
		\item Démontrer que $f'(\alpha) > 0$ et en déduire le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$.
		\item En déduire le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%   fin Métropole J1 11 septembre 2023
\newpage
%%%%%%%%%%   Métropole 12 septembre 2023
\hypertarget{Metropole4}{}

\label{Metropole4}

	\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
	\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
	\lfoot{\small{Métropole et La Réunion}}
	\rfoot{\small{12 septembre 2023}}
	\pagestyle{fancy}
	\thispagestyle{empty}

	\begin{center}
		{\Large\bf\decofourleft~Baccalauréat Métropole et La Réunion -- 12 septembre 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt]
			ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}
	\end{center}

	\bigskip

	{\large \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}}

	\medskip

La paratuberculose est une maladie digestive infectieuse qui touche les vaches. Elle est due à la présence d'une bactérie dans l'intestin de la vache.

On réalise une étude dans une région dont 0,4\,\% de la population de vaches est infectée.

Il existe un test qui met en évidence la réaction immunitaire de l'organisme infecté par la bactérie.

Le résultat de ce test peut être soit \og positif\fg{}, soit \og négatif\fg{}.

On choisit une vache au hasard dans la région.

Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :\index{probabilités}

\begin{itemize}
\item Si la vache est atteinte par l'infection, la probabilité que son test soit positif est de $0,992$ ;
\item Si la vache n'est pas atteinte par l'infection, la probabilité que son test soit négatif est de 0,984 .
\end{itemize}

On désigne par :
	\begin{itemize}
		\item $I$ l'évènement \og{}la vache est atteinte par l'infection\fg{} ;
		\item $T$ l'évènement \og{}la vache présente un test positif\fg{}.
	\end{itemize}

On note $\overline{I}$ l'évènement contraire de $I$ et $\overline{T}$ l'évènement contraire de $T$.

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A}
\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.\index{arbre pondéré}

		\begin{center}
				%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
			% Racine à Gauche, développement vers la droite
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				% Styles (MODIFIABLES)
				\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
				\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
				\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
				\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
				% Dimensions (MODIFIABLES)
				\def\DistanceInterNiveaux{3}
				\def\DistanceInterFeuilles{1}
				% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
				\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
				\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
				\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
				\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
				% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
				\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {};
				\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$I$};
				\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$T$};
				\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{T}$};
				\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{I}$};
				\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$T$};
				\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{T}$};
				% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
				\draw[fleche] (R.east)--(Ra.west) node[etiquette] {$0,004$};
				\draw[fleche] (Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette] {$\dots$};
				\draw[fleche] (Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette] {$\dots$};
				\draw[fleche] (R.east)--(Rb.west) node[etiquette] {$\dots$};
				\draw[fleche] (Rb.east)--(Rba.west) node[etiquette] {$\dots$};
				\draw[fleche] (Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette] {$\dots$};
			\end{tikzpicture}
			%:-+-+-+-+- Fin
		\end{center}

	\item \begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la vache ne soit pas atteinte par l'infection et que son test soit négatif. On donnera le résultat à $10^{-3}$ près.

		\item Montrer que la probabilité, à $10^{-3}$ près, que la vache présente un test positif est environ égale à 0,020.

		\item La \og{}valeur prédictive positive du test\fg{} est la probabilité que la vache soit atteinte par l'infection sachant que son test est positif. Calculer la valeur prédictive positive de ce test. On donnera le résultat à $10^{-3}$ près.\index{probabilité conditionnelle}

		\item Le test donne une information erronée sur l'état de santé de la vache lorsque la vache n'est pas infectée et présente un résultat positif au test ou lorsque la vache est infectée et présente un résultat négatif au test.

Calculer la probabilité que ce test donne une information erronée sur l'état de santé de la vache. On donnera un résultat à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
	\item Lorsqu'on choisit au hasard dans la région un échantillon de 100 vaches, on assimile ce choix à un tirage avec remise.

On rappelle que, pour une vache choisie au hasard dans la région, la probabilité que le test soit positif est égale à 0,02.

On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de 100 vaches de la région choisies au hasard associe le nombre de vaches présentant un test positif dans cet échantillon.

