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Introduction aux nombres complexes en terminale S

- 17 octobre 2011 -

Vous trouverez ici, des activités d’introduction, des lectures sur les nombres complexes, et une feuille d’exercices. Tout ceci a été inspiré par ma connaissance de l’histoire des nombres imaginaires (ou complexes). Anne Boyé.


Depuis « toujours », j’introduis la notion de nombres complexes en terminales S à partir de leur histoire. Les programmes évoluant, ainsi que le temps imparti aux mathématiques et les connaissances des élèves, j’ai, au cours des années récentes, recentré, réduit, affiné, cette présentation, tout en en gardant cependant la substance. Les nouveaux programmes de Terminale S semblent vouloir encore restreindre la place des nombres complexes, tout en insistant sur une introduction Historique. Le travail que je propose peut répondre à cette demande.
Je prends comme support la résolution des équations de degré trois. Ceci semble naturel à des élèves sortant de 1° S, et qui sont accoutumés aux formules pour le second degré. Je n’entre pas dans le détail des calculs qui seraient fastidieux pour les élèves actuels, mais j’essaie de leur en faire sentir l’enjeu.
Une partie de ce qui est proposé peut être donné en exercices ou préparation à la maison.
En complément des activités, je donne aux élèves les feuilles « lectures sur les nombres complexes ». C’est une lecture libre, mais sur laquelle la réflexion s’appuiera au fur et à mesure. Elle permettra aussi d’introduire la représentation géométrique des nombres complexes, même si celle-ci sera probablement plus restreinte qu’auparavant, et d’ouvrir sur une réflexion épistémologique, à laquelle le professeur de philosophie pourra éventuellement se joindre.
En début d’année de terminale S, ce chapitre passe très bien, est très apprécié des élèves, et donne un certain « ton », au cours de mathématiques. Cette introduction a aussi l’avantage de remettre l’accent sur la résolution des équations, les factorisations et développements, ce qui n’est pas un luxe, et qui sera utile tout au long de l’année.
Selon l’articulation du cours, ce peut être aussi mis en rapport avec les chapitres d’analyse, par exemple le théorème des valeurs intermédiaires. Et je n’hésite pas à jouer s’il le faut avec le vidéo projecteur, et les représentations graphiques. Histoire et modernité vont de pair. Les mathématiques ont une histoire qui se construit en permanence. Les discussions avec les élèves que permet ce genre d’activités sont une occasion de le leur faire sentir.
On peut aussi évidemment leur demander des recherches sur les personnages qui sont cités au fur et à mesure.
Dès la fin des feuilles d’activité, ils sont capables de faire la feuille d’exercice jointe, sans aucun complément de cours.
Le cours lui-même sera alors seulement un recadrage sur ce qui vient d’être fait, une actualisation du vocabulaire, un point sur les nombres complexes au XXI° siècle, et ce qu’ils doivent connaître.
Je scindais souvent ce chapitre, en réservant dans un deuxième temps la représentation liée aux coordonnées polaires, les transformations, …. Alors les derniers moments de la lecture trouvaient leur place. Dans les nouveaux programmes, ces lectures pourront peut-être permettre d’évoquer ce qui ne sera plus strictement au programme et d’élargir les horizons.

Notes pour compléter l’activité proposée aux élèves

1- Pour approfondir la réflexion historique, la lecture de l’ouvrage : « Images, imaginaires, imaginations », écrit par la Commission Inter IREM épistémologie et histoire des mathématiques, Ellipses, 1998, pourra s’avérer utile (voir le fichier "Eléments bibliographiques").
2- Il est question dans l’activité élève de ce qui est aujourd’hui appelé la formule de Cardan-Tartaglia. Sa démonstration est à la portée des élèves et se trouve dans de nombreux manuels. Je ne la fais plus faire explicitement, car cela demande tout de même un temps non négligeable. Malgré son intérêt j’ai fait le choix de privilégier d’autres aspects. Là encore, les textes historiques et les démonstrations se trouvent dans l’ouvrage mentionné plus haut.
3- Je précise à la fin de l’activité que le symbole $\sqrt $ de la racine carrée sera réservé, pour les élèves de TS, aux réels positifs, et il aura comme seul usage : si a est un réel positif, on note $\sqrt a$ le nombre réel positif qui élevé au carré vaut a. Cet épisode a au moins deux aspects importants :
- l’introduction de la notation i pour $\sqrt -1$ est utile pour que les calculs ne soient pas contradictoires. En revanche il n’a pas été nécessaire d’inventer une nouvelle notation quand on a décidé au collège que 3 – 5 était un nombre possible. Autrement dit, les nouvelles notations ou changements de notations sont rarement arbitraires.
- les élèves ont eu souvent l’occasion de constater que $\sqrt -1$ se trouvait relativement souvent dans des textes, même contemporains, y compris dans des manuels d’apprentissage, anglo-saxons par exemple, ceci lorsque le contexte n’offre aucune ambiguïté. Eventuelle piste de prolongement de la discussion sur les notations.

A propos des lectures proposées

Il ne s’agit ici que d’alimenter la réflexion sur la naissance de ce que nous nommons aujourd’hui les nombres complexes, et sur l’aspect dit « algébrique ». La représentation géométrique utilisant module et argument donnerait lieu bien sûr à d’autres lectures comme le texte d’Argand par exemple. Comme dit précédemment des choix ont été faits, puisque le temps de la classe n’est pas extensible. Ceux et celles qui sont intéressés peuvent puiser des idées dans notre ouvrage « Images, imaginaires, imagination ».

Voici donc successivement les feuilles : « Introduction aux nombres complexes », « Lectures sur les nombres imaginaires », « Première feuille d’exercices », telles qu’elles ont été données aux élèves ; puis quelques éléments de bibliographie pour l’enseignant-e.

Introduction aux nombres complexes.
Lectures sur les nombres imaginaires.
Nombres complexes : premiers exercices.
Eléments bibliographiques.

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