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier la réponse et préciser les paramètres de cette loi.\index{loi binomiale}\index{variable aléatoire}

		\item Calculer la probabilité que dans un échantillon de 100 vaches, il y ait exactement 3 vaches présentant un test positif. On donnera un résultat à $10^{-3}$ près.

		\item Calculer la probabilité que dans un échantillon de 100 vaches, il y ait au plus 3 vaches présentant un test positif. On donnera un résultat à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}

	\item On choisit à présent un échantillon de $n$ vaches dans cette région, $n$ étant un entier naturel non nul. On admet que l'on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.

Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu'il y ait, dans l'échantillon, au moins une vache testée positive, soit supérieure ou égale à 0,99.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 0~;~+\infty[$ par 
\[f(x) = (2-\ln x) \times \ln x,\]\index{fonction logarithme népérien}

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0~;~+\infty[$.

On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal et $C'$ la courbe représentative de la fonction $f'$, fonction dérivée de la fonction $f$.

La \textbf{courbe} $\boldsymbol{C}'$ est donnée ci-dessous ainsi que son unique tangente horizontale (T).

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=6.35mm,y=35mm]
%	\begin{axis}[x={6.35mm},y={35mm}, xmin=-0.5, xmax=17.5, ymin=-0.39, ymax=2.19, xtick distance=1,ytick distance=0.2, tick label style={/pgf/number format/set decimal separator={,},font=\footnotesize},  grid = major, axis lines=center]
%		\addplot [domain=0.9:17.5, smooth, samples=60,line width=1pt,red]{2*(1-ln(x))/x}; % Équation analytique
%		\node[below left] at(0,0) {O};
%		\node at(1.5,5.3) {$C'$};
%		\node[below left] at(0,0) {O};
%	\end{axis}
	\draw [color = gray!75, line width = 0.5pt, xstep=1, ystep = 0.2,dashed] (0,-0.39) grid (17.5,2.19);
\draw[->] (-0.5,0) -- (17.5,0);
\foreach \x in {1,...,17}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below, fill = white] {\footnotesize $\np{\x}$};
\draw[->] (0,-0.39) -- (0,2.19);
\foreach \y in {-0.2,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,1.6,1.8,2}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left, fill = white] {\footnotesize $\np{\y}$};
\draw[color=black] (-2pt,-2pt) node[below left] {O};
\clip (0,2.2) rectangle (17.5,-0.4);
\draw[line width=1pt,color=red,smooth,samples=100,domain= 0.8:17.5 ] plot(\x,{2*(1 - ln(\x))/\x} );
\node[red] at(1.65,1.3){$C'$};
\draw[teal,line width=1pt] (-0.5,-0.2707)--(17.5,-0.2707) ;
\draw[teal,line width=1pt,dashed] (7.3891,-0.2707)--(7.3891,0) ;
\node[teal] at(0.8,-0.35)  {(T)};
\draw[fill=white,draw=gray,line width=1pt] (3,1.4)rectangle(16,2); \node[text width=8.2cm,align=center] at (9.75,1.7){On rappelle que \textbf{cette courbe $C'$ est la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$}} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}

\newpage

\begin{enumerate}
	\item Par lecture graphique, avec la précision que permet le tracé ci-dessus, donner :\index{lecture graphique}

	\begin{enumerate}
		\item le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d'abscisse 1.\index{coefficient directeur}

		\item 	le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.\index{convexité}
	\end{enumerate}

	\item \begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.\index{limite de fonction}

		\item Calculer $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}

	\item Montrer que la courbe $C$ coupe l'axe des abscisses en deux points exactement dont on précisera les coordonnées.

	\item \begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[, \quad f'(x) = \dfrac{2(1-\ln x)}{x}$.\index{dérivée}

		\item En déduire, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}

	\item On note $f''$ la dérivée seconde de $f$ et on admet que pour tout réel $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, $f''(x) = \dfrac{2(\ln x-2)}{x^{2}}$.

Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser les coordonnées du point d'inflexion de la courbe $C$.\index{point d'inflexion}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par: $\left\{\begin{array}{l c l}
u_{1}&=&\dfrac{1}{\e} \\
u_{n+1}&=&\dfrac{1}{\e}\left(1+\dfrac{1}{n}\right) u_{n}\: \text {pour tout entier } n \geqslant 1.\end{array}\right.$\index{suite}

\begin{enumerate}
	\item Calculer les valeurs exactes de $u_{2}$ et $u_{3}$. On détaillera les calculs.

	\item On considère une fonction écrite en langage Python qui, pour un entier naturel $n$ donné, affiche le terme $u_{n}$. Compléter les lignes $L_{2}$ et $L_{4}$ de ce programme.\index{Python}

	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|>{\ttfamily}l|}
			\hline
			$L_{1}$ & def suite(n): \\
			$L_{2}$ & ~~\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
			$L_{3}$ & ~~for i in range(1, n): \\
			$L_{4}$ & ~~~~u=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\\
			$L_{5}$ & return u \\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}

	\item On admet que tous les termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ sont strictement positifs.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $1+\dfrac{1}{n} \leqslant \e$.

		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle convergente ? Justifier votre réponse.\index{suite convergente}
	\end{enumerate}

	\item \begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul, on a : \quad $u_{n}=\dfrac{n}{\e^{n}}$.\index{démonstration par récurrence}
		\item En déduire, si elle existe, la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.\index{limite de suite}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

{\large \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\\index{QCM}
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\bigskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.\index{géométrie}

\medskip

On considère :

les points A$(-1~;~-2~;~3)$, B$(1~;~-2~;~7)$ et C$(1~;~0~;~2)$;

la droite $\Delta$ de représentation paramétrique : \quad $\left\{\begin{array}{l}x=1-t \\ y=2 \\ z=-4+3 t\end{array}\right.$, où $t \in \R$;

le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne :\quad $3 x+2 y+z-4=0$;

le plan $\mathcal{Q}$ d'équation cartésienne : \quad $-6 x-4 y-2 z+7=0$.

\begin{enumerate}[itemsep=5mm]
	\item Lequel des points suivants appartient au plan $\mathcal{P}$ ?

	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\bfseries}p{5mm}@{}X}}
		a.& $R(1~;~-3~;~1)$;&
		b.& $S(1~;~2~;~-1)$;&
		c.& $T(1~;~0~;~1)$;&
		d.& $U(2~;~-1~;~1)$.\\
	\end{tabularx}

	\item Le triangle ABC est :\index{triangle rectangle}

	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\bfseries}p{5mm}@{}X}}
		a.& équilatéral ;&
		b.& rectangle isocèle ;\\
		c.& isocèle non rectangle ;&
		d.& rectangle non isocèle.\\
	\end{tabularx}

	\item La droite $\Delta$ est :

	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\bfseries}p{5mm}@{}X}}
		a.& orthogonale au plan $\mathcal{P}$ ;&
		b.& sécante au plan $\mathcal{P}$ ;\\
		c.& incluse dans le plan $\mathcal{P}$ ;&
		d.& strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$.\\
	\end{tabularx}

	\item On donne le produit scalaire $\vect{\mathrm{BA}} \cdot \vect{\mathrm{BC}}=20$.\index{produit scalaire}

	Une mesure au degré près de l'angle $\widehat{\mathrm{ABC}}$ est :\index{calcul d'angle}

	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\bfseries}p{5mm}@{}X}}
		a.& $34^{\circ}$;&
		b.& $120^{\circ}$;&
		c.& $90^{\circ}$;&
		d.& $0^{\circ}$.\\
	\end{tabularx}

	\item L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ est :

	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\bfseries}p{5mm}@{}X}}
		a.& un plan ;&
		b.& l'ensemble vide ;\\
		c.& une droite ;&
		d.& réduite à un point.\\
	\end{tabularx}
\end{enumerate}
%%%%%%%%   fin Métropole J2 12 septembre 2023
\newpage
%%%%%%%%   Amérique du Sud J1 26 septembre 2023
\hypertarget{AmeriSud1}{}

\label{AmeriSud1}

\lhead{\small Baccalauréat spécialité Jour 1}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{26 septembre 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Sud 26 septembre 2023~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 1}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = 1 + x^2 - 2x^2\ln (x).\]\index{fonction logarithme népérien}

On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle et on note $f'$ sa fonction dérivée

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ et, en remarquant que $f(x) = 1 + x^2(1 - 2\ln (x))$, justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.\index{limite de fonction}
\item Montrer que pour tout réel $x$  de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, \: $f'(x) = - 4x\ln (x)$.\index{dérivée}
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, puis dresser le tableau de variation de la fonction sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ et que $\alpha \in [1~;~\text{e}]$.\index{théorème des valeurs intermédiaires}
\end{enumerate}

On admet dans la suite de l'exercice, que l'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution sur l'intervalle ]0~;~1].

\begin{enumerate}[resume]
\item On donne la fonction ci-dessous écrit en Python. L'instruction \emph{from lycee import *} permet d'accéder à la fonction ln.\index{Python}

\begin{center}
\begin{tabular}{>{\ttfamily}l}
from lycee import *\\
\\
def f(x) :\\
\qquad return 1+x**2-2*x**2*ln(x)\\
\\
def dichotomie(p) :\\
\qquad a=1\\
\qquad b=2.7\\
\qquad while b-a > 10**(-p) :\\
\qquad \begin{tabular}{|l}
\quad if f(a)*f((a+b)/2) < 0 :\\
\quad |\quad b = (a+b)/2\\
\quad else :\\
\quad |\quad a=(a+b)/2\\
\qquad  return (a,b)
\end{tabular}

\end{tabular}
\end{center}

\medskip

Il écrit dans la console d'exécution :

$>>>$ {\ttfamily dichotomie(1)}

Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l'instruction précédente ? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination)

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{l l}
Proposition A :&(1.75, 1.9031250000000002)\\
Proposition B :&(1.85, 1.9031250000000002)\\
Proposition C :&(2.75, 2.9031250000000002)\\
Proposition D :&(2.85, 2.9031250000000002)\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, par 
\[g(x) = \dfrac{\ln (x)}{1 + x^2}.\]\index{fonction logarithme népérien}

On admet que $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, \: $g'(x) = \dfrac{f(x)}{x\left(1 + x^2\right)^2}$.\index{dérivée}
\item Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x = \alpha$.\index{maximum}

On admet que $g(\alpha) = \dfrac{1}{2\alpha^2}$.

\item On note $T_1$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse 1 et on note $T_{\alpha}$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $\alpha$.\index{equation de la tangente@équation de la tangente}

Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d'intersection des droites $T_1$ et $T_{\alpha}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Entre 1998 et 2020, en France \np{18221965} accouchements ont été recensés, parmi lesquels
\np{293898} ont donné naissance à des jumeaux et \np{4921} ont donné naissance à au moins trois enfants.\index{probabilités}
	\begin{enumerate}
		\item Avec une précision de 0,1\,\% calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d'accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020.
		\item Vérifier que le pourcentage d'accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à 0,1\,\%.
		
On considère alors que ce pourcentage est négligeable.

On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.

On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux
enfants.

On considère dans la suite de l'exercice qu'un accouchement est soit ordinaire, soit double.

La probabilité d'un accouchement ordinaire est égale à $0,984$ et celle d'un accouchement double
est alors égale à $0,016$.

Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.
	\end{enumerate}
\item On admet qu'un jour donné dans une maternité, on réalise $n$ accouchements.

On considère que ces $n$ accouchements sont indépendants les uns des autres.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'accouchements doubles pratiqués ce
jour.
	\begin{enumerate}
		\item Dans le cas où $n =  20$, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu'on réalise exactement un accouchement double.\index{loi binomiale}\index{variable aléatoire}
		\item Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $p(X \geqslant 1) \geqslant  0,99$.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item Dans cette maternité, parmi les naissances double, on estime qu'il y a 30\,\% de jumeaux
monozygotes (appelés \og  vrais jumeaux \fg{}  qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc 70\,\% de jumeaux dizygotes (appelés \og  faux jumeaux \fg, qui
peuvent être de sexes différents: deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).

Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d'être une fille à la naissance est égale à $0,49$ et que celle d'être un garçon à la
naissance est égale à $0,51$.

Dans le cas d'une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du
second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.

On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$M$ : \og  les jumeaux sont monozygotes \fg{}  ;
\item[$\bullet~~$]$F_1$ : \og le premier nouveau-né est une fille \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$F_2$ : \og le second nouveau-né est une fille \fg.
\end{itemize}

\emph{On notera $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.}\index{arbre pondéré}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$~~}}
	{\pstree{\TR{$F_1$}}
		{\TR{$F_2$}	
		}
	\pstree{\TR{$\overline{F_1}$~}}
		{\TR{$\overline{F_2}$}	
		}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}$~~}}
	{\pstree{\TR{$F_{1}$~}}
		{\TR{$F_2$}
		\TR{$\overline{F_2}$}
		}
	\pstree{\TR{$\overline{F_1}$~}}
		{\TR{$F_2$}
		\TR{$\overline{F_2}$}
		}
	}
}
\end{center}
\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item Recopier puis compléter l'arbre pondéré ci-dessus.
		\item Montrer que la probabilité que les deux nouveaux-nés soient des filles est \np{0,31507}.
		\item Les deux nouveaux-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu'elles soient monozygotes.\index{probabilité conditionnelle}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère les points 
\begin{center}A(0~;~4~;~16), \quad B$(0~;~4~;~- 10)$, \quad C$(4~;~-8~;~0)$\quad et\quad  K(0~;~4~;~3).\end{center}\index{géométrie}

On définit la sphère $S$ de centre K et de rayon 13 comme l'ensemble des points M tels que
KM $= 13$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le point C appartient à la sphère S.
		\item Montrer que le triangle ABC est rectangle en C.\index{triangle rectangle}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).\index{vecteur normal}
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).\index{equation de plan@équation de plan}
	\end{enumerate}
\item On admet que la sphère $S$ coupe l'axe des abscisses en deux points, l'un ayant une abscisse positive et l'autre une abscisse négative.

On note D celui qui a une abscisse positive.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point D a pour coordonnées (12~;~0~;~0).
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par D et perpendiculaire au plan (ABC).\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}
		\item  Déterminer la distance du point D au plan (ABC).
	\end{enumerate}
\item Calculer une valeur approchée, à l'unité de volume près, du volume du tétraèdre ABCD.

\emph{On rappelle la formule du volume V d'un tétraèdre}
\[V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h.\]\index{volume de tétraèdre}

\emph{où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le but de la partie A est d'étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 =  0,3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+1} =  2u_n\left(1 - u_n\right).\]\index{suite}

Cette relation de récurrence s'écrit $u_{n+1} =  f\left(u_n\right)$, où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : 
\[f(x) = 2x(1 - x).\]

\smallskip
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac12\right]$.
\item On admet que pour tout entier naturel $n,\:0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac12$.

Calculer $u_1$ puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout rentier naturel $n,\: u_n \leqslant u_{n+1}$.
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.\index{suite convergente}
\item Justifier que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est égale à $\dfrac12$.\index{limite de suite}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le but de cette partie est d'étudier un modèle d'évolution d'une population.

En 2022, cette population compte \np{3000} individus.

\smallskip

On note $P_n$ l'effectif en milliers de la population l'année $2022 + n$. Ainsi $P_0 = 3$.

Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du XIX\up{e} siècle, on considère que, pour tout entier naturel $n$ :

\begin{center}$P_{n+1} -  P_n = P_n\left(1 -  b \times P_n\right)$, où $b$ est un réel strictement positif.\end{center}

Le réel $b$ est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des
ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question $b  = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la suite $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.\index{suite géométrique}
		\item Déterminer la limite de $P_n$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question $b = 0,2$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = 0,1 \times P_n$.

Calculer $v_0$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$,\:$v_{n+1} = 2v_n\left(1 - v_n \right)$.
		\item Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d'une valeur que l'on précisera.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%   fin Amérique du Sud J1 26 septembre 2023
\newpage
%%%%%%%%   Amérique du Sud J2 27 septembre 2023
\hypertarget{AmeriSud2}{}

\label{AmeriSud2}

\lhead{\small Baccalauréat spécialité Jour 2}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{27 septembre 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Sud 27 septembre 2023~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 2}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un jeu proposé dans une fête foraine consiste à effectuer trois tirs successivement sur une cible mouvante.

On a constaté que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Si le joueur atteint la cible lors d'un tir alors il ne l'atteint pas lors du tir suivant dans 65\,\% des cas ;
\item[$\bullet~~$] Si le joueur n'atteint pas la cible lors d'un tir alors il l'atteint lors du tir suivant dans 50\,\% des cas.
\end{itemize}\index{probabilités}

La probabilité qu'un joueur atteigne la cible lors de son premier tir est de $0,6$.

\emph{Pour tout évènement $A$, on note $p(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.}

On choisit au hasard un joueur à ce jeu de tirs.

On considère les évènements suivants:
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A_1$ : \og Le joueur atteint la cible lors du 1\up{er} tir \fg
\item[$\bullet~~$] $A_2$ : \og Le joueur atteint la cible lors du 2\up{e} tir \fg
\item[$\bullet~~$] $A_3$ : \og Le joueur atteint la cible lors du 3\up{e} tir \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter, avec les probabilités correspondantes sur chaque branche, l'arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.\index{arbre pondéré}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 0.75cm,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A_1$~~}\taput{$0,6$}}
	{\pstree{\TR{$A_{2}$~~}}
		{
		\TR{$A_{3}~~$}
		\TR{$\overline{A_{3}~~}$}
		}
	\pstree{\TR{$\overline{A_{2}~~}$}}
		{
		\TR{$A_{3}~~$}
		\TR{$\overline{A_{3}~~}$}
		}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A_1}$~~}}
	{\pstree{\TR{$A_{2}$~~}}
		{
		\TR{$A_{3}~~$}
		\TR{$\overline{A_{3}~~}$}
		}
	\pstree{\TR{$\overline{A_{2}}$~~}}
		{
		\TR{$A_{3}$~~}
		\TR{$\overline{A_{3}~~}$}
		}
	}
}
\end{center}

Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur atteint sa cible au cours
des trois tirs.
\item Montrer que la probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à \np{0,4015}.
\item L'objectif de cette question est de calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$.\index{espérance}
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X = x_i$				&0	&1	&2	&3\\ \hline
$p\left(X = x_i\right)$	&0,1&	&	& \np{0,0735}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Calculer $E(X)$.
		\item Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère $N$, un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Un groupe de $N$ personnes se présente à ce stand pour jouer à ce jeu dans des conditions identiques et indépendantes. 

Un joueur est déclaré gagnant lorsqu'il atteint trois fois la cible.

On note $Y$ la variable aléatoire qui compte parmi les $N$ personnes le nombre de joueurs déclarés gagnants.\index{variable aléatoire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, $N = 15$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.\index{loi binomiale}
		\item Donner la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'exactement 5 joueurs soient gagnants à ce jeu.
	\end{enumerate}
\item Par la méthode de votre choix, que vous expliciterez, déterminer le nombre minimum de personnes qui doivent se présenter à ce stand pour que la probabilité qu'il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0,98$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Dans un repère orthonormé \Oijk{} on considère les points :
\begin{center} A$(1~;~1~;~-4)$,\quad B$(2~;~-1~;~-3)$,\quad  C$(0~;~-1~;~-1)$\quad  et\quad  $\Omega$(1~;~1~;~2).\end{center}\index{géométrie}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points A, B, et C définissent un plan.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC).\index{vecteur normal}
		\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est $x + y + z + 2 = 0$.\index{equation de plan@équation de plan}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le point $\Omega$ n'appartient pas au plan (ABC).
		\item Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan (ABC).
		
On admet que $\Omega \text{H} = 2\sqrt 3$.

On définit la sphère $S$ de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt 3$ comme l'ensemble de tous les points M de l'espace tels que $\Omega\text{M} = 2\sqrt 3$.
	\end{enumerate}
\item Justifier, sans calcul, que tout point N du plan (ABC), distinct de H, n'appartient pas à la sphère $S$.

On dit qu'un plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ en un point K lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :

\[\begin{array}{l}
\bullet~~ \text{K} \in \mathcal{P} \cap S\\
\bullet~~ (\Omega\text{K}) \perp \mathcal{P}
\end{array}
\]
\item Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x + y - z - 6 = 0$ et le point K de coordonnées K(3~;~3~;~0).

Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ au point K.
\item On admet que les plans (ABC) et $\mathcal{P}$ sont sécants selon une droite $(\Delta)$.

Déterminer une équation paramétrique de la droite $(\Delta)$.\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n \in \N$, 
\[u_{n+1} = 5u_n - 8n + 6.\]\index{suite}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Soit $n$ un entier naturel.

Recopier et compléter la fonction {\ttfamily suite\verb+_+u} d'argument {\ttfamily n}  ci-dessous, écrite en langage Python, afin qu'elle retourne la valeur de $u_n$.\index{Python}

\begin{center}
\begin{tabular}{>{\ttfamily}l}
def suite\verb+_+u(n) : \\
\qquad u = \ldots\\
\qquad for i in range(1,n+1) :\\
\qquad |\qquad u= \ldots\\
\qquad return u
\end{tabular}
\end{center}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \N ,\quad  u_n \geqslant 2n$.\index{démonstration par récurrence}
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.\index{limite de suite}
		\item Soit $p \in \N^*$. Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que,  pour tout entier naturel $n$ vérifiant, $n \geqslant n_0$,\: $u_n \geqslant  10^p$ ?
\end{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout $n \in  \N$, par $v_n = u_n - 2n + 1$.
	\begin{enumerate}
		\item En dessous de la fonction {\ttfamily suite\verb+_+u} précédente, on a écrit la fonction {\ttfamily suite\verb+_+v} ci-dessous :\index{Python}
\begin{center}
\begin{tabular}{>{\ttfamily}l}
def suite\verb+_+v(n):\\
\qquad L =[]\\
\qquad  for i in range(n+1) :\\
\qquad |\qquad L.append(suite\verb+_+u(i)-2*i+1)\\
\qquad return L
\end{tabular}
\end{center}

\emph{La commande \og L.append \fg permet de rajouter, en dernière position, un élément dans la liste L.}

Lorsqu'on saisit {\ttfamily suite\verb+_+v(5)} dans la console, on obtient l'affichage suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{>{\ttfamily} l}
$>>>$ suite\verb+_+v(5)\\
$[1,\: 5,\: 25,\: 125,\: 625,\: 3125]$\\
\end{tabular}
\end{center}

Conjecturer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.

Démontrer cette conjecture.
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) = \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right) + \dfrac14 x.\]\index{fonction exponentielle}

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij{} du plan.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.\index{limite de suite}
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x,\: f'(x) = \dfrac{\e^x - 3}{4\left(\e^x + 1\right)}$.\index{dérivée}
		\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [2~;~5].\index{théorème des valeurs intermédiaires}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admettra que la fonction $f'$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$,

\[f''(x) = \dfrac{\e^x}{\left(\e^x + 1\right)^2}.\]

On note $\Delta$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.

Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}_f$ la tangente $\Delta$ et le quadrilatère MNPQ tel que M et N sont les deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisses respectives $\alpha$ et $- \alpha$, et Q et P sont les deux points de la droite $\Delta$ d'abscisses respectives $\alpha$ et $- \alpha$.

\psset{unit=1.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,5)
\pspolygon[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,fillcolor=lightgray](3.922,-0.3)(3.922,1)(- 3.922,2.961)(-3.922,1.7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-6,-1)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-6}{6}{1 1 2.71828 x exp div add ln 0.25 x mul add}
\psplotTangent[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{1 1 2.71828 x exp div add ln 0.25 x mul add}
\psline[linestyle=dashed](-3.922,1.7)(-3.922,0)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[d](3.922,-0.3){Q}\uput[u](3.922,1){M}\uput[ur](- 3.922,2.961){N}\uput[dl](-3.922,1.7){P}
\uput[dr](3.922,0){$\alpha$}\uput[d](-3.922,0){$- \alpha$}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](-5.2,2){$\Delta$}
\uput[d](-5.2,3.8){\red $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
%
\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier le signe de $f''(x)$ pour $x \in \R$.\index{convexité}
		\item En déduire que la portion de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle $[-\alpha~;~\alpha]$, est inscrite dans le quadrilatère MNPQ.
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f(-\alpha) = \ln \left(\e^{-\alpha} + 1\right) + \dfrac34 \alpha$.
		\item Démontrer que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Sud J2 27 septembre 2023
\phantomsection
\hypertarget{Index}{}
\setlength{\columnsep}{1.5cm}
\printindex
\end{document}